Experimente und Einsichten
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Kapitel 1 Experimente und Einsichten Die Quantenphysik beginnt 1900 mit der Entdeckung des Wirkungsquantums h von Max Planck. Er konnte erstmals die spektrale Energieverteilung eines schwarzen Körpers beschreiben,indem er annahm, dass die elektromagnetischen Schwingungen, die von einem glühenden Körper ausgestrahlt werden in Energiepaketen von der Größ e h , wobei die Frequenz einer Schwingung, ist aufreten. Wir werden die Plankche Strahlungsformel im Rahmen der Statistischen Physik später herleiten und beginnen hier mit der konzeptionell einfacheren Erkärung des Lichtelektrischen E¤ektes durch Einstein. Abb. 1.1: Max Planck 1858-1947 1 2 1.1 KAPITEL 1. EXPERIMENTE UND EINSICHTEN Lichtelektrischer E¤ekt. Abb. 1.2 :Albert Einstein 1879-1955. Beim Lichtelektrischen E¤ekt (rechts) tri¤t Licht auf eine Metallober‡äche und schlägt Elektronen heraus deren kinetische Energie linear mit der Lichtfrequenz anwächst. Strahlt man Licht mit der Frequenz auf eine Metallober‡äche, so werden bei hinreichend hoher Frequenz - Elektronen herausgeschlagen, deren kinetische Energie linear von der Frequenz abhängt (Abb.1.2). Der wesentliche Punkt ist dabei, dass die kinetische Energie nur von der Frequenz des Lichtes und nicht von der Lichtintensität abhängt -letztere bestimmt nur wieviele Elektroen herausgeschlagen werden. Einstein beschrieb1905 diesen E¤ekt dadurch, dass die Lichtenergie quantisiert ist und jedesmal wenn ein Lichtquant, d.h. ein Energiepaket , der Größ e E=h (1.1) (wobei h = 6:6 10 27 ergsec das Planck’sche Wirkungsquantum ist) auf ein Elektron tri¤t, diese Energie in kinetische Energie des Elektrons umgewandelt wird. Die Lichtenergie strömt also nicht je nach der Intensität der Lichtwelle in das Elektron hinein, sondern es wird jeweils nur ein Lichtenergiequant vom Elektron absorbiert. Für diese Quantentheorie des Lichtelektrischen E¤ektes erhielt Einstein 1921 den Nobelpreis. 1.2. INTERFERENZ VON ELEKTRONENWELLEN 1.2 3 Interferenz von Elektronenwellen Abb. 1.3: Clinton J. Davisson (1881-1958) und Lester H. Germer (1896-1971) schossen 1927 Elektronen auf einen Nickelkristall (rechts) und wiesen durch die auftretenden Interferenzmuster die Wellennatur der Elektronen nach. 1927 schickten Davisson und Germer eine Elektronenstrahl auf einen Kristall und beobachten mit dem nachgeschalteten Detektor ein Interferenzmuster, dessen Maxima durch die Bragg’sche Relation 2a sin ' = n bestimmt waren. Dabei ist (1.2) die de Broglie Wellenlänge = h p (1.3) und p ist der Impuls der Elektronen. Dieses Resulat war von de Broglie vorhergesagt, doch das Experiment von Davisson und Germer bestätigte erstmals, dass Elektronen sich tatsächlich wie Wellen verhalten, die interferieren können.Die Wellenlänge der Materiewellen war dabei (für Elektronen mit einer Energie von ca 100 eV ) von der Größ enordnung 10 8 m also vergleichbar mit dem Gitterabstand a. Bei makroskopischen Objekten wie etwa einer Kegelkugel mit der Masse 1 Kg , die sich mit der Geschwindigkiet 1m= sec bewegt, hat die de Broglie Wellenlänge den winzig kleinen Wert 10 23 m . Welleneigenschaften sind daher für solche Objekte nicht messbar. 4 1.3 KAPITEL 1. EXPERIMENTE UND EINSICHTEN Interferenz am Doppelspalt Abb. 1.4: Der Doppelspaltversuch (links) schematisch. Je mehr Elektronen eintre¤en desto deutlicher wird das Interferenzmuster auf dem Schirm. Das rechte Bild zeigt , von oben nach unten, die Muster für 200, 6000, 40 000 und 140 000 Elektronen. Dieses oft als Gedankenexperiment beschriebene Experiment wurde 1961 von Klaus Jönsson an der Universität Tübingen tatsächlich durchgeführt. Dabei werden Elektronenwellen durch einen Doppelspalt gebeugt. Der wesentliche Punkt dabei ist aber, dass sich das Beugungsbild - indem man einzelne Elektronen nacheinander auf den Doppelspalt schieß t - langsam aufbaut. Es ist daher nicht so, dass viele Elektronen gleichzeitig auftre¤en und durch Wechselwirkung untereinander das Inteferenzmuster erzeugen, sondern jedes einzelne Elektron verhält sich wie eine Welle, die am Doppelspalt gebeugt wird und dann wenn es auf den Schirm tri¤t wieder wie ein Teilchen wirkt. 1.3. INTERFERENZ AM DOPPELSPALT 5 Abb. 1. 5: Max Born 1882-1970 Das Betragsquadrat der Wellenamplitude bestimmt dabei die Wahrscheinlichkeit mit der ein Elektron sich an einem Ort aufhält. Diese von Max Born 1927 zuerst gegebene Deutung der Wellenamplitde vereinigt den zweifachen Charakter des Elektrons als ”Welle” und als ”unteilbares Teilchen”. Born erhielt 1954 den Nobelpreis. Da man somit nur noch Wahrscheinlichkeits- Aussagen über das Verhalten des Elektrons machen kann, impliziert diese Deutung den, für uns alle - nicht nur für Einstein der sich dagegen mit den berühmtenWorten wehrte ”Gott würfelt nicht”- schwer verdaulichen Verlust der strengen Kausalität. Aber es kommt noch schlimmer.Versucht man durch ein Messung -indem man z.B. Licht auf das Elektron schickt und nachsieht wie es re‡ektiert wird herauszu…nden duch welche der beiden Ö¤nungen am Dopelspalt das Elektron getreten ist, so stört man den Versuch so sehr, dass das Interferenzferenzmuster verschwindet. 6 KAPITEL 1. EXPERIMENTE UND EINSICHTEN Abb. 1.6: Werner Heisenberg 1901-1976 Heisenberg hat 1927 als erster erkannt, daßman den Ort und den Impuls eines Elektrons nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmen kann. Wir können uns die Heisenberg’sche Unschärferelation - die wir später noch detailliert herleiten werden - folgendermaß en verständlich machen. Um das Elektron bis auf eine Ortsunschärfe von x genau zu messen benötigen wir Licht mit einer Wellenlänge dieser Größ enordnung d.h. ' x. Die Lichtwellenlänge bestimmt die Genauigkeit des Längenmaß tabes ("Mit meterlangen Wellen kann man nicht Millimetergenau messen"). Aber nach de Broglie hat jedes Photon dieses Lichtes den Impuls p = h . Wenn es auf das Elektron tri¤t überträgt es daher einen Impuls dieser Größ enordnung, so dass der dadurch gestörte Impuls des Elektrons nur noch mit einer Genaukeit p ' h bekannt ist. Insgesamt ergibt sich daher die Einschränkung x p ' h. Kapitel 2 Schrödingergleichung Abb. 1.7: Louis Victor duc de Broglie 1892-1987 Nachdem de Broglie Elektronen eine Wellenlänge und damit Wellencharakter zugesprochen hatte, wurde Schrödinger - der 1936 an ETH Zürich war -die Frage nach der zugehörigen Wellengleichung gestellt. Schrödinger enteckte daraufhin die, nach ihm benannte SSchrödingergleichung"für die er (zusammen mit Heisenberg und Dirac) 1931 den Nobelpreis erhielt. 7 8 KAPITEL 2. SCHRÖDINGERGLEICHUNG Abb. 1.8: Erwin Schrödinger 1887-1961 2.1 Analogiebetrachtung Wir machen die Schrödingergleichung für Materiewellen, an Hand der Wellengleichung für Lichtwellen plausibel. Indem wir dort die Wellenlänge (x) im Medium mit Brechungsindex n(x) durch die de Broglie Wellenlänge ersetzen (x) ) h p (2.1) gelangen wir zur zeitunabhängigen Schrödingergleichung. Ersetzen der Lichtfrequenz durch ) E=h (2.2) führt zur zeitabhängigen Schrödingergleichung. Die Wellengleichung für die x-Komponente Ex des elektrischen Feldes einer Lichtwelle lautet in einer Dimension Ex00 n(x) c 2 •x = 0 E (2.3) @2 @2 • dabei sind Ex00 = @x 2 Ex , Ex = @t2 Ex , n(x) ist der, vom Ort x abängige, Brechungsindex und c ist die Lichtgeschwindigkeit. Indem wir für die Zeitabhängigkeit den Wellenansatz Ex eik0 ct machen, wobei k0 = 2 0 und 0 die Vakuumwellenlänge ist, wird (2.3) Ex00 2 (x) 2 Ex = 0 2 (2.4) •x = (ik0 c) Ex gilt und n(x)k0 = 2 n(x) = Dabei haben wir verwendet, dass E 0 2 wird, wobei (x) die Lichtwellenlänge im Medium mit Brechungsindex n(x) (x) ist. 2.2. KONTINUITÄTSGLEICHUNG FÜR DIE WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTE9 Gleichung (2.4) lässt sich mit den Ersetzungen (2.1) und Ex ) die Amplitude der Materiewelle ist umformen zu 2 p h 00 wobei 2 =0 (2.5) Für ein Teilchen der Masse m das sich mit konstanter Energie E in einem Potential V (x) bewegt gilt nach dem Energiesatz E= p2 + V (x) 2m (2.6) für den ortsabhängigen Impuls p2 = 2m (E V (x)) Indem wir dies in (2.5)einsetzen und die erhaltene Gleichung mit multiplizieren folgt nach Umordnung ~2 2m 00 (2.7) ~2 2m durch- + V (x) = E (2.8) Diese eindimensionale Schrödingergleichung wird in drei Dimensionen in die ortsunabhängige Schrödingergleichung übersetzt ~2 2m + V (~x) (~x) = E (~x) Indem wir den, für Lichtwellen üblichen, Ansatz Ex (x; t) = Ex (x)e auf Materiewellen übertragen und (2.1) verwenden folgt (x; t) = (x)e iEt=~ (2.9) i2 t , (2.10) d.h. es gilt ~ @ (x; t) i @t E (x; t) = Nach Multiplikation von (2.9) mit e setzung x ) ~x ;die iE=~ (2.11) folgt mit (2.11), nach der Über- Zeitabhängige Schrödingergleichung ~2 2m 2.2 + V (~x) (~x; t) = ~ @ (~x; t) i @t (2.12) Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte Falls die Anwesenheit eines Elektrons auf ein vorgegeben Volumen V beschränkt ist, bedeutet dies, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür es darin zu …nden 1 ist, d.h. es gilt Z 2 d3 x j (~x; t)j = 1 (2.13) V 10 KAPITEL 2. SCHRÖDINGERGLEICHUNG 2 Für die Wahrscheinlichkeitsdichte = j (~x; t)j gilt daher eine - zur Ladungsdichteerhaltung in der Elektrodynamik ähnliche - Kontinuitätsgleichung, die im folgenden hergeleitet wird. Die zeitliche Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte ist bestimmt durch @ (x; t) @t (~x; t) = _ + _ (2.14) ~2 2m + V (x) (2.15) Aus (2.11) folgt _ _ i ~ = = ~2 2m i ~ Multiplikation von (2.15) mit _ _ = i ~ 00 + V (x) und (2.15) mit ~2 2m i ~ = 00 ~2 2m 00 00 (2.16) liefert + V (x) + V (x) (2.17) (2.18) woraus nach Addition folgt _ + _ (2.19) i~ 00 00 = 2m i~ @ 0 0 = 2m @x Mit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte i~ 0 0 j= 2m folgt aus (2.14-2.22) die gesuchte Kontinuitätsgleichung @ @ + j=0 @t @x i~ h ~ r 2m in drei Dimensionen übertragen können (2.21) (2.22) (2.23) die wir mit ~j = (2.20) ~ r i (2.24) @ ~ ~j = 0 +r (2.25) @t Um Aussagen über das physikalische Verhalten eines Elektrons zu machen müssen wir erstens die Lösungen der Schrödingergleichung für das Problem kennen und zweitens wissen, wie wir physikalische Messgröß en aus der Wellenfunktion berechen können. Wir beginnen mit der Beantwortung der zweiten Frage. 2 Da = j (~x; t)j die Wahrscheinlichkeitsdichte für ein Elektron ist, liegt es Nahe Mittelwerte von Meß größ en zu betrachten. Dieses Vorgehen wird noch durch das Ehrenfest’sche Theorem bestärkt, nach dem für diese Mittelwerte wieder die Newton’schen Bewegungsgleichuneg gelten.Über das Ehrenfest’sche Theorem erfolgt die Verbindung von quantenmechanischen Resultaten mit Ergebnissen der klassischen Mechanik. 2.3. MITTELWERTE 2.3 11 Mittelwerte Im folgenden wird gezeigt, dass sich die Mittelwerte physikalischer Größ en über Hermite’sche Operatoren berechnen lassen. Wir beschränken uns zur Vereinfachung zunächst auf eine Dimension (die Übertragung auf drei Dimensionen erfolgt am Schluss) und beginnen mit dem 2.3.1 Ortsmittelwert hxi = Z +1 1 dx x j (x; t)j2 (2.26) Daraus folgt der 2.3.2 Impulsmittelwert hpi = m d hxi dt Z (2.27) +1 d j (x; t)j2 = m dx x dt 1 Z +1 = dx x _ (2.28) (2.29) 1 Mit der Kontinuitätsgleichung (2.23) folgt nach partieller Integration für j( 1) = 0 und (2.22) Z +1 @ hpi = m dx x j (2.30) @x 1 Z +1 @ +1 = m dxj x + xjj 1 (2.31) @x 1 Z +1 = m dxj (2.32) = i~ 2 1 Z +1 0 dx 0 (2.33) 1 Da die Wellenfunktion im Unendlichen verschwindet folgt Z +1 Z +1 +1 0 dx = dx 0 j 1 1 = Z (2.34) 1 +1 dx 0 (2.35) 1 So erhalten wir schließ lich hpi = Z +1 dx 1 ~ @ i @x (2.36) 12 KAPITEL 2. SCHRÖDINGERGLEICHUNG Der Vergleich mit (2.26) zeigt, dass wir den Impulsmittelwert berechen können indem wir den Mittelwert des Operators p^ = ~ @ i @x (2.37) bilden. Diese Resultate werden nun verallgemeinert indem in der Quantenmechanik allen klassischen Messgröß en A Operatoren A^ zugeordnet werden: zugeordneter Operator A^ x ^ = ~x ~ p^ = ~i r 2 ~ ^kin = E 2m V^ (~x) = V (~x) Physikalische Größ eA Ort ~x Impuls p~ p2 Kinetische Energie 2m Potentielle Energie V (~x) D E Da die Mittelwerte dieser Operatoren relle Werte haben, mußgelten A^ = D E A^ d.h. hAi = = = Z Z Z +1 dx A^ (2.38) 1 +1 dx A^ (2.39) 1 +1 dx (A^ ) 1 = hAi (2.40) (2.41) Operatoren für die gilt Z +1 dx 1 A^ = Z +1 dx (A^ ) (2.42) 1 werden- nach dem französischen Mathematiker Charles Hermite - als hermite’sche Operatoren bezeichnet. Im folgenden stellen wir einige Eigenschaften hermite’scher Operatoren zusammen, die alle aus der Forderung folgen, dass deren Erwartungswerte rell sein müssen. 2.3. MITTELWERTE 2.3.3 13 Eigenschaften Hermite’scher Operatoren Abb. 1.9: Charles Hermite 1822-1901 1.Die Erwartungswerte Hermite’scher Operatoren sind reell sind d.h. es gilt D E D E (2.43) A^ = A^ oder Z A^ = 3 d x Z d3 x A^ (2.44) 2.Die Operatoren sind linear, d.h. es gilt A^ ( 1 + 2) = A^ 1 + A^ (2.45) 2 2 (Ein Beispiel für einen nichtlinearen Operator O ist O = ) 3. Es gilt, analog zu den aus der Algebra bekannten, hermite’schen Matrizen die Relation Z (2.46) aij = d3 x i A^ j Z = d3 x A^ i j = aji Der Beweis erfolgt indem man in = Z d3 x i + j Z h = d3 x A^ i + i + A^ j i j i einsetzt + i (2.47) j + Durch Umformung erhält man aus mit Z Z = d3 x i A^ j d3 x A^ Z Z 3 ^ = d x jA i d3 x A^ j i j j i (2.48) 14 KAPITEL 2. SCHRÖDINGERGLEICHUNG - da sich dieTerme proportional zu 1 und zu Relation + =0 (2.49) a( + ) = 0 (2.50) Diese Gleichung gilt für reelles und für rein imaginäres wegheben -die einfache =a = ia a( )=0 (2.51) Addition liefert 2a = 0 ,d.h.das gesuchteResultat Z Z 3 ^ = d x iA j d3 x A^ i j =0 4. Hermite’sche Operatoren haben reelle Eigenwerte d.h. falls funktion von A^ mit dem Eigenwert n ist A^ n = n n = n (2.52) n eine Eigen- (2.53) n gilt (2.54) . @ Ein einfaches Besipiel hierfür ist der Impulsoperator p^ = ~i @x , mit der Eigenwertgleichung ~ @ = k k (2.55) i @x k Wie man durch Einsetzen sieht, ist die Eigenfunktion k eine ”ebene Welle” eikx k mit Eigenwerten k Allgemein folgt aus (2.53) Z d3 x n n n = ~ ik = ~k i = = = Z Z d3 x ^ nA n d3 x A^ Z d3 x n (2.56) n n n n woraus sich (2.54) ergibt. 5. Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten eines Hermite’schen Operators sind orthogonal, d.h. falls A^ n = n n (2.57) 2.3. MITTELWERTE 15 und A^ gilt, so folgt aus n 6= m = m m m Z d3 x n m =0 (2.58) Der beweis erfolgt indem wir (2.57) mit m Multipliziern und integrieren Z Z d3 x m A^ n = n d3 x m n (2.59) Die linke Seite von (2.59) wird da A^ hermite’sch ist Z Z d3 x m A^ n = d3 x A^ m Z = d3 x m n m Vergleich von (2.59) und (2.60) liefert Z ( n d3 x m) Für n 2.3.4 6= m m n (2.60) m =0 mußdaher (2.58) gelten. Zeitabhängigkeit von Erwartungswerten Für hermite’sche Operatoren können wir werten allgemein berechnen. Z d D ^E A = d3 x dt Z = d3 x die Zeitabhängigkeit von Erwartungsd dt A^ (2.61) _ A^ + A^ _ Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung folgt _ = iH ^ ~ und (2.62) i ^ H ~ _ = (2.63) Die liefert in (2.61) d D ^E A = dt i ~ Z ^ hermite’sch ist gilt Da H Z ^ d3 x H d3 x h ^ H 2 = Z A^ + d3 x ^ H ^ A^H 2 i (2.64) (2.65) 16 KAPITEL 2. SCHRÖDINGERGLEICHUNG und daraus folgt für Z 2 = A^ ^ d x H A^ = 3 Z d3 x ^ A^ H Damit wird (2.64) Z i d D ^E A = d3 x dt ~ oder kompakt d D ^E A = dt h ^ A^ H i h^ ^ HA ~ ^ A^H ^ A^H i i (2.66) ^ vertauschbar ist, so dass H ^ A^ = A^H ^ gilt , so ist der Wenn also A^ mit H ^ Ewartungswert von A d D ^E A =0 dt eine Erhaltungsgröß e.Wir werden diesen Sachverhalt ,sowie (2.64) allgemein, später noch genauer unersuchen. 2.4 Wellenpaket Wir kehren nun zurück zur Schrödingergleichung und betrachten als einfachsten Fall ein kräftefreies Teilchen in einer Dimension ~2 @ 2 2m @x2 ~ @ (x; t) = i @t Mit dem Ansatz (x; t) = (x) e (x; t) (2.67) i ~ Et damit folgt aus (2.67) dieEigenwertgleichung ~2 @ 2 2m @x2 (x) = E (x) (2.68) mit den Lösungen (x) = g(k)eikx die wegen @ 2 ikx e = @x2 k 2 eikx zu Energien Ek = ~2 k 2 2m (2.69) gehören. Da die Schrödingergleichung (2.67) linear in (x; t) ist, wird ihre allgemeinste Lösung eine Überlagerung von ebenen Wellen Z i (x; t) = dkg(k)eikx e ~ Ek t (2.70) (Einsetzen von (2.70) in (2.67) bestätigt diese Aussage sofort). 2.4. WELLENPAKET 17 Abbildung 2.1: Abb. 1.10: Wahrscheinlichkeitsdichte des Gauß ’schen Wellenpakets zur Zeit 0. Wir wählen nun als zeitliche Anfangsbedingung für eine Wellenfunktion die um den Ursprung lokalisiert ist, bespielsweise eine Gaussfunktion (x; 0) = Ae Dann hat die Wahrscheinlichkeitsdichte x2 2a2 (2.71) (x; 0) 2 2 (x; 0) = j (x; 0)j = jAj e x2 a2 (2.72) die Halbwertsbreite 2a. Aus (2.71) können wir g(k),berechen, denn der Vergleich mit (2.70) liefert Z x2 (x; 0) = dkg(k)eikx = Ae 2a2 (2.73) woraus folgt, dass g(k) die Fourirtransformierte von Ae Z x2 1 g(k) = dxe ikx Ae 2a2 2 Das Intergral I= Z dxe x2 2a2 ikx hat nach quadratischer Ergänzung im Exponenten e mit z = x x2 2a2 ikx =e 1 2a2 (x 2 2ia2 k) 2ia2 k und Z dze 1 2a2 zz = p 2 2 1 e 2a2 (ia k) 2 a x2 2a2 ist, d.h. es gilt 18 KAPITEL 2. SCHRÖDINGERGLEICHUNG den Wert I= Damit wird p 2 ae a2 2 a g(k) = p Ae 2 k2 a2 2 k2 (2.74) Wir berechen nun die Schwankungsquadrate von Ort und Impuls, und zeigen, dass für sie die Heisenberg’sche Unschärferelation gilt. Der Ortsmittelwert Z hxi = dxx (x; 0) (2.75) Z x2 2 dxxe a2 = 0 = jAj da die Dichte symmetrisch um den Ursprung ist d.h. es gilt (x; 0) = ( x; 0) : D E D E 2 2 Das Schwankungsquadrat (x hxi) der Ortsvariable wird daher zu (x hxi) = x2 und 2 x2 = jAj Z x2 a2 dxx2 e (2.76) Da die Normierungskonstante A so gewählt werden muß , dass gilt Z Z x2 2 dxe a2 = 1 dx (x; 0) = jAj erhält (2.76) die Form 2 x = Z = wobei wir Z dxe dxx e @ 1 a2 @ @ = = 2 @ log = Z Z x2 a2 dxe dxe (2.77) x2 a2 log a a2 2 x2 a2 =a verwendet haben. Damit folgt schließ lich x= 1 a2 x2 a2 rD (x Z dye 2 hxi) y2 E p =a a =p 2 (2.78) D E 2 Um das Schwankungsqadrat des Impulses (^ p h^ pi) zu berechnen verwenden wir Z (x; 0) = dkg(k)eikx (2.79) 2.4. WELLENPAKET 19 d.h. es gilt N= Z dx (x; 0) (x; 0) = 2 Z 2 dk jg(k)j (2.80) @ Für den Mittelwert des Impulsoperators folgt dann p^ = ~i @x folgt (wenn wir die Normierungskonstante N aus (2.80) explizit mitschreiben) Z ~ @ (x; 0) =N (2.81) h^ pi = dx (x; 0) i @x Z Z Z 0 ~ @ dkg(k)eikx =N (2.82) = dx dk 0 g (k 0 )e ik x i @x Z Z Z 0 = ~ dx dk 0 g (k 0 )e ik x k dkg(k)eikx =N (2.83) Z Z Z 0 = ~ dk 0 g (k 0 )e ik x k dkg(k)eikx 2 (k 0 k)=N (2.84) Z Z 2 2 = ~ dk k jg(k)j = dk jg(k)j (2.85) Analog erhalten wir 2 p^ =~ 2 Z 2 2 dk k jg(k)j = Z 2 dk jg(k)j (2.86) Da g(k) aus (2.74) in k symmetrisch ist, dh. g(k) = g( k) gilt, erhalten wir (analog zu hxi = 0) ebenfalls h^ pi = 0. Der Wert für p^2 folgt , wie der Vergleich von (2.77) mit (2.86) und (2.74) zeigt wiederum durch Di¤erentiation Gauß ’scher Integrale. Wir müssen daher insgesamt in (2.77) nur 1 2 ) a2 ersetzen um schließ lich das Resultat a p^2 = ~2 2a2 (2.87) zu erhalten. Aus (2.78)und (2.87) folgt, dass für das Gauß ’sche Wellenpaket die Heisenberg’sche Unschärferelation x p ~2 genau mit dem Gleichheitszeichen erfüllt ist : ~ (2.88) 2 Dieses Resulat ist für das Gauß ’sche Wellenpaket (bei dem p = ~k pgilt) verständlich, denn bei der Fouriertransformation ist die Halbwertsbreite ( 2a) x p= x2 der Funktion im Ortsraum ( (x) e 2a2 ) stets umgekehrt proportional zur p a2 2 Halbwertsbreite ( 2=a ) der Fouriertransformierten (g(k) e 2 k ). 20 KAPITEL 2. SCHRÖDINGERGLEICHUNG Kapitel 3 Eindimensionale Probleme Im folgenden lösen wir die Schrödingergleichung für einige eindimensionale Probleme und lernen dabei u. a., dass die Lösungen erst durch die Randbedingungen eindeutig bestimmt werden. 3.1 Unendlich hoher Potentialtopf Abb. 3.1: Der eindimensionale Potentialtopf und zwei Eigenfunktionen, die zu den beiden niedrigsten Energiewerten gehören. Der unendlich hohe Potentialtopf zeichnet sich dadurch aus, dass im Bereich 0 x L die zeitunabhängige Schrödingergleichung gleich der eines freien Teilchens ist ~2 @ 2 (x) = E (x) (3.1) 2m @x2 und durch den unendlich hohen Wert des Potentials an den Rändern, die Wellenfunktion dort verschwinden muss, dh. es gelten die Randbedingungen (0) = (L) = 0 21 (3.2) 22 KAPITEL 3. EINDIMENSIONALE PROBLEME In 0 x L haben wir als Lösungen von (3.1) ebene Wellen eikx und e ikx (3.3) die beide zur Energie ~2 k 2 2m E= (3.4) gehören. Wir bilden daher die Gesamtwellenfunktion Überlagerung der Lösungen (3.3) (x) = eikx + e (x) aus einer linearen ikx und bestimmen die Koe¢ zienten ; aus den Randbedingungen (3.2) und der Normierung Z L 2 dx j (x)j = 1 (3.5) 0 Die Randbedingungen (3.2) liefern (0) = (L) = Aus (3.6) folgt = + =0 eikL + e ikL =0 (3.6) (3.7) so dass (3.7) die Bedingung ei2kL = 1 (3.8) erzeugt. Da für alle ganze Zahlen n ei2 n =1 (3.9) n mit n = 1; 2; 3; (3.10) gilt, schränkt (3.8) die k Werte ein auf k= L Die zugehörige Wellenfunktion hat die Form n Wobei eikx (x) = e ikx (3.11) noch aus der Normierung zu bestimmen ist. Da für k = 0 0 (x) = 0 gilt d.h. 0 (x) nicht auf eins normierbar ist, können wir n = 0 in (3.10)auschließ en. Weiterhin führen negative ganze Zahle, die ebenfalls durch (3.9) erlaubt wären, nur zu einem Vorzeichenwechsel der Wellenfunktion, ändern also nichts an 2 der Aufenthaltswahrscheinlicheit j k (x)j ,so dass wir sie ebenfalls ignorieren können. A Zur Vereinfachung wählen wir = 2i so dass n (x) = A sin(kx) (3.12) 3.1. UNENDLICH HOHER POTENTIALTOPF 23 wird. Aus der Normierungsbedingung (3.5) erahletnm wir Z L 2 dx j k (x)j 0 = A2 Z (3.13) L dx sin2 (kx) 0 2L = A 2 =1 so dass A= r 2 L wird und und insgesamt folgt: r ~2 2 sin(kx) mit k = n und En = n (x) = L L 2m (3.14) 2 L n2 (3.15) Die Lösungen n (x) sind, die Abb. dargestellten stehenden Wellen. Als verallgemeinerungsfähiges Resultat halten wir fest, dass die Eigenfunktionen n (x) des Hermite’schen Operators ^ = H ~2 @ 2 2m @x2 (3.16) ein Orthonormalsytem bilden, denn es gilt Z L dx n (x) m (x) 0 = 2 L Z 0 L dx sin( m n x) sin( x) = L L (3.17) n;m Abb. 3.2: Der, für ein Teilchen mit der Energie E im Potentialtopf erlaubte Phasenraum. Das minimale Phasenraumvolumen für einen Zustand hat die Größ e h. 24 KAPITEL 3. EINDIMENSIONALE PROBLEME 2 2 ~ Die Quantisierung der Energiewerte in der Form En = 2m n2 ermöglicht L eine Abzählung der erlaubten Zustände im Phasenraum, die ebenfalls verallgemeinerungsfähig ist und uns in der Thermodynamik sehr nützen wird. Das klassisch erlaubte Volumen VP im zweidimensionalen Phasenraum hat für ein freies Teilchen im Potentialkasten - bei vorgegebener Energie,welche die Impulse einschränkt auf E= p p2 ) pmax = 2mE und pmin = 2m p 2mE (3.18) den Wert (vergl. Abb. ) VP = Z L dx Z pmax p dp = 2L 2mE (3.19) pmin 0 Quantenmechanisch gilt En = ~2 2m 2 L n2 (3.20) d.h. p En = p ~ 2m L n (3.21) Wenn wir dies in (3.19) einsetzen folgt, dass die maximale Zahl der Quantenzustände nmax im zweidimensionalen Phasenraumvolumen VP gegeben ist durch nmax = VP h (3.22) Dieses Resultat ist verständlich, da infolge der Unschärferelation, ein quantisiertes Teilchen im (zweidimensionalen) Phasenraum etwa ein Volumen p x ' h besetzt. Die Verallgemeinerung von (3.19) auf den 2N dimensionalen Phasenraum liefert nmax = VPN hN (3.23) 3.2. DER HARMONISCHE OSZILLATOR 3.2 25 Der Harmonische Oszillator Abb. 3.3: Die Potentielle Energie V(x) eines harmonischen Oszillators, zusammen mit der Wellenfunktion des Grundzustandes. ^ des harmonischen Oszillators hat , die aus der Der Hamiltonoperator H klassischen Mechanik bekannte Form 2 2 ^ = p^ + m! x H ^2 2m 2 (3.24) wobei m die Teilchenmasse und ! die Frequenz des Oszillators ist. Wir su^ mit den Randbedingungen chen die Eigenwerte E und Eigenfunktionen von H ( 1) = 0, welche die Normierbarkeit von sichern. Die zu (3.24) gehörige Schrödingergleichung hat die Form Indem wir x ) x x0 ~2 @ 2 m! 2 2 + x (x) = E (x) 2m @x2 2 q ~ (mit x0 = m! ) ersetzen wird (3.25) @2 + x2 @x2 ~! 2 =E (3.25) (3.26) Um diese Eigenwertgleichung zu lösen, führen wir die (sogenannten) Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren b+ und b ein by = b = 1 p 2 1 p 2 @ +x @x @ +x @x (3.27) (3.28) Direktes Ausrechnen zeigt, unter Beachtung von @ @ x=x +1 @x @x (3.29) 26 KAPITEL 3. EINDIMENSIONALE PROBLEME dass gilt b+ b = @2 + x2 @x2 1 2 1 (3.30) Damit erhält (3.26) die Form ~! + b b+1 2 =E (3.31) oder b+ b = " (3.32) mit "= E 1 2 =~! (3.33) Als nächstes verwenden wir die mit (3.29) aus (??) direkt folgende Vertauschungsrelation bby by b = 1 (3.34) um die Eigenwerte und Eigenfunktionen von (3.32)zu berechnen. Hierzu zeigen wir erstens, dass die Eigenwerte " nach unten beschränkt sind, dass also gilt " 0 . Als zweites zeigen wir, dass der Vernichtungsoperator b , angewandt auf die Eigenfunktion 0 ;die zum tiefsten Eigenwert "0 gehört, Null liefert. Aus der Relation b 0 = 0 folgt dann die Form von 0 . 1. Um zu zeigen, dass " 0 gilt gehen wir von (3.32) aus und erhalten nach Multiplikation mit und Integration Z Z dx by b = " dx (3.35) Es gilt allgemein by = (b ) denn, wenn wir in Z dx by (3.36) (3.37) (wobei eine beliebige, normierbare komplexe Funktion ist) durch partielle Integration (unter Beachtung von ( 1) = ( 1) = 0 ) die Di¤erentiation von auf überwälzen folgt Z dx by (3.38) Z @ 1 +x (3.39) = dx p @x 2 Z 1 @ = dx p +x (3.40) 2 @x Z = dx (b ) (3.41) 3.2. DER HARMONISCHE OSZILLATOR 27 Allgemein bezeichnet man einenOperator A^y für den gilt Z Z y ^ dx A = dx A^ (3.42) als den zu A^ adjungierten Operator.Der Vergleich mit (2.46) zeigt, dass der selbstadjungierte Operator für den A^ = A^y gilt, ein hermite’scher Operator ist. Damit wird Z dx by b (3.43) Z = dx (b ) (b ) (3.44) Z 2 = dx jb j 0 (3.45) Aus (3.35) und (3.43) folgt Z Z 2 2 " = dx jb j = dx j j 0 (3.46) 2. Wir nehmen an, dass der tiefste Eigenwert "0 mit der Eigenfunktion 0 vorliegt, so dass gilt b+ b 0 = " 0 0 (3.47) Indem wir b darauf anwenden erhalten wir bb+ b 0 = "0 b (3.48) 0 Aus der Vertauschungsrelation (3.34) folgt bb+ = b+ b + 1 und damit wird (3.48) zu by b + 1 b 0 = "0 b 0 (3.49) oder by b (b 0) = ("0 1) (b 0) (3.50) Damit wäre b 0 Eigenfunktion zum Eigenwert ("0 1) im Widerspruch zur Annahme, dass "0 der kleinste Eigenwert ist. Dieser Widerspruch löst sich nur, wenn gilt b 0=0 (3.51) d.h. wenn b 0 keine normierbare Eigenfunktion von b+ b ist. Damit haben wir die gesuchte Bestimmungsgleichung für 0 gefunden. Gleichung (3.51)lautet explizit 1 p 2 oder 0 0 0 = @ +x @x x) Integration von (3.53) zeigt, dass 0 (x) = 0 d log @x 0 (x) =0 0 = (3.52) x (3.53) eine Gauß funktion ist. 0 (0)e x2 2 (3.54) 28 KAPITEL 3. EINDIMENSIONALE PROBLEME Abbildung 3.1: Wirkung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren by und b auf die Energiezustände des quantenmechanischen Oszillators und dass nach (3.51) der, ihr zugehörige, Eigenwert den Wert Null hat: "0 = 0 (3.55) Indem wir auf by b 0 = "0 by by b 0 = " 0 b+ (3.56) 0 + b anwenden folgt (3.57) 0 und mit (3.34) wird daraus by bby 1 = " 0 b+ 0 (3.58) 0 Nach Umformung erhalten wir by b by 0 = ("0 + 1) b+ (3.59) 0 d.h. 1 = by (3.60) 0 ist Eigenfunktion zum Energiewert "1 = "0 + 1 = 1. Analog folgen die höheren Eigenfunktionen und Energiewerte: n = by n 0 mit "n = n (3.61) Explizit lautet (3.61), wenn wir noch die Normierungskonstante An einfügen n (x) 1 = An p 2 = An Hn (x) e @ +x @x x2 2 n e x2 2 (3.62) (3.63) 3.2. DER HARMONISCHE OSZILLATOR 29 wobei H0 (x) = 1; H1 (x) = 2x; H2 (x) = 4x2 1; ::: die Hermite’schen Polynome sind. Aus der Normierung Z 2 dx j n (x)j = 1 (3.64) (3.65) folgt 2 jAn j = 1 p 2n n! (3.66) Der quantenmechanische Oszillator unterscheidet sich in mehrfacher Hinsicht vom klassischen Oszillator: 1. Die Grundzustandsenergie des klassischen Oszillators ist Null, da dann das Teilchen dann ruht. Dieser Zustand wäre auf Grund der Unschärferelation bei einem quantenmechanischen System mit einer beliebig hohen Impulsunschärfe verbunden. Da der Grundzustand des harmonischen Oszillators eine Gauß funktion ist gilt für ihn, nach (2.88), die Unschärferelation mit dem Gleichheitszeichen: x p = ~2 . Daher ist es verständlich, dass die Gundzustandsenergie E0 = ~! 2 des quantenmechanischen Oszillators von Null verschieden ist. Die damit verbundenen Nullpunktsschwingungen sind beipielsweise bei festem Helium messbar. 2. Die Energiezutände En = ~! n + 21 des Quantenoszillators sind, gemessen vom Grundzustand aus - in Übereinstimmung mit der Annahme von Max Planck - ganzzahlige Vielfache von ~!. 3. Bei einem klassischen Oszillator sind bei vorgegebener Energie die Umkehrpunkte xU des Teilchens (an denen die kinetische Energie verschwindet) durch V (xU ) = E gegeben.Beim Quantenoszillator hat das Teilchen - wie das Beipiel der Gauß ’schen Wellenfunktion im Grundzustand (Abb.3.1 )zeigt - auch auß erhalb der Umkehrpunkte noch eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit. 30 KAPITEL 3. EINDIMENSIONALE PROBLEME Kapitel 4 Formalismus der Quantenmechanik Die Gesetze der klassischen Mechanik - wie etwa die Newton’sche Bewegungsgleichung d ~ p~ = K dt (4.1) ~ ) im lassen sich durch Vektoren (hier durch den Impuls p~ und die Kraft K dreidimensionalen Raum unabhängig von der spezielle Wahl der Basis - die aus einem Satz von orthgonalen Vektoren besteht - beschreiben. (Abb. 4.1) Abb. 4.1: Der Vektor ~x hat in verschiedenen orthonormalen Basen f~e1 ; ~e2 gund f~u1 ; ~u2 g vesrchiedene Komponenten ("Darstellungen ") fe1 ; e2 g und fa1 ; a2 g. 31 32 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK Paul Adrien Maurice Dirac (1902 -1984 Dirac1 erkannte als erster, dass sich - in Analogie hierzu- die Quantenmechanik durch Vektoren im Hilbertraum (d.h. dem Raum quadratintegrablen komplexwertigen Funktionen) ebenfalls unabhängig von der speziellen Basis beschreiben lässt. Aber wie erhält man orthonormale Basissysteme? Es ist aus der linearen Algebra bekannt, dass die Eigenwerte von symmetrischen Matrizen reell sind und zu orthogonalen Eigenvektoren gehören, die eine Orthonormal-Basis im dreidimensionalen Vektorrraum bilden. Analog dazu haben in der Quantenmechanik Hermitesche Operatoren (die klassischen Messgröß en zugeordnet sind) reelle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenfunktionen bilden ein Orthonormalsystem. @ Das einfachste Beispiel ist der Impulsoperator p^ = ~i @x dessen, zu den Eigenwerten p = ~k gehörigen, Eigenfunktionen k (x) "ebene Wellenß ind ~ @ i @x k (x) = p k (x) k (x) = Aeikx (4.2) (4.3) und die Basis für die Fourierdarstellung bilden. Im Folgenden betrachten wir zunächst die klassische Entwicklung von komplexwertigen normierbaren Funktionen (die Normierbar sichert die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit bei Wellenfunktionen) nach einem Orthonormalsytem. Danach vergleichen wir die Darstellung von Vektoren im anschaulichen zweidimensionalen Vektorraum mit der von Vektoren Hilbertraum um so die dort aufretenden Konzepte und insbesondere die, von Dirac eingeführte Notation besser zu verstehen. 1 Dirac erhielt 1933 zusammen mit E. Schrödinger den Nobelpreis für seine relativistische Formulierung der Quantenmechanik. 4.1. ENTWICKLUNG NACH EINEM ORTHONORMALSYSTEM 4.1 33 Entwicklung nach einem Orthonormalsystem Wir betrachten eine komplexwertige normierbare Funktion f (x) für die gilt Z dx f (x)f (x) < 1 (4.4) (Um die Schreibweise zu vereinfachen betrachten wir hier und im folgenden nur Funktionen f (x) in einer Dimension x: Alle Ergebnisse lassen sich direkt auf drei Dimensionen übertragen). Als nächstes versuchen wir f (x) durch eine linare Überlagerung von Funktionen un (x) n = 0; 1; :::: eines Orthonormalsystems Z dx un (x)um (x) = n;m (4.5) darzustellen, dh. f (x) = 1 X an un (x) (4.6) n=0 Die Entwicklungskoe¢ zienten an lassen sich berechen indem wir (4.6) mit um (x) multiplizieren, über x integrieren und die Orthogonalität ausnutzen "1 # Z Z X dx um (x) f (x) = dx um (x) an un (x) (4.7) = = 1 X n=0 1 X an Z an n=0 dx um (x)un (x) n;m (4.8) = am (4.9) n=0 Aber wie gut stellt die Entwicklung (4.6) die Funktion f (x) dar? Wir fordern "Konvergenz im Mittel", dh. I= Z dx f (x) 1 X 2 am um (x) =0 (4.10) m=0 Duch Umformung erhalten wir daraus mit (4.7) und indem wir die Orthogonalität (4.5) ausnutzen "1 #" 1 # Z X X I = dx an un (x) am um (x) (4.11) = = Z Z n=0 dx " m=0 1 X 2 jf j 2 dx jf (x)j am f um m=0 1 X 1 X am f um + n=0 1 X # an am un um(4.12) n;m=0 an an = 0 (4.13) n=0 d.h. intuitiv, soll die "Länge"des "Vektors" f (x) erhalten bleiben Z 1 X 2 2 dx jf (x)j = jan j n=0 (4.14) 34 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK Aber das stellt eine Forderung an die Basis Funktionen um (x), denn wenn P1 2 wir (4.7)in n=0 jan j verwenden folgt 1 X n=0 2 jan j = = 1 Z X n=0 1 X Z n=0 = Z dx 2 (4.15) dx un (x)f (x) dx un (x)f (x) Z dx0 f (x)f (x0 ) Z " dx0 f (x0 )un (x0 ) (4.16) # (4.17) 1 X un (x)un (x0 ) n=0 Nur wenn für die Basisfunktionen die "Vollständigkeitsrelation" 1 X un (x)un (x0 ) = (x x0 ) (4.18) 2 (4.19) n=0 erfüllt ist, folgt aus (4.17) 1 X n=0 2 jan j = Z dx jf (x)j Im Folgenden werden wir diese Überlegungen gleich noch einmal - sowohl für ein zweidimensionale Vektoren als auch für Vektoren im Hilbertraum - wiederholen. Die obige Formulierung hilft dabei, die Dirac’sche Schreibweise zu verstehen. 4.2. EIGENSCHAFTEN DER ZUSTANDSVEKTOREN: 35 Vergleich: Entwicklung nach Orthonormalsystemen 4.2 Eigenschaften der Zustandsvektoren: Aus der De…nition des Skalarproduktes folgt direkt h j i = Wenn wir j i = schreiben als 1 X n=0 P1 n=0 bn an = Z dx (x) (x) = h j i (4.20) an jni in Analogie zu zweidimensionalen Vektoren 0 1 a1 B a2 C C j i $B @ : A = ~a an :: (4.21) folgt für den zu ~a "adjungierten Vektor den man durch Transposition und komplexe Konjugation aus ~a erhält: ~ay = ~a T = (a1 ; a2 ; ::an ::) (4.22) 36 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK Betrachten wir h j i= 1 X an an (4.23) n=0 so folgt h j i = ~ay ~a (4.24) (a1 ; a2 ; ::an ::) = ~ay $ h j (4.25) d.h. Die nach Dirac "Bra" h j und "Ket"j i genannten Vektoren (die zusammen eine "Bracket"h j i d.h. Klammer bilden) sind daher adjungiert zueinander: j i $ ~a und ~ay $ h j ) h j = iy Vergleich: Vollständigkeit ("kein Basisvektor fehlt") (4.26) 4.2. EIGENSCHAFTEN DER ZUSTANDSVEKTOREN: 37 "Übersetzung ": Wir stellen nun - analog zum Stein von Rosetta2 - eine Verbindung zwischen der Dirac’schen Schreibweise und der älten Schreibweise (4.4-4.19)her indem wir, die Entwicklung nach einem ON-System und die Vollständigkeitsrelation in beiden Schreibweisen vergleichbar formulieren. Aus j i= folgt nach Multiplikation mit hxj hx j i = Identi…zieren wir hx j i = 1 X an jni (4.27) 1 X an hx jni (4.28) n=0 n=0 (x) und hx jni = un (x) (4.29) so erhalten wir aus (4.28) die wohlbekannte Darstellung (x) = 1 X an un (x) (4.30) n=0 Aus der Vollständigkeitsrelation 1 X (jnihn ) = 1 (4.31) n=0 wird nach Multiplikation mit hxj und jx0 i 1 X n=0 Identi…zieren wir hier hx jni hn jx0 i = hx jx0 i hn jx0 i = un (x0 ) und hx jni = un (x) (4.32) (4.33) (wobei letzteres aus der De…nition des Skalarproduktes folgt), so erhalten wir, indem wir noch die Orthogonalitätsrelation hx jx0 i = (x x0 ) verwenden, die aus (4.18) bekannte Vollständigkeitsrelation 1 X un (x0 ) un (x) = (x x0 ) (4.34) n=0 2 Der 1799 von den Truppen Napoleons in Ägypten gefundene Stein von Rosetta ermöglichte es Jean Francois Champolion im Jahr 1822 die ägyptischen Hieroglyphen zu entzi¤ern, da auf ihm der gleiche Text in Griechisch, Demotisch (alt-ägyptische Schrift für Beamte) und in Hieroglyphen (alt-ägyptische Schrift für Priester) dargestellt ist. 38 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK Das Schöne an der Dirac’schen Formulierung ist, dass sie nicht nur - wie bisher betrachtet - für den unendlich dimensionalen Hilbertraum gilt , sonder auch für endlich dimensionale Teilräume. Betrachten wir einen solchen Unterraum mit der Dimension N und der Basis j 1 i :::: j N i so wirdmit h i j i = i ) j i $ ~ (wobei ~ die Komponenten i hat) und mit h i jni = ui;n ) jni $ ~un aus j i= 1 X n=0 an jni mit an = hn j i (4.35) durch Muliplikation mit h i j in der Vektordarstellung ~ = N X an ~un mit an = ~unT ~ (4.36) n=1 Analog wird die Vollständigkeitsrelation X (jnihn ) = 1 (4.37) n durch Multiplikation mit h i j und j X n h i ji jni hn j i i = h i j ii = i;j (4.38) Wie wir gleich sehen werden ist (4.38)der Ausdruck dafür, dass hn j i i eine Unitäre Matrix ist, die eine Wechsel zwischen der (alten) ON Basis fj i g und der (neuen) ON- Basis fjni g so vermittelt, dass die neue Basis den betrachteten N -dimensionalen Teilraum wieder vollständig aufspannt (und man nicht etwa in einem niedrig-dimensionaleren Unterraum landet).Im zweidimensionalen Vektorrraum werden Basiswechsel durch orthogonale Transformationen vermittelt die das alte Basissystem in das neue rotieren (vergl. Abb. 4.1). Im Hilbertraum erfolgt die analoge "Rotation"durch eine Unitäre Matrix. 4.3. SCHRÖDINGERGLEICHUNG IN MATRIXFORM 39 Vergleich: Basiswechsel 4.3 Schrödingergleichung in Matrixform Wir gehen aus von der Schrödingergleichung in der Dirac Schreibweise ^ j i =Ej i H multiplizieren (4.38) von links mit hnj und schieben ^ und j i ein H ^ hnj H X jmihm j i = Ehn j i 1 X Hnm an = E an m (4.39) P m (jmihm ) zwischen (4.40) ^ jmi und an = hn j i folgt aus (4.38) die EigenwertgleiMit Hnm = hnj H chung (4.41) m=0 Mit der Matrix H = fHnm g und den zugehörigen Eigenvektoren ~ai = fai;n g wird daraus H ~ai = Ei~ai (4.42) Indem wir aus den Eigenvektoren ~ai die Matrix S = ( ~a1 ; :::~al :::::) bilden folgt aus (4.42) 40 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK H ( ~a1 ; :::~al :::::) = ( E1~a1 ; :::El~al :::::) = E S (4.43) wobei E eine Diagonalmatrix 0 E1 E=@ 0 0 0 E2 0 1 0::: 0::: A ::: (4.44) ist. Gleichung hat in Matrixschreibweise die Form H S=E S (4.45) Die Eigenvektoren von H sind orthonormal ~ayi ~aj = i;j , daher ist die Matrix S unitär , d.h. es gilt S y = S 1 und es folgt aus (4.42) nach Multiplikation mit S y Sy H S = E (4.46) Die aus den Eigenvektoren von H konstruierte unitäre Matrix S diagonalisiert die hermite’sche Matrix H . Wir verbinden die Matrixgleichung (4.42) mit der bekannten Darstellung der Schrödingergleichung in derR Ortsdarstellung. Dazu multiplizieren (4.38) ^ und j i ein von links mit hxj und schieben dx0 (jx0 ihx0 ) zwischen H Z ^ jx0 i hx0 j i = Ehx j i dx0 hxj H (4.47) ~2 @ 2 + V (x) 2m @x2 (4.48) Der Vergleich mit (x) = E (x) zeigt, dass gilt: (x) = hx j i (4.49) und ^ jx0 i = (x hxj H 0 x) ~2 @ 2 + V (x) 2m @x2 (4.50) Die Matrixelemente Hnm berechnen sich daher, nach Wahl einer Basis jni mit un = hx jni , aus Hnm Z Z ^ ^ = hnj H jmi = hnj dx (jxihx ) H dx0 (jx0 ihx0 ) jmi Z ~2 @ 2 = dx un (x) + V (x) um (x) 2m @x2 (4.51) (4.52) 4.4. ZEITENTWICKUNG ALS UNITÄRE TRANSFORMATION 4.4 41 Zeitentwickung als unitäre Transformation Wir betrachten zunächst die Transformation eines beliebigen hermite’schen Operators F unter einer unitären Transformation und und zeigen dann, dass seine Zeitentwicklung durch eine spezielle unitäreTransformation vermittelt wird. Analog zu Hnm können wir dieMatrixelement eins beliebigen hermite’schen Operators F^ bilden Fnm = hnj F^ jmi (4.53) und untersuchen wie er sich bei einer Basistransformation fjni g ! fj i g verhält die, durch die unitäre Matrix S vermittelt wird. j i= 1 X Sn; jni (4.54) h j F^ j i 1 1 X X Sn; Sm; hnj F^ jmi (4.55) n=0 Mit (4.54) folgt F = = n=0 1 X = (4.56) m=0 S y ;n Fnm Sm; (4.57) n;m=0 gilt d.h. wenn wir die Darstellung von F^ in der Basis fj i g mit F^ 0 bezeichnen F^ 0 = S y F S (4.58) Darüberhinaus gilt h j F yF j i = X n = h j F y jni hnj F j i X n hnj F j i hnj F j i 2 = jF j i j (4.59) (4.60) (4.61) Wir gehen aus von der zeitabhängigen Schrödingergleichung (für einen selbst ^ nicht von der Zeit abhängigen) Hamiltonoperator H ~ @ ^ j (t)i j (t)i = H i @t (4.62) und lösen sie formal mit j (t)i = e i ^ ~ Ht j (0)i (4.63) Diese Lösung lässt sich durch di¤erenzieren veri…zieren. Der Operator S=e i ^ ~ Ht (4.64) 42 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK ^ hermite’sch ist , vermittelt eine unitäre Transformation, denn es gilt, (da H ^ y = H): ^ dh. H Sy = = = = e i ^ ~ Ht 1 X 1 n! n=0 1 X 1 n! n=0 i ^ ~ Ht (4.65) n i ~ 1 X 1 n! n=0 = e y i ~ n i ~ n =S n ^ Ht ^ yt H y (4.66) n (4.67) n ^ Ht (4.68) 1 (4.69) Für den zeitabhängigen Erwartungswert eines Operators F^ gilt daher mit = h (t)j F^ j (t)i i ^ h (0)j e+ ~ Ht F^ e (4.70) i ^ ~ Ht j (0)i Im SSchrödingerbild" ordnet man - wie in (4.63) - über e hänggkeit der Wellenfunktion j (t)i j (t)i = e i ^ ~ Ht j (0)i (4.71) i ^ ~ Ht die Zeitab- (4.72) zu. Aber (4.63) erlaubt es auch dass man im "Heisenbergbild" die Zeitabhängigkeit auf den Operator schiebt i ^ F^ (t) = e+ ~ Ht F^ e i ^ ~ Ht (4.73) Di¤erentiation von (4.73) liefert für den zeitabhängigen Operator F^ (t) die Bewegungsgleichung d ^ i ^^ ^ F (t) = H F F^ H (4.74) dt ~ ^ vertauscht, F^ (t) zeitlich Insbesondere folgt daraus , dass, sobald F^ mit H konstant ist. ^ 0 = p^2 eines freien Betrachten wir beispielsweise den Hamiltonoperator H 2m Teilchens, so vertauscht er mit dem Impulsperator p^ ,d.h. es gilt im Heisenbergbild i ^ d ^0 = 0 p^ (t) = H0 p^ p^H (4.75) dt ~ Der Impuls ist also in diesem Beispiel , zeitlich konstant, dh. eine Erhaltungsgröß e. Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass Erhaltungsgsätze mit Invarianzen gegenüber Symmetrieoperatioen verbunden sind. So folgt aus der Translationssymmetrie der klassichen Hamiltonfunktion die Impulserhaltung. In der Quantenmechanik folgt dieses Resultat unmittelbar daraus dass p^ der erzeugened Operator für eine in…nitesimale Translation ist. Eine Translation 4.5. MESSUNGEN UND PROJEKTIONEN 43 in einer Dimension lässt sich als Taylorentwicklung darstellen 1 X 1 = n! n=0 (x + a) a @ @x n (x) @ = ea @x (x) @ a @x = e und mit p^ = ~ @ i @x (4.76) (4.77) (x) (4.78) folgt i (x + a) = e ~ ap^ (x) (4.79) d.h.der Operator i T^a = e ~ ap^ (4.80) erzeugt eine Translation um a: Der erzeugende Operator für ïn…nitesimale "Translation mit a = " 1 hat daher die Form i p T^" = 1 + "^ ~ (4.81) und es gilt d i ^ p^ (t) = H0 p^ dt ~ ^0 = p^H i1 ^ ^ H0 T " ~" ^0 = 0 T^" H (4.82) Die Invarianz von H0 gegenüber einer in…nitesimalen Translation T^" - die ^ 0 T^" T^" H ^ 0 = 0 ausdrückt - impliziert daher Impulserhalsich in der Form H tung. Sobald aber der Hamiltonoperator ein Potential V (x) enthält, wirkt der ^ 0 + V (x) T^" T^" H ^ 0 + V (x) = Translationsoperator darauf, so dass gilt H V (x + ") 6= 0 und der Impuls bleibt dann nicht mehr erhalten. Analog dazu zeigen wir später, dass Invarianz gegenüber einer in…nitesimalen Rotation Drehimpulserhaltung bedingt. 4.5 Messungen und Projektionen Während in der klassischen Mechanik die Projektionen eines Vektors auf verschiedene Orthonormalbasen lediglich verschiedene Betrachtungen des gleichen Vektors darstellen, haben die Projektionen des Zustandsvektors auf verschiedene Orthonormalbasen des Hilbertraumes eine sehr physikalische Bedeutung: Sie zeigen die Resultate für mögliche Messungen an. Zu jeder physikalischen Messgröß e gehört ein hermite’scher Operator mit Eigenwerten und zugehörigen Eigenvektoren, die eine ON-Basis bilden.Projiziert man den Zustandsvektor auf diese Basis so geben die Betragsquadrate der Entwicklungskoe¢ zienten die Wahrscheinlichkeit dafür an, bei einer Messung den zugehörigen Eigenwert zu messen.Meist ist der Zustandsvektor ein Eigenzustand des Hamiltonoperators ^ Vertauscht H ^ mit einem Messoperator, so kann man sowohl einen EnergieeiH: genwert als auch einen Eigenwert des Messoperators gleichzeitig scharf messen. Für nicht vertauschbare Opertoren gilt die Heisenberg’sche Unschärferelation 44 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK und sie können daher nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.Im Folgenden werden diese Aussagen genauer erläutert. Messgröß en sind hermite’sche Operatoren A^ mit Eigenwerten n und Eigenfunktionen jni zugeordnet. Wenn wir den Zustandsvektor j i auf diese Basis projizieren,so dass gilt 1 X j i= an jni (4.83) n=0 folgt für den Erwartungswert von A h j A^ j i = = = 1 X n;m=0 1 X an am hnj A^ jmi (4.84) an am (4.85) n;m=0 1 X n=0 n hn jmi 2 jan j (4.86) n Die Entwicklungskoe¢ zienten an = hn j i bestimmen die Wahrscheinlich2 keiten jan j dafür den Eigenwert n zu messen. Diese Interpretation ist eine Verallgemeinerung des Speziallfalles A^ = x ^ für den gilt Z Z h jx ^j i = dx dx0 h jx0 ihx0 x ^ jxihx i (4.87) Z Z 2 2 = dx jhx j i j x = dx j (x)j x (4.88) 2 und für den wir wissen, dass j (x)j die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür ist, für den Teilchenort den Messwert x zu …nden. Falls der Zustand j i ein Eigenzustand des Messoperators A^ ist, also j i = jni gilt, folgt aus h j A^ j i = n (4.89) dh. die Messung liefert genau den Eigenwert denn 2 h j A^ h j A^ j i j i = hnj A^ n ohne jegliche Schwankung 2 n jni = 0 (4.90) ^ haben gemeinsame EigenVertauschbare hermite’sche Operatoren A^ und B funktionen denn mit ^ B ^ A^ = 0 A^B (4.91) folgt aus A^ jni = n jni ^ A^ jni = A^ B ^ jni = B (4.92) n ^ jni B (4.93) ^ jni Eigenfunktion von A^ mit Eigenwert n . Falls d.h. mit jni ist auch B ^ jni proportianal zu jni sein, so dass dieser Eigenwert nicht entartet ist, muss B gilt ^ jni = jni B (4.94) 4.5. MESSUNGEN UND PROJEKTIONEN 45 ^ Falls aber n l-fach entartet ist, so d.h. jni ist auch Eigenfunktion von B. dass zu ihm mehrere Eigenvektoren jn1 i::: jnl i gehören, dann folgt aus (4.93) ^ jni eine Linearkombination dieser Eigenvektoren ist nur, dass B ^ jni = B l X i=1 bi jni i (4.95) ^ ein hermite’scher Operator ist, können wir ihn durch Wahl einer geeigda B neten Basis, in dem von jn1 i::: jnl i aufgespannten Unterraum, diagonalisieren, so dass in der neuen Basis fjnj i g gilt ^ jnj i = B j jnj i (4.96) ^ gehen durch eine unitäre TransformaDie neuen Basisvektoren jnj i von B tion aus den jn1 i::: jnl i hervor, sind also Linearkombinationen dieser Vektoren ^ Damit folgt, dass sowohl im nicht und damit ebenfalls Eigenfunktionen von A. ^ ^ gemeinsame Eigenfunktionen entarteten, als auch im entarteten Fall A und B haben, sobald sie miteinander vertauschen. 46 KAPITEL 4. FORMALISMUS DER QUANTENMECHANIK Schwarz’sche Ungleichung und Heisenberg’sche Unschärferelation Kapitel 5 Drehimpuls ~ ist der Operator L ^ = x Dem klassischen Drehimpuls L ^ p^ zugeordnet für dessen Komponenten - wegen der Nichtvertauschbarkeit von Ort und Impuls, [^ p; x ^] = ~i - folgende Vertauschungsrelationen gelten h i ^ ;L ^ = i~L ^ mit = x; = y; = z und zyklisch vertauscht L (5.1) ^ 2z vertauscht mit allen drei ^ 2y + L ^2 = L ^ 2x +L Das Quadrat des Drehimpulses L Komponenten h i ^2; L ^ = 0 für = x; y; z L (5.2) ^ 2 mit all diesen Komponenten gemeinsame Eigenfunktionen hat. so dass L Wir bestimmen nun analog zum harmonischen Oszillator die Eigenwerte und Eigenfunktioen dieser hermiteschen Operatoren. Hierzu führen wir die durch ~ dividierten Operatoren (Ix ; Iy ; Iz ) = ^lx ; ^ly ; ^lz =~ ein, bei denen wir aus Bequemlichkeit auf das "Dachzeichen"verzichten.Für diese ebenfalls hermite’schen Operatoren folgen aus (4.93)und (5.2) die Relationen [I ; I ] = I mit = x; = y; = z und zyklisch vertauscht h i I~2 ; I = 0 für = = x; y; z (5.3) (5.4) Analog zum harmonischen Oszillator führen wir Erzeugungs I+ und Vernichtungsoperatoren I+ ein I+ I = Ix + iIy = Ix iIy (5.5) (5.6) y = I und I y = I+ und für die wir die, die zueinander adjungiert sind I+ aus (??) folgenden Vertauschungsrelationen zusammenstellen: [I ; Iz ] = I [I+ ; I ] = 2Iz h i h i I~2 ; Iz = I~2 ; I = 0 47 (5.7) (5.8) (5.9) 48 KAPITEL 5. DREHIMPULS Weiterhin gilt I~2 = Ix2 + Iy2 + Iz2 = I+ I + Iz2 Iz (5.10) h i Aus I~2 ; Iz = 0 folgt, dass I~2 und Iz gemeinsame (orthonormierte) Eigenfunktionen j ; mi haben, die wir mit den zugehörigen Eigenwerten und m bezeichnen, so dass gilt I~2 j ; mi Iz j ; mi = j ; mi = m j ; mi (5.11) (5.12) und h ; m 0 ; m0 i = ; 0 m;m0 Da für einen hermite’schen Operator F^ gilt h j F^ F^ j i = h j F^ y F^ j i = F^ j i 2 0 (5.13) erhalten wir mit (5.10) und (??) 0 h ; mj Ix2 + Iy2 j ; mi = h ; mj I~2 Iz2 j ; mi = dh. der Eigenwert m ist durch den Eigenwert m2 m2 (5.14) beschränkt 0 (5.15) Wir betrachten h i nun die Wirkung von I auf die Eigenzustände j ; mi 2 ~ 1. Aus I ; I = 0 folgt, 2. I j ; mi ist - bis auf einen Normierungsfaktor c - Eigenzustand von Iz mit Eigenwert m 1 denn aus (5.7) folgt I j ; mi = c j ; m 1i (5.16) 2 Die Normierung jc j berechnet sich daraus - da nach (4.58) gilt h j F y F j i = 2 jF j i j - mit (5.10) zu 2 jc j 2 = jI j ; mi j = h ; mj I+ I j ; mi = h ; mj I~2 Iz2 + Iz j ; mi = m2 + m 0 Analog folgt 2 2 jc+ j = m2 m 0 (5.17) (5.18) (5.19) (5.20) Da nach (5.10) 0 m gilt, sind für festes die Eigenwerte m nach oben durch mmax und nach unten durch mmin beschränkt, so dass -da man in beiden Fällen nicht "weiterschrauben"kann - gilt 2 2 (5.21) (5.22) 2 2 (5.23) (5.24) 0 = jI+ j ; mmax i j = jc+ j = m2max mmax 0 = jI j ; mmin i j = jc j = m2min + mmin und analog 49 Aus (5.21) und (5.23) folgt m2max + mmax = m2min mmin (5.25) mmin + 1) = 0 (5.26) und nach Umformung (mmax + mmin ) (mmax Da mmax mmin 0 ist erhalten wir daraus (mmax + mmin ) = 0 (5.27) d.h. mmin = mmax : (5.28) Da weiterhin mmax : aus mmin durch ganzahliges Schrauben mit I+ erreicht wird muss die Di¤erenz zwischen beiden Variablen eine ganze Zahl n sein d.h. ganze Zahl sein, d.h. mmax mmin = n (5.29) Aus (5.28) und (5.29) ergibt sich mmax = n 2 (5.30) Mit der Bezeichnung j = mmax folgt aus (5.21) = j(j + 1) (5.31) und wir erhalten die in Abb. dargestellten Leitern für die Eigenwerte m. Damit folgt ~ 2 j ; mi = ~2 I~2 j ; mi = ~2 j(j + 1) jj; mi L (5.32) wobei wir die übliche Notation jj; mi für die Eigenfunktion j ; mi eingeführt haben, die zu = j(j + 1) gehört. Weiterhin gilt ^ z jj; mi = ~Iz jj; mi = ~ m jj; mi L (5.33) p Der maximale Eigenwert j~ von Lz ist immer kleiner als die Länge ~2 j(j + 1) des Drehimpulses, d.h. der Drehimpuls steht in der Quantenmechanik nie völlig parallel zur z-Achse. Wäre dies der Fall, so hätten die Komponenten Ly und Lx geleichzeitig den scharfen Wert 0 . Das ist aber, da diese Komponenten nach (5.1) weder untereinander noch mit Lz vertauschen, durch die Unschärferelation verboten. Wir betrachten zunächst den einfachsten Fall j = 12 , bei dem die z-Komponente des Drehimpulses nur zwei Werte m = 12 annehmen kann.Wir haben dann 2 mögliche orthonormale Eigenzustände jj; mi = 1 1 2; 2i 1 1 2; 2i (5.34) 50 KAPITEL 5. DREHIMPULS Abbildung 5.1: Die Operatormethode liefert zwei "Leitern "für die Quantenzahlen m der z-Komponente des Drehimpulses. Sie gehören - wie später gezeigt wird - zum Bahndrehimpuls (ganzahlig) und zum Spin (halbzahlig). und wir berechnen nun die Darstellung des Drehimpulses in dieser Basis. ~ 2 und L ^ z gehörigen Matrizen immer diagonal sind Aus folgt, dass die zu L ~ 2 jj 0 m0 i hjmj L ^ z jj 0 m0 i hjmj L d.h. für j = 1 2 = ~2 j(j + 1) = ~m (5.35) j;j 0 m;m0 (5.36) j;j 0 m;m0 gilt ^z 1 ; 1 i h 12 ; 12 L 2 2 1 1 ^ h 2 ; 2 Lz 12 ; 12 i ^z 1 ; h 12 ; 12 L 2 1 1 ^ h 2 ; 2 Lz 12 ; 1 2i 1 2i = ~ 2 1 0 0 1 (5.37) ~ 2 ist und dei entsprechened Darstellung für L 1 h ; 2 1 ~2 1 L ; 2 2 1 3 i = ~2 2 4 1 0 0 1 (5.38) Aus (5.1) folgt Lx = Ly = ~ (I+ + I ) 2 ~ (I+ + I ) 2i (5.39) (5.40) da weiterhin nach (5.16)-(5.20) gilt I jj; mi = c jj; m 1i p = j(j + 1) m(m (5.41) 1) jj; m 1i (5.42) 51 erhalten wir z.B 1 1 ^ 1 h ; L ; x 2 2 2 1 ~ i= 2 2 s 1 2 1 +1 2 1 2 1 ~ = 2 2 (5.43) und analog insgesamt 1 h ; 2 1 h ; 2 1 2 1 2 ^x 1 ; L 2 ^y 1 ; L 2 1 i 2 1 i 2 = = ~ 2 ~ 2 0 1 1 0 0 i (5.44) i 0 (5.45) Wolfgang Pauli (1900-1958) Die Matrizen ~ = 2 0 1 1 0 ; 2 0 i = i 0 ; 3 1 0 = 0 1 (5.46) werden als Pauli Matrizen1 bezeichnet und erlauben eine kompakte Darstellung des Drehimpulses ~ für j = 21 0 1 1 ~ ~ =~ = @ 2 A L (5.47) 2 3 Da gilt 2 i 1 0 = 0 1 für i = 1; 2; 3 (5.48) folgt aus ~2 = L ~ 2 2 2 1 + 2 2 + in Übereinstimmung mit (5.38). 1 Nach dem Nobelpreisträger Wolfgang Pauli 2 2 = ~2 3 4 1 0 0 1 (5.49)
