Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Apl. Prof. Dr. J

Universität Stuttgart
Institut für Theoretische Physik 1
Apl. Prof. Dr. J. Main
Übungen zur Vorlesung ,,Relativit ätstheorie 1”, SS 2007
6. Übungsblatt vom 28.06.2007
Abgabe der schriftlichen Übung: Donnerstag, 12.07.2007 in der Vorlesung.
Aufgabe 19: Levi-Civita-Tensor
(10 Punkte)
Die kontravianten Komponenten des vollständig antisymmetrischen Levi-Cività-Tensors sind
gegeben durch
µνσ% =


 +1
; falls (µ, ν, σ, %) gerade Permutation von (0, 1, 2, 3) ,
− 1 ; falls (µ, ν, σ, %) ungerade Permutation von (0, 1, 2, 3) ,


0 ; sonst .
(1)
Zeigen Sie: Der Levi-Civita-Tensor ist unter Lorentz-Transformationen ein Tensor vierter
Stufe.
Aufgabe 20: Lorentz-Kovarianz der Maxwell-Gleichungen
(20 Punkte)
Die einzelnen Komponenten der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Feldstärke B können als Elemente des antisymmetrischen elektromagnetischen Feldstärketensors F
aufgefaßt werden. Dessen kontravarianten Komponenten F µν = −F νµ mit µ, ν = 0, 1, 2, 3
sind definiert durch

0
− Ex /c − Ey /c − Ez /c
+ E /c
0
− Bz
+ By

x
(F µν ) = 
+ Ey /c
+ Bz
0
− Bx
+ Ez /c − By
+ Bx
0



.

(2)
a) Berechnen Sie die kovarianten Komponenten des elektromagnetischen Feldstärketensors
gemäß
Fµν = ηµσ ην% F σ% ,
(3)
wobei die kovariante Minkowski-Metrik (η µν ) = diag(1, −1, −1, −1) zu verwenden ist.
b) Der duale elektromagnetische Felstärketensor F̂ ist durch Kontraktion des elektromagnetischen Felstärketensors F mit dem vollständig antisymmetrischen Levi-Cività-Tensors
definiert. Geben Sie die kontravarianten Komponenten des dualen elektromagnetischen
Felstärketensors an
1
F̂ µν = µνσ% Fσ% .
(4)
2
c) Zeigen Sie, dass sich die homogenen Maxwell-Gleichungen
div B = 0 ,
rot E +
∂B
= 0
∂t
(5)
mit Hilfe des dualen elektromagnetischen Feldstärketensors F̂ zusammenfassen lassen:
∂µ F̂ µν = 0 .
(6)
Hierbei sind die kovarianten Komponenten ∂ µ des Vierernablaoperators durch die partiellen
Ableitungen nach den kontravarianten Komponenten x µ des Viererortsvektors definiert, d.h.
∂µ = ∂x∂ µ .
Beweisen Sie, dass sich die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
divE =
1
%,
ε0
1
∂E
rot B − ε0
= j
µ0
∂t
(7)
mit Hilfe des elektromagnetischen Feldstärketensors F zusammenfassen lassen:
∂µ F µν = µ0 j ν .
(8)
Hierbei bestehen die kontravarianten Komponenten j µ der Viererstromdichte aus der Ladungsdichte % und den Komponenten der Stromdichte j:

c%
j

(j µ ) =  x
 jy
jz



.

(9)
Leiten Sie aus (8) ab, dass die Viererstromdichte der Kontinuitätsgleichung genügen muß:
∂µ j µ = 0 .
(10)
d) Führen Sie nun eine Lorentz-Transformation vom ursprünglichen Inertialsystem S in ein
dazu gleichförmig bewegtes Inertialsystem S 0 durch:
x0
µ
= Λµν x ν .
(11)
Wie transformieren sich die kontravarianten Komponenten j µ der Viererstromdichte und die
kovarianten Komponenten ∂µ des Vierernablaoperators? Leiten Sie aus den inhomogenen
Maxwell-Gleichungen (8) ab, wie sich die kontravarianten Komponenten F µν des elektromagnetischen Feldstärketensors transformieren.
e) Spezialisieren Sie Ihre Ergebnisse in Aufgabenteil d) auf die Lorentz-Transformation

γ
−β γ
− β γ
γ

(Λµν ) = 
 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



,

(12)
p
mit β = v/c und γ = 1/ 1 − β 2 . Leiten Sie die resultierenden Transformationsformeln für
die elektrische Feldstärke E und für die magnetische Felstärke B ab:
B0 = B0 (B, E) ,
E0 = E0 (B, E) .
(13)
f ) Aus dem elektromagnetischen Feldstärketensor F und dem dualen elektromagnetischen
Feldstärketensor F̂ lassen sich durch Kontraktion zwei Skalare bilden:
S1 = Fµν F µν ,
S2 = Fµν F̂ µν .
(14)
Zeigen Sie, dass die beiden Skalare S 1 und S2 unter der Lorentz-Transformation (11) invariant
sind:
S10 = S1 ,
S20 = S2 .
(15)
Drücken Sie die beiden Skalare S1 und S2 in Abhängigkeit der elektrischen Feldstärke E und
der magnetischen Feldstärke B aus:
S1 = S1 (E , B) ,
S2 = S2 (E , B) .
(16)
Aufgabe 21: Vierervektorpotential
(schriftlich, 20 Punkte)
a) Leiten Sie aus den homogenen Maxwell-Gleichungen (5) ab, dass sich die elektrische
Feldstärke E und die magnetische Feldstarke B durch Differentiationen aus einem skalaren
Potential ϕ und einem Vektorpotential A ableiten lassen:
E = − grad ϕ −
∂A
,
∂t
B = rot A .
(17)
b) Setzen Sie (17) in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (7) ein und bestimmen Sie die
resultierenden gekoppelten Bewegungsgleichungen für das skalare Potential ϕ und für das
Vektorpotential A.
c) Zeigen Sie, dass sowohl (17) als auch die im Aufgabenteil b) abgeleiteten Bewegungsgleichungen unter den lokalen Eichtransformationen
ϕ0 = ϕ +
∂χ
,
∂t
A0 = A − grad χ
(18)
invariant sind, wobei χ eine beliebige Funktion darstellt.
d) Das skalare Potential ϕ und das Vektorpotential A lassen sich zu einem Vierervektorpotential mit den kontravarianten Komponenten




(Aµ ) = 
ϕ/c
Ax
Ay
Az





(19)
zusammenfassen. Zeigen Sie durch Vergleich von (2) mit (17), dass zwischen dem elektromagnetischen Feldstärketensor und dem Vierervektorpotential folgender Zusammenhang besteht:
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
(20)
Die kontravarianten Komponenten ∂ µ des Vierernablaoperators ergeben sich dabei aus den
kovarianten Komponenten ∂µ durch Heraufziehen des Index
∂ µ = η µν ∂ν
(21)
mit der kontravarianten Minkowski-Metrik (η µν ) = diag(1, −1, −1, −1).
e) Zeigen Sie, dass durch (20) die homogenen Maxwell-Gleichungen (6) wegen (4) automatisch erfüllt sind. Leiten Sie aus (20) und den inhomogenen Maxwell-Gleichungen (8) die
Bewegungsgleichung für das Vierervektorpotential ab.
f ) Bestimmen Sie die kovariante Formulierung der lokalen Eichtransformation (18):
A0
µ
µ
= A0 (Aµ , χ) .
(22)
Zeigen Sie, dass sich der elektromagnetische Feldstärketensor (20) durch die lokale Eichtransformation nicht ändert:
µν
F 0 = F µν .
(23)