Test zur Selbsteinschätzung der Kenntnisse in Lineare Algebra I

Test zur Selbsteinschätzung der Kenntnisse in
Lineare Algebra I
Man kann je zwei Vektoren v, w eines beliebigen Vektorraumes addieren und falls
w 6= 0 ist, kann jeder Vektor v durch w dividiert werden.
Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst.
Jede Teilmenge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist linear abhängig.
Sei V ein Vektorraum. Wenn eine Basis von V endlich ist, so sind alle Basen von V
endlich.
Der Nullvektor ist nur durch die triviale Linearkombination (alle Koeffizienten gleich
Null) darstellbar.
        
1
1
1 
 1
1 , 1 , 0 , 0 ⊆ R3 ist linear unabhängig.


0
2
0
1
    
4 
 1
2 , 5 ⊆ R3 ist linear unabhängig.


3
6
√
f : R2 → R2 mit (x, y) 7→ ( x, y) ist eine lineare Abbildung.
f : R2 → R2 mit (x, y) 7→ (x + 2y, 2x + y) ist eine lineare Abbildung.
Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Kernf ist Unterraum von W .
Es gibt keine lineare Abbildung f : R3 → R2 mit
f ((1, 2, 0)) = (1, 1), f ((0, 1, 1)) = (1, −2), f ((1, 1, −1)) = (2, −1).
Jede linear unabhängige Teilmenge eines Erzeugendensystems von V ist eine Basis
von V .
Jedes Erzeugendensystem von V hat eine linear unabhängige Teilmenge, die Basis
von V ist.
Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V sind linear unabhängig, wenn jede Linearkombination
von v1 , . . . , vn den Nullvektor ergibt.
Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V , n ≥ 1, sind linear abhängig, wenn ihre Summe der
Nullvektor ist.
Es gibt zwei Unterräume U , W von V mit U ∩ W = ∅.
Sind S, T, U Matrizen mit ST = SU , dann gilt T = U .
Je zwei Unterräume gleicher Dimension in einem Vektorraum V sind gleich.
In jedem Vektorraum V gibt es einen Unterraum, der alle anderen Unterräume von
V enthält.
Die Dimension des Kerns einer linearen Abbildung ist höchstens so groß wie die
Dimension des Bildes.
Jeder endlich erzeugte Unterraum eines Vektorraums enthält endlich viele Elemente.
Es gibt einen Vektorraum V über Z2 , der nicht endlich erzeugt ist.
v1 , . . . , vn sind genau dann linear abhängig, wenn v1 ∈ hv2 , . . . , vn i.
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 0} ist ein Unterraum von R3 .
{(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1} ist ein Unterraum von R3 .
Wenn A und B disjunkte, linear unabhängige Mengen sind, ist auch A ∪ B linear
unabhängig.
Q ist ein Vektorraum über Z.
Seien U und V K-Vektorräume mit U ⊆ V . Ist eine Teilmenge A ⊆ U linear
unabhängig im Raum U , dann ist A auch linear unabhängig im Raum V .
Die Relation (v10 , . . . , vn0 ) ist durch eine Sequenz von k ≥ 0 Elementarumformun”
gen aus (v1 , . . . , vn ) hervorgegangen“ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der
Vektorsysteme in einem festen Vektorraum V .