Vorkurs Physik - Lösungen - an der Universität Duisburg

Fakultät für Physik, Universität Duisburg-Essen
Übungen zur Vorlesung
Vorkurs Physik - Lösungen
WS 2014/2015
Christian Bobisch
Aufgabe 1
Blatt 1
Elementare Algebra
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke!
(a) a20 ,
b7 ,
rs+5 ,
κ28
−2
2
2
)(ξ−η)
(ξ+η)2 (ξ+η)(ξ−η)2
(b) ξ−η
· (ξξ2−η
=ξ+η
ξ+η
+2ξη+η 2 = (ξ−η)2 ·
(ξ+η)2
√
√
√
√
2n+1
(c) ( κ + λ) · ( κ − λ) + λ(λn )2 = κ − λ + λ = κ
Aufgabe 2
Gleichungen
Bestimmen Sie die (reellen) Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:
q
√
√
9
(a) −4x2 + 6x − 1 = 0 ⇔ x2 − 32 x + 41 = 0 ⇔ x1/2 = 43 ± 16
− 14 ⇒ L = ( 3+4 5 , 3−4 5 )
(b) −2x3 + 8x2 − 8x = 0 ⇔ x · (x2 − 4x + 4) = 0 ⇔ x · (x − 2)2 = 0 ⇒ L = (0, 2)
√ κ2 =z
√ √
z=κ2
(c) 2κ4 − 8κ2 − 24 = 0 ⇔ z 2 − 4z − 12 = 0 ⇔ z1/2 = 2 ± 16 ⇒ L = (− 6, 6)
Aufgabe 3
Vektorrechnung
Gegeben
 
 seien die Vektoren
2
1
~a = 3 und ~b =  1 .
−2
2
(a) Berechnen Sie die Summe und die Differenz der beiden Vektoren:
  

3
1+2
~a + ~b =  3 + 1  = 4
0
2 + (−2)

  
1−2
−1
~a − ~b =  3 − 1  =  2 
2 − (−2)
4
(b) Berechnen Sie das Skalarprodukt sowie das Kreuzprodukt der Vektoren:
~a · ~b = 1 · 2 + 3 · 1 + 2 · (−2) = 1

  
3 · (−2) − 2 · 1
−8
~a × ~b = 2 · 2 − 1 · (−2) =  6 
1·1−3·2
−5
item [(c)] Berechnen Sie die Beträge der Vektoren und den Winkel zwischen den Vektoren.
p
√
|~a| = 12 + 32 + 22 = 14
p
|~b| = 22 + 12 + (−2)2 = 3
Winkel zwischen ~a und ~b:
Laut Vorlesung gilt: ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos(∠(~a, ~b))
~a · ~b
Daraus folgt: cos(∠(~a, ~b)) =
→ ∠(~a, ~b) = arccos
|~a| · |~b|
!
~a · ~b
.
|~a||~b|
Aufgabe 4
dx
dt
Schallwellenlaufzeit
= 1450 m
s , ∆h = 0, 3 m
Laufzeit: T =
∆T =
2∆h
v
=
2(h±∆h)
v
0.6 m
1450 m
s
= T0 ± ∆T, T0 =
2h
v , ∆T
=
2∆h
v
= 4, 14 · 10−4 s = 0, 414 ms
Aufgabe 5
2 dimensionale Bewegung (schwer)
~r˙ = at(cos(ωt)e~1 − e~2 ) = at cos(ωt)
−1
⇒ ~r(t) =
=
=
=
R
~r˙ dt =
R
at
cos(ωt)
−1
dt
R
at
R cos(ωt)dt ; x-Komponente
−atdt
R a
ω −1 at sin(ωt)− ω
sin(ωt)dt
− 12 at2 +cy
a
a
ω t sin(ωt)+ ω 2 cos(ωt)+cx
− 12 at2 +cy
~r(0) = ~0 → ~r(0) =
⇒ ~r(t) =
partielle Integration
0+ ωa2 +cx
cy
!
=
0
0
−1
cos(ωt)−ω −1 a t sin(ωt)+ω
ω
− 12 ωt2
⇒ cx = − ωa2 , cy = 0
Aufgabe 6
Bremsen im Nebel
Bremsweg = AB + BC = ∆x = 15 m,
Bei A + B < ∆x 6= Unfall
A → B geradlinig Gleichförmig ⇒ v = v0
B → C konstante Beschleunigung ⇒ a = −4 sm2
→ ∆x = v0 t + 12 aTB2 + v0 TB
vB (TB ) = 0 = v0 + aTB
,vB die Geschwindigkeit bei C.
⇒ TB = − va0
⇒ ∆x = v0 t + 12 a(− va0 )2 + v0 (− va0 ) = v0 t +
2
1 v0
2 a
−
v02
a
= v0 t −
2
1 v0
2 a
⇒ v02 − 2atv0 + 2a∆x = 0
⇒ v0 = at ±
Aufgabe 7
√
km
a2 t2 − 2a∆x = 9, 16 m
s ≈ 32, 98 h
Polizeikontrolle
x1 (t) = v0 t
x2 (t) = 12 at2
(a) Skizzieren sie das Geschehen in einem Ort-Zeit-Diagramm:
(b) Zu welcher Zeit t holt die Polizei den Temposünder ein?
x1 (te ) = x2 (te ) ⇒ v0 te =
1 2
2v0
at ⇒ te =
= 20 s
2 e
a
(c) Wie schnell fährt der Polizeiwagen in diesem Moment?
v2 (te ) = x˙2 (te ) = ate = 160 km/h