5. ¨Ubung Diskrete Mathematik II

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
Jan Simon, M.Sc.
http://www.math2.rwth-aachen.de
SS 2016
5. Übung Diskrete Mathematik II
Aufgabe 1.
Es sei G ein gerichteter Graph mit maximalem Eingangsgrad din und minimalem Ausgangsgrad
dout . Beweisen Sie für alle k ∈ N die folgende Aussage mithilfe des Lovász-Local-Lemmas:
Gilt
d
1 out
≤ 1,
e · (din dout + 1) 1 −
k
so enthält G einen gerichteten Kreis, dessen Länge ein positives Vielfaches von k ist.
Aufgabe 2.
Es sei W (2, l) für l ∈ N die kleinste Zahl n ∈ N mit folgender Eigenschaft:
Für jede Zerlegung {1, ..., n} = C1 ] C2 in zwei disjunkte Klassen C1 und C2 enthält eine der
beiden eine arithmetische Progression der Länge l.
(Die Existenz von W (2, l) folgt aus dem Satz von van der Waerden.)
i) Zeigen Sie durch zufällige Färbung von {1, ..., n} mit zwei Farben, dass gilt:
W (2, l) ≥ 2l/2 .
ii) Verbessern Sie mithilfe des Lovász-Local-Lemmas diese Ungleichung wie folgt:
W (2, l) ≥
2l
.
8l
Aufgabe 3.
i) Es sei {Yn |n ≥ 0} eine Folge von Zufallsvariablen mit den bedingten Erwartungswerten
E(Yn+1 |Y0 , ..., Yn ) = pYn + (1 − p)Yn−1
für alle n ≥ 1,
wobei p ∈ (0, 1) eine Konstante sei. Bestimmen Sie ein geeignetes α ∈ R, für das die
Folge {Xn |n ≥ 1} mit
Xn := αYn + Yn−1
ein Martingal ist.
ii) Es sei c ∈ N. In einer Urne gebe es am Anfang s schwarze und w weiße Kugeln. In jedem
Schritt ziehen wir eine Kugel (zufällig) aus der Urne und ersetzen sie durch c Kugeln der
gleichen Farbe. Zeigen Sie, dass, wenn Xn den Anteil schwarzer Kugeln nach n Schritten
bezeichnet, die Folge {Xn |n ∈ N} ein Martingal ist.
Bitte wenden.
Für eine Primzahl q bezeichnen wir mit Fq := Z/qZ den endlichen Körper mit q Elementen.
Aufgabe 4.
Es seien n ∈ N, λ > 0 und U ⊆ Fn7 mit |U | = 7n−1 .
i) Zeigen Sie, dass für zufällig gleichverteilt gewähltes v = (v1 , ..., vn ) ∈ Fn7 durch
Xi := E(dH (v, U )| v1 , ..., vi ) für i = 0, ..., n
| {z }
=∅, falls i=0
ein Martingal gegeben ist, sodass X0 = E(Xn ) gilt.
ii) Zeigen Sie, dass für alle i = 0, ..., n − 1 gilt:
|Xi+1 − Xi | ≤ 1.
iii) Beweisen Sie die folgende Ungleichung:
√
λ2
|{v ∈ Fn7 |dH (v, U ) > (λ + 2) n}| ≤ 7n e− 2 .
Hinweis: Für v ∈ Fn7 und U ⊆ Fn7 ist dH (v, U ) := minu∈U dH (v, u).
Aufgabe 5.
Es seien T ein Baum und N (T ) die Anzahl der graceful labellings“ von T . Die Graceful Tree
”
”
Conjecture“ besagt, dass für alle Bäume T gilt: N (T ) > 0.
Zeigen Sie für alle Bäume T :
N (T ) ∈ 2 · Z≥0 .
Bitte wenden.
Zusatzaufgabe.
Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Wir zeichnen ihn in die Ebene, indem
die Elemente aus V durch Punkte und die Elemente aus E durch Kurven zwischen diesen
Punkten dargestellt werden. Die Mindestzahl von Überkreuzungen der Kurven bei solchen
Darstellungen heißt Kreuzungszahl von G und wird mit cr(G) bezeichnet. Wenn cr(G) = 0
gilt, heißt G planar.
i) Zeigen Sie, dass für |V | ≤ 5 nur ein einziger (zusammenhängender) nicht-planarer Graph
existiert. Welcher Graph ist es und wie lautet seine Kreuzungszahl?
ii) Zeigen Sie mit der Eulerschen Polyederformel, dass für planare Graphen mit |V | ≥ 3
gilt:
|E| ≤ 3 |V | − 6.
iii) Zeigen Sie mithilfe von ii), dass im Fall |E| ≥ 4 |V | gilt:
cr(G) ≥
|E|3
,
64 |V |2
|V |
indem Sie die Punkte aus V unabhängig und zufällig mit der Wahrscheinlichkeit p = 4|E|
wählen und den Teilgraphen von G betrachten, den die gewählten Punkte induzieren.
iv) Verwenden Sie iii), um folgenden Satz zu beweisen:
Es seien n, m ∈ N, P eine Menge von n Punkten und L eine Menge von m Geraden (in
der Euklidischen Ebene R2 ). Dann gilt für die Anzahl Inzidenzen von P und L:
|{(p, l) ∈ P × L|p ∈ l}| ≤ 4 m2/3 n2/3 + m + n .
v) Verwenden Sie iv), um folgenden Satz zu beweisen:
Es sei s ∈ N. Dann existiert eine geeignete Konstante c > 0, sodass für drei beliebige
s-elementige Mengen A, B, C ⊆ R ab hinreichend großem s gilt:
|A · B + C| ≥ c s3/2 .
Hinweis: Es sei R := A · B + C (= {ab + c|a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}). Arbeiten Sie
mit der Punktemenge P := {(a, r)|a ∈ A, r ∈ R} ⊆ R2 und der Geradenmenge
L := { y = bx + c“|b ∈ B, c ∈ C}.
”