11/11= 2 K|.

1941
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК
Т. 9 (51), N. 1
RECUEIL MATHEMATIQUE
Ober absolut konvergente trigonometrische
Reihen und Integrale
I. Gelfand (Moskau)
§ 1. N. Wiener [1], R. H. Cameron [2], N. Wiener und H. R. Pitt [3] haben
einige sehr interessante Satze tiber absolut konvergente trigonometrische Reihen
und Integrale bewiesen, die wesentliche Anwendungen in den Satzen des Tauberschen Typs besitzen.
Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht in der Angabe einer allgemeinen
Methode zur Deduktion solcher Satze, sowie im Beweis einer Reihe von allgemeineren Satzen. Urn die Grundideen am deutlichsten auseinanderzusetzen, beweisen
wir zuerst mit unserer Methode den einfachsten der Wienerschen Satze.
Betrachten wir den folgenden Ring /? 2 . Die Elemente des Ringes sind die
Funktionen
pint
derart, dass
2
\an\<C00
ist
- &ls <*ie Norm der Funktion nehmen wir
Л = —00
+ 00
11/11= 2 K|.
/Z =
—00
Die Addition und die Multiplikation in dem Ringe definieren wir als die
gewohnlichen Addition und Multiplikation von Funktionen. Es ist leicht
nachzuprufen, dass alle Axiome des normierten Ringes (siehe „Normierte Ringe",
§ 1 *), das Axiom (§') einschliessend, erfullt sind.
Der Wienersche Satz besteht im folgenden:
S a t z 1. Wennf(t)
zu Rx angehort und nirgends
zu Null wird,
so gehort
JJ-
auch zu Rv
B e w e i s . Finden wir die maximalen Ideale des Ringes Rr. Es sei M ein
maximales Ideal. Nach Satz 7, § 5, N. R., entspricht jedem Element / beim
Homomorphismus R—+ R\M eine bestimmte Zahl. Bezeichnen wir mit a die Zahl,
die der Funktion eu entspricht, \a\ ^\\eu\\=
1 nach ((J), § 5, N. R. Der Funktion e~u
entspricht die Zahl —. Folglich ist auch —
1 ,und also haben wir | a \ =
* In diesem Heft des Recueil mathematique, S. 3—23. Im folgenden
diese Arbeit als N. R. zitieren.
4*
1, d. h.
werden wir
%
52
I. Gelfand
a kann folgendermassen geschrieben werden: 'a = el'to. Der Funktion eint entspricht
die Zahl eint* (da das Produkt in das Produkt iibergeht). Folglich geht 2
a etnt
n
in
n— — N
N
2
int
aae o uber, d. h. jedes Polynom geht beim Homomorphismus in den Wert
n——N
dieses Polynoms im Punkte t0 uber. Da unser Homomorphismus stetig ist, so geht
jede Funktion f(t) des Ringes in den Wert dieser Funktion im Punkte t0 uber. Somit
besteht jedes maximale Ideal Afaus denjenigen Funktionen, die beim Homomorphis­
mus in die Null ubergehen, d. h. aus solchen Funktionen, fur die/(^ 0 ) = 0 gilt. Somit
bedeutet der Satz vf(t) wird nirgends zu Null", dass »f(t) in keinem maximalen
Ideal enthalten ist". Nach Satz 6, N. R., besitzt also das Element / ein inverses.
§ 2. Beim Beweis des Satzes 1 haben wir viele Eigenschaften des Ringes Rt
nicht benutzt. Es ist deshalb naturlich die durchgefuhrten Oberlegungen zu verallgemeinern. Betrachten wir die Menge R der formalen Potenzreihen 2 а я лгЛ > wo an
eine beliebige Folge komplexer Zahlen ist, die der Bedingung
+ 00
2
|ee|<xe< + °o
(1)
П = — 00
genugt (die an sind fixierte positive Zahlen). Finden wir die Bedingungen, denen
die an genugen miissen, damit in der Menge R zusammen mit zwei beliebigen
Potenzreihen auch ihr Produkt enthalten ware.
S a t z 2. Dafiir, dass zusammen mit zwei beliebigen Potenzreihen auch ihr
Produkt der Bedingung (1) geniiget ist es notwendig und hinreichend, dass
eine Zahl с existiere derart, dass
а
т + п^С*А
(2)
ist.
Beweis.
Zeigen wir die Notwendigkeit der Bedingung (2).
+ 00
+00
— 00
—00
Wenn
wir
setzen, so konnen wir R als einen normierten linearen Raum betrachten. Es sei
+ 00
+00
z='%bnxn,
y=^anx",
— 00
—00
+ 00
wo у und z£R.
Nach der Bedingung konvergiert die Reihe
2
a
k^n-k
fur
n = — oo
eine beliebige Folge ak, die der Bedingung (1) genugt. Fur fixierte bk ist das Funktional
2
I akbn-k I bezuglich у stetig. Folglich ist
k— — N
+oo
ь
+N
S i ч п-к I = sup S д i яА-л i»
als die obere Grenze von stetigen Funktionalen, ein halbstetiges Funktional. Also
ist es stetig und beschrankt — dies nach dem folgenden Lemma, das wir noch in
diesem Beweis benutzen werden:
Absolut konvergente trigonometrische Reihen
53
Wenn p (y) ein halbstetiges konvexes Funktional ist, das in einem vollstandigen
normierten Raum definiert ist, so ist p(y) stetig und genugt der Bedingung
р(У)^с\\у\\
[4].
Zeigen wir, dass
ist. Bei fixiertem z ist \\yz\\ ein konvexes Funktional beziiglich y.
haben wir
Ausserdem
\\У4= 2 «J 2<ZA-*I= SU P S I S *A-Jn — — oo
k= — oo
N
n — — N k——co
Folglich ist \\yz\\, als die obere Grenze von stetigen Funktionalen, ein halbstetiges Funktional, und also, nach dem zitierten Lemma, ein stetiges Funktional, das
nach у in der Einheitssphare ||.y||<l beschrankt ist. Somit existiert
p{z)=
sup |Ly*||.
llyil^i
Das Funktional p(z) ist, als die obere Grenze von stetigen Funktionalen, ein halbstetiges Funktional. Folglich, nach dem zitierten Lemma, ist p(z) ein beschranktes
Funktional, d. h. p(z)^c\\z[\.
Setzen wir y = xn, z = xmy so erhalten wir
Dass dte Bedingung (2) hinreichend ist, wird durch direktes Nachrechnen gezeigt. Die Rechnung zeigt auch, dass
ist. In dem Ring R kann man eine Norm einfuhren, die der urspriinglichen aquivalent ist, und fur die \\yz\\x ^ I b l l r l l ^ l l i £*^# ^ u diesem Ende £епй£Г* e s z u
setzen
+ 00
S
su
lbili= mp
-00
<*m+n I an I
man beachte, dass
С1т "*Л1±Я
||^ и Hi—sup
aя
ist.
Den in Satz 1 betrachteten Ring Rx kann man aus der Klasse der normierten
Ringe durch folgende Bedingungen herausheben (diese Bedingungen zeigen, fibrigens, dass dieser Ring besonders interessant ist).
S a t z 3. Es sei R ein normlerter Ring mit zwei Erzeugenden x und x~l>
der den folgenden Bedingungen geniigt:
N
10
*
a
xn
) I I S n \ \ hangi nur von den \an\ abt und
2°) | | „ v 1 = l .
Dann f'dllt der Ring R mit dem Rx des Satzes 1 zusammen.
В e w e i s . Da in dem Ring zwei Erzeugende x und x~l vorhanden sind, so
wlrdjedes maximale Ideal M vollstandig durch die Zahl bestimmt, in die x beim
54
I. Gelfand
Homomorphismus R—+RJM iibergeht. Genau so, wie im Satz 1, wird gezeigt,
dass, wenn л; in a iibergeht, a — e1'* ist. Bei diesem Homomorphismus geht
N
N
^anxn
—N
in ^aneinv
iiber. Da in R maximale Ideale existieren, so existiert ein sol-
—N
ches <p, dass das Element
N
N
Yiaxn—^ae^.e
-TV
-N
kein inverses besitzt. Wir haben zu zeigen, dass
||2/яИ1 = | к 1
ist. Erstens ist es klar, dass
N
N
,W •
12<V?I<2I«*I-1*"K2I«J
ist. Nehmen wir an, dass
isvkSki
—N
—N
N
1st. Infolge der Homogenitat der UngleJchung darf man annehmen, dass 2 l # J = l
-TV
a
ist. Es sei also
JSKI=1, l | ^ | < i .
Nach der Bedingung 1°) ist auch
N
|2a,r^|<l.
Folglich besitzt, nach Lemma 1, § 2, N. R., das Element e— 2
\an\e~invxnein
inverses. Dies ist aber unmoglich, denn beim Homomorphismus nach M das
N
Element e — 2 ! | a I е~^хп
N
in 1 — 2 К I = ° iibergeht,
-TV
-N
'
Scmit haben wir bewiesen, dass
TV
TV
I2<yc"l=2Kl
—TV
—TV
ist. Da es in dem Ring nur zwei Erzeugende x und л;- 1 gibt, so folgt hieraus,
••
+oo
dass jedes Element des Ringes in der Form
2
n=—oo
wobei
+ 00
+.00
2 v l= 2 к
—oo
ist.
— 00
а хП
п
dargestellt werden kann,
Absolut konvergente trigonometrische Reihen
55
•+oo
§ 3. Wir stellen nun die folg-ende Aufgabe. Es sei eine Potenzreihe
2
a xn
n
' — 00
gegeben, deren Koeffizienten der Bedingung (1) und die in der Bedingung (1)
vorkommenden aa der Bedingung (2) genugen. Was sind die notwendigen und
hinreichenden Bedingungen dafur, dass eine Reihe 2 bnxn derart existiere, dass
— 00
+ 00
а хП
а
das Produkt dieser Reihe und der Reihe 2
g* eicn x° = e ware?
—oo
+ 00
S a t z 4. Es sei eine formate Potenzreihe
2
a
n
nx
derart gegeben, dass
-4l
—00
+
"
00
2кк<+*>
O)
—00
i$t} WO
+ 00
Dafur, dass eine Reihe 2 bnxn, deren Koeffizienten der
Bedingung
— 00
2«»l*.l<+«>
genugen, derart existiere, dass 2 # а * л ' 2 ^r*'1 — ^ ist, ist es notwendig und
hinreichend, dass die Funktion
+oo
1 11
?(/-,*) = 2 v **
—oo
in dem Bereich rx ^ r ^ r 2 , 0 ^ / ^ 2тг, nicht verschwinde, wo
' I
r x = lim a / ,
'
r2 =
lim
Л--»» —00
• I
аля
Я - * + 00
ist.
B e m e r k u n g e n : 1°. Fur rt ^r^r2
darstellt, konvergent.
ist die Reihe, die die Funktion cp (r, /)
2 ° . Der Grenzwert lim an n existiert.
Be we i s . Finden wir die maximalen Ideale des Ringes R aller Reihen, die
der Bedingung (1) genugen. Es sei M ein maximales Ideal. Beim Homomorphismus
R—* /?/M geht x in re" uber. Dann geht xn in rV n * uber. Dabei ist | rneint | < || xn \\ u
und folglich
rn < sup 2s±s.
d. h.
1
r < lim
л-*+оо \ /я
fsup^^)n=r,
*2
u
/w
und
1
r^
lim (sup ^ ± 5 . ) ^ = ^
я-* —oo ^ m
a
m
/
56
I. Gelfand
(fur die Existenz dieser Grenzwerte siehe N. R., Satz 8\ oder P 6 1 y a und S z e g 6 ,
Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. I, Nr. 98).
Da
fa < sup ^±s. < can
ist, so haben wir
iim (sup ^ ± я \ n _
iim
a*
+00
Folglich geht л; in reu uber, wo гг^г^г2
+N
ist. Dabei geht xn in rnelnt
+ЛГ
2 #„** in 2 anrneint uber. Da der Homomorphismus stetig ist, so geht 2 an*n
— iV
+ 00
und
-f~oo
—iV
in
—oo
2 anrneint uber (und hieraus folgt schon die Konvergenz dieser letzteren Reihe).
— 00
+ 00
a
Somit besteht das maximale Ideal M aus alien Elementen 2
n
nx
derart, dass
— 00
+ 00
2 anrneint = 0 1st, wo r und / fixierte Zahlen sind. Wenn also <p(r, t) in dem
— 00
+ 00
betrachteten Bereich nicht zu Null wird, so gehort 2
a x
a "
zu
keinem maximalen
— 00
Ideal und folglich besitzt ein inverses Element
Die Notwendigkeit der Bedingung folgt daraus, dass fur jede r und tf die dem
betrachteten Bereich angeh6ren, ein Homomorphismus existiert, der x in rea uberfuhrt.
§ 4. Betrachten wir nun die Gesamtheit aller Funktionen f(t) derart, dass
+ 00
J \f(t)\a(t)dt<+00
(3)
— 00
ist. Dabei ist a(t) eine stetige Funktion, die den Bedingungen
1 ° ) a (t) > 0 und
2° )
a(s-\-t)^a(s)a(t)
genugt.
Die Faltung zweier Funktionen / j und / 2 definieren wir folgendermassen:
/3-/1^/2»
wo
— 00
ist. Die Gesamtheit der Funktionen, die der Bedingung (3) genugen, besitzt die
Eigenschaft, dass zusammen mit zwei beliebigen Funktionen in diese Gesamt­
heit auch ihre Faltung und ihre Summe eingehen. Somit bildet die Gesamtheit
dieser Funktionen einen Ring.
Setzen wir
+00
||/|]= j a{t)\f{t){'dt,
Absolut konvergente trigonometrische Reihen
57
so wird unser Ring ein normierter Ring, wobei \\/г X/ 2 1| ^ Ц/i II'ИЛ! s e i n w i r d In diesem normierten Ring gibt es keine Einheit. Wir erweitern ihn deshalb durch
Hinzufugung des Symbols e und werden als Elemente des erweiterten Ringes
R die Symbole le-\-f betrachten und zwar mit der folgenden Multiplikationsregel:
(^+/i)X(jw+/a) = ^
+ V, + j i / 1 + / , X / 2 . '
Die Norm in dem erweiterten Ring ftihren wir als
ii^+/«=m+ii/ii
ein.
Finden wir die maximalen Ideale in diesem Ring. Es sei M ein maximales
Ideal. Betrachten wir die Funktion
fa u\ =
tur
flr fur
)0
„
fl
O^t^a,
°<'<
«
t£[0,d\.
Es moge belm Homomorphismus R-+ R\M der Funktion fa(t) die Zahl ср(я)
entsprechen. Zeigen wir, dass cp (a) eine Ableitung besitzt, die der Beziehung;
? r (« + *) = ?'(«)?'(*)'
genugt. Setzen wir
Das Diagramm der Funktion / ( / ) ist daneben dargestellt. Wir haben
•f-{fa,b-fa\l=
j a(f)dt+
a
J
a(t)dt,
1
a-\-b
d. h. fur Да—^0 strebt das Element / zu
fa+ъ—fa* B e i m Homomorphismus R—+RJM
geht / in
a
a+Aa
a+b a+b+&a
>(д + А*)--?(Д)
?(*)
Дя
und fa+b—fa
in y(a-\-b) — cp (a) tiber. Da der Homomorphismus stetig ist, so*
existiert der Grenzwert des Ausdruckes
*v '
Да
und ist gleich y(a-\-b) — cp (a).
Es sind zwei Falle m5glich:
p . cp(^) = 0. In diesem Fall ist alles klar.
2°. Fur ein bestimmtes bQ ist cp (b0) ф 0. Dann besitzt cp (a) eine Ableitung,,
denn
да— ! - L ^-<P(*o)-*<P(* + *o) — ?(«).
Wir erhalten somit cp' (a) cp (&) = cp (a-}-£)— cp (a). Differenzieren
Beziehung nach b> so erhalten wir, dass
и'(2)и'{Ь)
=
у'(а-]-Ь)
wir diese
58
I. Gelfand
4st if'(a) ist eine stetige Funktion, da cpr ( a ) = = ? ( g + ^
f
?(д)
i s t Hleraus folgt:
iaa
® (a) = e , wo и eine Konstante ist.
Betrachten wir die Zahl #. Da bei einem Homomorphismus die Norm sich
nur verkleinern kann, so ist
a-j-Aa
/a-f&z
fa II
* ( * „ /A Л .
Да
Folglich haben wir | < р ' И 1 О ( 0 , oder e~a2(a)^a(a),
d. h /
wenn a <^ 0 , und
5(a)Ss_i2£^£);
«wenn a > 0 . Folglich ist
lim
л^+оо
to8«W<3f(B)< l i m l ° g « ( - « ) .
a
"~~fl
a-*+oo
{4 )
Somit sind beim Homomorphismus 7? —+ R\M zwei Falle moglich:
1°. (p(£)s=0. Dann geht jede Funktion [als der Grenzwert linearer Kombinationen der Funktionen fa (t)] in Null fiber, und das maximale Ideal besteht aus
alien le+f, fur die \ = 0 i s t
giaao — \
2 ° . Der Funktion /a(t) entspricht die Zahl <p(a) =
— [wir haben bewiepiCLttQ — _ 1
sen, dass y'(a)=eiaa* ist, aber da <p(0) = 0 ist, so ist cp(a) =
der Ungleichung (4) geniigt
Wir behaupten, dass in diesem Falle der Funktion / die Zahl
] , wo u0
+00
\ f(f)eitu*dt
(5)
•entspricht In der Tat, dies gilt fur die Funktionen fa(t)> folglich auch fur ihre
lineare Kombinationen, und da der Homomorphismus stetig ist, auch fur die
Grenzwerte der linearen Kombinationen, d. h. fur beliebige Funktionen des Ringes.
Somit besteht das maximale Ideal aus alien Elementen \e-\-f derart, dass
+«>
X-|- \ f(t)eita°dt = 0 ist, und wird folglich durch die Zahl u0 bestimmt. Zei— GO
;gen
wir, dass, umgekehrt, die Gesamtheit der Funktionen, die dieser Bedingung
genugen, wo uQ der Ungleichung (4) geniigt, ein maximales Ideal bestimmt.
Erstens hat das Integral (5) einen Sinn. In der Tat, die Bedingung (4) ist
equivalent der folgenden:
ijdenn
lim
а-юо
iog«(-g) = l n f
а
fl^O
iog«(-q).
a
59
Absolut konvergente trigonometrische Reihen
siehe P o l y a und S z e g o , Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. I, Nr. 98]
Folglich konvergiert das Integral (5) und dabei absolut, denn es exist!ert
\
a(t)\f(t)\dt.
— GO
Ordnen wir dem Element le-\-f
\ f{t)eia*ldt
die Zahl 1-f-
zu.
Diese
—-*Q0
Zuordnung ist ein Homomorphismus, denn der Faltung zweier Funktionen entspricht das Produkt ihrer Fouriertransformierten. Aber jeder Homomorphismus
auf dem Korper der komplexen Zahlen bestimmt ein maximales Ideal.
Den Satz 6, § 4, N. R., S. 9 anwendend, erhalten wir somit den
S a t z 5. Es set eine positive stetige Funktion a(t) gegeben, die der
Bedingung a{t-\-s) ^a (t)a(s) genii gt. Es sei f(t) derart gegeben, dass
\ I/WI a (t) ^ <C ~b °°
ist. Betrachten
wir
die
Funktion
— 00
\ f(t)eita
F(u) = a-\-
dt,
— 00
die in dem Streifen
, lm
/->+00
l0
gaw<g(K)<
~~*
Ilm
'°g°(-*>
/-*+00
*
definiert ist; daftir, dass die Funktion -щ— (in demselben Streifen) in der Form
1
F(u)
,
.
+00
С S
'+ j./iW«>* iut
e
dt
— 00
dargestellt werden kenne, wo
+«>
||Л(0|аОЛ<+оо.
— 00
Ы , ist es notwendig und hinreichend, dass F(u) in diesem Streifen nicht zu
Null werde, und dass a=^=0 sei.
B e m e r k u n g e n : 1 ° . Fur den Fall a(^)==l war dieser Satz von N.Wiener
bewiesen.
2 ° . Die Bedingung a (t -f- s) = a (t) a (s) kann durch eine schwachere, namlich
a (t -f- s) ^ с a (t) a (s), ersetzt werden.
3 ° . Interessante Sonderfalle des Satzes erhalt man, wenn man a (/) = J ^ | л -f- 1,
k ^ 0, oder
• a W = { | * | * + l } { | l o g | * + l | | } * , s^O,
k^O,
setzt.
§ 5. Gehen wir nun zu der Betrachtung des folgenden Ringes iiber, Nehmen
wir eine Funktion a(t), die den folgenden Bedingungen genugt:
1°) a ( / ) > 0 , . ;
2°) a ( * 4 - s ) < a ( * ) a ( s ) ,
60
I. Gelfand
3o) a(0) = l,
4°) loga(/) ist auf dem Intervall — 1 ^ ^ ^ - j - l
beschrankt.
+00
Als Elemente des Ringes R werden wir die * = 2
a e nt
n °'
nehmen, wo die au
— 00
derart sind, dass
+00
2 I*. !*(**)<+oo
(6)
— 00
(die Reihe 2 а / ^ Л п ' se^bst setzen wir nicht als konvergent voraus). Als das
Element xy definieren wir die Reihe, die durch Multiplikation von Reihen erhalten wird, die den Elementen x und у entsprechen. Die Norm des Elementes x
setzen wir gleich dem Ausdruck auf der linken Seite von (6).
Es ist leicht zu zeigen, dass das Produkt von Reihen, die der Bedingung (6)
genugen, auch der Bedingung (6) genugt, und dass [| xy || ^ || x || • \\y || ist.
Beschreiben wir die maximalen Ideale in diesem >Ring R. Es moge beim
Homomorphismus R~+ R\M das Element des Ringes х = еш in die Zahl <p(X)
ubergehen. Da ||лг|| = а(Х) ist, so ist | <p (X) | < a ( X ) . Ausserdem haben wir
cp(X + }i) = cp(X).(f)(fi). Folglich ist ср"(Х) = ср(/гХ), d. h.
log|T(X)|<l2£^
f!ir«>0
und
iogi?a)i>1-^^) игя<о.
Somit ist
log
s a (/A); ^ .
1S
lim
n
n-> —oo
,
A X , _-
*—- <; log I cp (X) | ^
•
13
lim
loga(/zX)
& v
n
я->+оо
—-.
Setzen wir
lim
,
n->—oo
^ ^ i > = pi(X),
n
lim ! 2 £ f ^
n
w->+oo
p8(X)f
=
so haben wir
Also ist log|cp(X)| eine additive Funktion von X, die auf dem Intervall (0, 1) beschrankt ist [die Beschranktheit von log | cp (X) | folgt aus der Beschranktheit von
p2(X); ($2(X) ist beschrankt, weil
о л\
i«-• + 00
\oga(nl)
'*
_ ,.
П-ЮО
я log a (X)
'"
,
,*.
Absolut konvergente trigonometrische Reihen
61
ist, und logaflt) ist auf (0, 1) beschrankt nach der Bedingung 4°)]. Folgllch
haben wir
l o g | cp (X) | = pX,
wo
Iim
!2£lW<p<iim
1
°Ц&,
(7)
d. h. cp(X) = cb(X)ex?, wo
|ф(Х)| = 1,
ф(Х + |1) = ф(Х)ф(»1)
(8)
ist.
Umgekehrt, entspricht jeder Funktion еРхф(1), wo p eine fixierte Zahl ist, die
der Bedingung (7) genugt, und <b(l) eine Funktion ist, die der Bedingung (8)
genugt, ein bestimmtes maximales Ideal.
Urn dies zu beweisen, konstruieren wir den Homomorphismus, der der Funk00
lion £XP ф (X) entspricht. Ordnen wir dem Element ^akelk^
00
die Zahl
k==\
^ake?^^(lk)
k=\
00
zu. Zeigen wir, dass die Reihe 2 а * * р ) * Ф ( ^ absolut konvergiert.
k=\
Da
am l£EiLW existiert und gleich inf
X-*oo
l
IzzO
log
* ( Ц 1st (slehe P o ly a und S z e g o ,
к
Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. I, Nr. 98), so ist p ^ ° g *
1 > 0 und p > l o g t t ( X ) - fur X < 0 .
a
a
fur
Somit ist ^ < a ( X ) , und also folgt aus der
die
Konvergenz der Reihe 2 J k I (W
Konvergenz der Reihe 2 I ak I e?Xk» u s w Unter den maximalen Idealen des Ringes R die einfachsten sind diejenigen,
fur die y(\) stetig ist. Sie haben die folgende Form:
<pQ,) = e?xeM*,
(9)
wo p der Bedingung (7) genugt. Wenn man die Menge aller maximalen Ideale
topologisiert (siehe N. R., § 7), so erweist sich, dass die Menge der maximalen
Ideale der Form, welche von den Funktionen der Form (9) beschrieben wird, in
der Gesamtheit aller maximalen Ideale eine uberall dichte Menge bildet.
Beweisen wir dies. Betrachten wir ein maximales Ideal, das von der Funktion
£xP(b(X) beschrieben wird. Bilden wir mit Hilfe der Erzeugenden eiU ein System
seiner Umgebungen und beweisen, dass in einer beliebigen solchen Umgebung
ein maximales Ideal der Form (9) vorhanden ist. Eine Umgebung des maximalen
Ideals wird durch eine endliche Anzahl von Erzeugenden elK** 9 . . . , e'V und eine
Zahl s bestimmt. In diese Umgebung gehen maximaleldeale ein, die von Funktionen beschrieben werden, die der Bedingung
l ^ o W - ? W I < e
( £ = 1 , 2 , ...,/z)
(10)
62
I. Gelfand
genugen. Es ist leicht zu zeigen, dass es geniigt sich auf solche Umgebungen zu
beschranken, fur welche zwischen den \ v X2, . . . , Хл keine Beziehung der Art
^ak\k = 0 mit rationalen ak existiert. Es sei cp0 (\k) = e2Ki**; nach dem Kroneckerschen Satz existiert ein t0 derart, dass
1 ^ - f t K '
(A=l, 2
я)
(10')
ist, wo die pk ganze Zahlen sind und 5 eine vorgegebene Zahl ist. § kann man
so klein wahlen, dass aus (10') (10) fur <p (X) = £A/°£XP folgt. Unsere Behauptung
ist somit bewiesen.
S a t z 6. Es sei
2 Ki*a*)<+~-
*=i
Es sei ferner
5зс>0
(11)
4= 1
fur alle t und fur ein p, das der Bedingung (7) geniigt. [Die Konvergenz
dieser Reihe ist eine Folgerung der Bedingungen (6) und (7).] Dann existiert
eine Funktion 2 ^ ( p ^ ~ / Y ) . ^ derart, dass 2 bk a (\ik) <^ -f- oo ##</
2 дяе<Р + л)х* - 2
^P+^I**
« 1
/5/ / # r #//£ t und p, *to & r Bedingung (7) geniigt.
Es gilt auch die inverse Behauptung.
B e w e i s . Beim Homomorphismus nach dem maximalen Ideal, das von der
Funktion ех?+ш° beschrieben wird, geht das Element у unseres Ringes in die
Zahl 2 ^ X f c P + A f c / ° tiker. Folglich entspricht dem Element y, tiber das in der
Bedingung des Satzes die Rede ist, eine Funktion y(M) derart, dass
\y{M)\^c>0
ist. Da die Menge der maximalen Ideale der Form (9) in der Menge aller maxi­
malen Ideale uberall dicht ist, so gilt \y (M) \ ^ с auch ftir ein beliebiges maximales
Ideal M [denn die Funktion y(M) ist stetig]. Folglich geh5rt у kelnem maximalen
Ideal an, d. h. besitzt ein inverses Element.
§ 6. Betrachten wir nun einen Ring /?, der die vorigen als Unterringe enthalt.
Als Elemente des Ringes R werden wir Funktionen f(s) annehmen, die den
folgenden Bedingungen geniigen:
a) f(s) ist fur alle s definiert und ist auf jedem endlichen Intervall von
beschrankter Schwankung,
+ 00
b)
\ a(s)\df
(s)\<d~\-oo,
— 00
Bedingungen geniigt:
1°)
a(s-\-t)^a(s)a(t),
20) a ( * ) > « ,
wo a(s) eine Funktion ist, die den folgenden
Absolut konvergente trigonometrische Reihen
63-
3o) a(0) = l,
4°) a (s) ist stetig.
Die Multiplikation im Ring definieren wir folgendermassen: wir werden sagen,,
dass / = = Д Х Л ist» wenn
-foo
—00
ist. Setzen wir
11/11= j \df(t)\.
—00
Es ist leicht ersichtlich, dass \\fx X / 2 | | < | | Л|Н|/ 2 || ist. Die Rolle der Einheife
spielt in diesem Ringe die Funktion
fl
e(t)
fur*>0,
. t<u
-*o
Setzen wir
f(t) = h(t) + g(t) + s(t),
WO
g(t) absolut stetig 1st,
h (t) eine Treppenfunktion ist,
s(t) eine stetige Funktion mit beschrankter Schwankung ist, die fast liberal!'
eine verschwindende Ableitung besitzt.
S a t z 7. Ist f(t) eine Funktion unseres Ringes, und ist
— 00
fur alle I und alle p, die den Ungleichungen
Иш bZlB
< p
<
lim !2ifW
(12),
geniigen, und gilt schliesslich
4-00
+00
infI J *p'+' A dfc(*)|> J а(/)|Ж?(/)|,
p»x —00
—00
so existiert im Ring eine Funktion fx (t) derart, dass
№Xft{t)
= e(t)
•
ist.
B e w e i s . Wir haben zu zeigen, dass das Element /(/) im Ringe ein inverses
besitzt. Betrachten wir den Homomorphismus unseres Ringes nach dem maximaleu.
Ideal M: R —• R\M. Dabei konnen zwei Falle vorkommen:
* Im Falle a (t) за 1 geh6rt dieser Satz N. Wiener und H. R, Pitt [3].
I. Gelfand
•64
1) nicht alle absolut stetige Funktionen gehen in M ein,
2) alle absolut stetige Funktionen kommen in M vor.
Betrachten wir den ersten Fall. Es sei gx (t) eine absolut stetige Funktion,
die in M nicht eingeht. Die Gesamtheit aller absolut stetigen Funktionen unseres
Ringes ist auch ein Ring. Die Homomorphismen dieses Ringes auf den Korper
der komplexen Zahlen wurden beim Beweis des Satzes 5 betrachtet. gx (t) geht
+ 00
bei diesem Homomorphismus R—+R\M
in
\ g[ (t)e?t+iU dt=£0
fiber,
wo p
— 00
und X fixiert sind, wobei p den Ungleichungen (12) geniigt.
1st auch absolut stetig. Also geht diese Funktion in
g2{t)—gi(t)Xf(t)
— 00
liber. Da das Fourier-Stieltjessche Integral der Funktion g2 (t) gleich dem Produkt
der Fourierschen Integrale der Funktionen gx (t) und f(t) ist, so haben wir
+ 00
Г
+00
e?t+tktdg2ty=
+00
Г e?t+todg1(t)-
— 00
—00
[
ev*+Mdf(t).
—00
Andererseits geht g2 (t) in das Produkt derjenigen Zahlen iiber, in die gx (t) und
f(t) ubergehen. Folglich geht f(t) in
\
e?i+™df(t)
•J
— 00
iiber. Da nach der Bedingung des Satzes diese Zahl von Null verschieden ist,
so gehort f(t) nicht zu den maximalen Idealen des ersten Typs.
Betrachten wir nun die maximalen Ideale M des zweiten Typs. In jeden von
ihnen gehen alle absolut stetige Funktionen ein, d. h. beim Homomorphismus
nach einem solchen M geht g(t) in Null iiber. Urn das Bild der Funktion
f(t) = g(t)-{-h(t)-\-s(t)
zu finden, geniigt es, folglich, das Bild der Funktion
h(t)-\-s(t)
zu finden.
Die Homomorphismen des Ringes der Funktionen h(t) wurden beim Beweis
des Satzes 6 betrachtet. Aus dem Beweis des Satzes 6 ist ersichtlich, dass wenn
I [ е?*+шdh (t)\^a
fur alle den Ungleichungen (12) geniigenden p und X ist, so
— CO
geht h(t) beim Homomorphismus nach einem beliebigen maximalen Ideal in eine
Zahl iiber, die dem absoluten Betrage nach grosser oder gleich a ist; da nach
Voraussetzung
+ 00
|inf J e^t+i^dh{t)\^\\s\
— 00
Absolut konvergente trigonometrische Reihen
65
;
st, so geht also beim Homomorphismus h(t) in eine Zahl ^\\s\\ und s (t) — in
eine Zahl kleiner als \\s\\ uber. Folglich geht h(t)-\-s(t)
nicht in Null uber.
Folglich geht auch f(t) = g(t) -\-h (t) - f s (t) nicht in Null uber. Folglich gehort /
zu keinem maximalen Ideal und besitzt also ein inverses Element:
Z u s a t z . Der Satz 4 kann auf beliebige Abelsche Gruppen verallgemeinert
werden.
S a t z 8. Es set © eine Abelsche Gruppe; t, s,. . . — die Elemente der Gruppe @;
a(t) — eine Funktion, die auf der Gruppe definiert ist und den Bedingungen
1°)
a(t-\-s)^a(t)a(s),
2°) a ( * ) > 0 ,
3°) a(0) = l
geniigt; f{t)—eine Funktion, die auf® definiert ist, auf einer nicht mehr als
abzcihlbaren Menge von Punkten von Null verschieden ist und derart, dass
2*MI/WI<+~
(i3)
and
fur einen beliebigen Charakter %(t) der Gruppe © und eine beliebige Funktion
p (t), die den Bedingungen
jp(' + *) = PW + P(*)> pW<loga(/)
geniigt.
Dann existiert eine Funktion git), die von Null auf einer nicht mehr als
abzcihlbaren Menge von Punkten verschieden ist, derart, dass
a)
2*Ml*W|<+«>
und
ist.
Wenn wir fur © die Gruppe der ganzen Zahlen nehmen, so erhalten wir den
Satz 4.
Der Satz 8 wird fast genau in derselben Weise, wie Satz 4, bewiesen.
Beachten wir, dass beim Beweis des Satzes 7 gleichzeitig die Existenz einer
additiven Funktion p (t) ^ log a (t) bewiesen wird.
Aus dem Satz 20, § 12, N. R. ergeben sich Satze uber analytische Funktionen von Elementen des Ringes, die die Satze von Levy [5] und Wiener-Pitt
[31 verallgemeinern.
5
Математический сборник, т. 9 (51), N. 1.
66
И. М. Гельфанд
Literatur
1. N. W i e n e r , Tauberian Theorem, Annals of Math., 33, (1932).
2. R. H. C a m e r o n , Duke Math. Journal, 3, (1937), 682—688.
3. N. W i e n e r and H. R. P i t 1 , ibid., 4, N. 2, (1938), 420—436.
4. I. G e 1 f a n d, Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren, I. Teil, § 3, Recueil math., 4 (46): 2, (1938), 235—284.
5. P. L e v y, Sur la convergence absolue des series de Fourier, Compositio Math.,
I, (1934).
Mathematisches Institut der
Akademie der Wissenschaiten
der U. d. S. S. R.
(Поступило в редакцию 27/VI 1940 г.)
О б абсолютно сходящихся тригонометрических рядах
и интегралах
И. М. Гельфанд (Москва)
(Резюме)
Краткое изложение этой работы
на>к С С С Р . , XXV, N. 7, (1939).
было опубликовано
в Докл.
Академии