Algorithmen und Datenstrukturen

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Algorithmen und Datenstrukturen
Wintersemester 2014/15
20. Vorlesung
Minimale Spannbäume
Prof. Dr. Alexander Wolff
Lehrstuhl für Informatik I
?
Motivation
) Kantengewichte w : E → R≥0
P
??
0
) w (E ) := e ∈E 0 w (e )
Gegeben:
zusammenhängendes Straßennetz G = (V , E ; w ?),
das eine Menge V von n Städten verbindet
Gesucht:
Teilnetz G 0 = (V , E 0 ) mit E 0 ⊆ E , so dass
(1) man von jeder Stadt in G 0 zu jeder anderen
kommen kann ( G 0 spannt G auf“) und
”
(2) die Schneeräumkosten“ w (E 0 )?? minimal
”
sind unter allen Teilnetzen, die (1) erfüllen.
E0 ⊆ E
G = (V , E ; w )
n
z.B. mit w ≡ euklid.
Abstände
2
3
Beobachtung
Wegen der Minimalität von w (E 0 ) gilt:
G 0 hat keine Kreise ⇒ G 0 ist ein Wald.
G 0 erbt“ Zusammenhang von G ⇒ G 0 Baum.
”
G 0 spannt G auf ⇒ G 0 ist Spannbaum von G .
G 0 hat minimales Gewicht unter allen Spannbäumen von G .
0
Wir nennen
G
Spannbaum von G .
z
}|kurz minimalen
{
(manchmal auch E 0 )
E0 ⊆ E
Beob. |E 0 | = |V | − 1
G = (V , E ; w )
n
z.B. mit w ≡ euklid.
Abstände
4
Generischer Min.-Spannbaum-Algorithmus
GenericMST(UndirectedConnectedGraph G , EdgeWeights w )
A=∅
while |A| < |V | − 1 do
// Invariante: A ist Teilmenge eines min. Spannbaums von G
finde Kante uv , die sicher für A ist
A = A ∪ {uv }
Wir sagen uv ist sicher für A,
return A
falls Invariante für A ∪ {uv } gilt.
Beob.
Dies ist ein sogenannter Greedy-Algorithmus!
Frage:
Gibt’s überhaupt immer eine sichere Kante?
Antwort:
Ja! – Per Induktion!
Frage:
Aber wie findet man eine –
ohne schon einen minimalen Spannbaum zu kennen?
5-3
Schnitte und leichte Kanten
Def. Ein Schnitt (S , V \ S ) eines ungerichteten Graphen
G = (V , E ) ist eine Zerlegung (od. Zweifärbung?) von V.
S
?
V \S
) benachbarte Knoten dürfen hier die gleiche Farbe haben.
5-6
Schnitte und leichte Kanten
Def. Ein Schnitt (S , V \ S ) eines ungerichteten Graphen
G = (V , E ) ist eine Zerlegung (od. Zweifärbung?) von V.
Eine Kante e kreuzt (S , V \ S ), wenn ein Endpunkt
von e in S und der andere in V \ S liegt.
V \S
S
5-9
Schnitte und leichte Kanten
Def. Ein Schnitt (S , V \ S ) eines ungerichteten Graphen
G = (V , E ) ist eine Zerlegung (od. Zweifärbung?) von V.
Eine Kante e kreuzt (S , V \ S ), wenn ein Endpunkt
von e in S und der andere in V \ S liegt.
Ein Schnitt respektiert eine Kantenmenge A,
wenn keine Kante in A den Schnitt kreuzt.
V \S
S
5-14
Schnitte und leichte Kanten
Def. Ein Schnitt (S , V \ S ) eines ungerichteten Graphen
G = (V , E ) ist eine Zerlegung (od. Zweifärbung?) von V.
Eine Kante e kreuzt (S , V \ S ), wenn ein Endpunkt
von e in S und der andere in V \ S liegt.
Ein Schnitt respektiert eine Kantenmenge A,
wenn keine Kante in A den Schnitt kreuzt.
Eine Kante e , die einen Schnitt kreuzt, ist leicht, wenn
alle Kanten, die den Schnitt kreuzen, mindestens w (e )
wiegen.
7
2
3
5
2
5
V \S
4
3
3
3
6
4
S
3
6
Erweiterungssatz
Sei G = (V , E ; w ) ein zshg., gewichteter, unger. Graph.
Satz.
Sei T Kantenmenge eines min. Spannbaums von G .
Sei A Teilmenge von T .
Sei (S , V \ S ) ein Schnitt, der A respektiert.
Sei uv ∈ E leicht bzgl. (S , V \ S ).
Dann ist uv sicher für A.,
d.h. G hat einen min. Spannbaum, der A ∪ {uv } enthält.
7
2
3
5
2
5
A
3
3
v
4
3
u 3S
6
3
7
Beweis
Satz.
. . . Dann ist uv sicher für A.
Beweis. Zeige: G hat min. Spannbaum, der A ∪ {uv } enthält.
Falls uv ∈ T, fertig. Also uv 6= T. Sei π u -v -Pfad in T.
⇒ π + uv ist Kreis (wobei uv (S , V \ S ) kreuzt)
⇒ Kreis enthält zweite Kante xy , die (S , V \ S ) kreuzt.
⇒ T 0 = (T ∪ {uv }) \ {xy } ist auch Spannbaum von G.
w (T 0) = w (T ) + w (uv ) − w (xy ) ≤ w (T )
|
{z
}
≤ 0, da uv leicht bzgl. (S , V \ S )
7
π
⇒ T 0 ist minimaler
2
3
4
Spannbaum von G .
x 2
y
5
5
3
Und: A ∪ {uv } ⊆ T 0 .
u 3S 3
3
3
⇒
uv
ist
sicher
f
ür
A
.
6
A
T
v
8
Zurück zum Algorithmus
Satz.
Sei G = (V , E ; w ) ein zshg., gewichteter, unger. Graph.
Sei T Kantenmenge eines min. Spannbaums von G .
Sei A Teilmenge von T .
Sei (S , V \ S ) ein Schnitt, der A respektiert.
Sei uv ∈ E leicht bzgl. (S , V \ S ).
Dann ist uv sicher für A.
GenericMST(UndirectedConnectedGraph G , EdgeWeights w )
A=∅
while |A| < |V | − 1 do
// INV: A ⊆ min. Spannbaum von G
finde Kante uv , die sicher für A ist
A = A ∪ {uv }
return A
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Zusammenhangskomponenten
Def.
Eine Zusammenhangskomponente eines Graphen
ist ein Teilgraph, der von
einer nicht vergrößerbaren
( inklusionsmaximalen“)
”
zusammenhängenden Menge
von Knoten induziert wird.
A
C
u
v
GA
Korollar. G = (V , E ) wie gehabt.
A ⊆ E in einem min. Spannbaum von G enthalten.
C = (VC , EC ) Zshgskomp. des Waldes GA = (V , A) .
uv leicht bzgl. (VC , V \ VC )
Dann gilt: uv ist sicher für A.
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Der Algorithmus von Jarnı́k-Prim
(1930/1957)
Jarnı́kPrimMST
Undirected
Dijkstra(WeightedGraph G = (V , E ; w ), Vertex s )
Initialize(G , s )
Q = new PriorityQueue(V , d ) // Gewichtung
7
while not Q .Empty() do
3
3
u = Q .ExtractMin()
s
2
foreach v ∈ Adj[u ] do
0
5
2 3
0
Relax (u , v ; w )
3
3
v ∈ Q and ...
0
6
3
Korrektheit?
X
2
3
2
4
5
3
3
3
3
Folgt aus Korollar:
A = {{u, u.π} : u 6∈ Q},
Kante {u, u.π} immer
sicher bzgl. (Q ? , V \Q ? ),
wobei Q ? = Q ∪ {u}.
Relax (u , v ; w )
if v .d > u .d + w (u , v ) then Laufzeit?
v .d = u .d + w (u , v )
O (|E |·DecreaseKey+|V |·ExtractMin)
v .π = u
⇒ O ((E + V ) log V ) [Heap/RS-Baum]
Q .DecreaseKey(v , v .d )
⇒ O (E + V log V ) [Fibonacci-Heap]
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Einschub: halbdynamische Mengen
(wachsen nur,
schrumpfen nicht)
Die halbdyn. Mengen zerlegen immer eine Grundmenge X .
Drei Operationen:
MakeSet(Element x )
legt die Menge {x } an.
x
FindSet(Element x )
x
liefert (Zeiger auf) die Menge zurück,
die momentan x enthält.
Union(Elem. x , Elem. y ) vereinigt die Mengen,
die momentan x und y enthalten.
y
x
Satz.
Eine Folge von m MakeSet-, Union- und FindSet-Oper., von
denen n MakeSet-Oper. sind, benötigt O (m · α(n)) Zeit, wobei
α(n) ≤ 4 für alle n ≤ 1080 . Insbesondere α(n) log n für n > 1.
funktionales Inverses der extrem schnellwachsenden Ackermann-Funktion A(n, n)
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Der Algorithmus von Kruskal
KruskalMST(WeightedUndirectedGraph G = (V , E ; w ))
A=∅
foreach v ∈ V do
MakeSet(v )
Sortiere E nicht-absteigend nach Gewicht w
foreach uv ∈ E do
if FindSet(u ) 6= FindSet(v ) then
A = A ∪ {uv }
Union(u , v )
7
Laufzeit?
|V |·MakeSet + (|V | − 1)·Union
+ 2|E |·FindSet + Sort(E )
∈ O (E log V + E log E )
= O (E log V ) ! Warum??
2
3
5
2
5
3
3
4
3
3
3
6
O (log E ) ⊆ O (log V 2 ) = O (log V )
Ah. . .
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Übersicht Algorithmen für min. Spannbäume
Jarnı́k-Prim
Kruskal
geht (wie Dijkstra / BFS)
wellenförmig von einem
Startknoten aus
bearbeitet Kanten nach
aufsteigendem (genauer:
nicht-absteig.) Gewicht
aktuelle Kantenmenge
zusammenhängend
nach Einfügen der i . Kante
gibt es n − i Zshgskomp.
Laufzeit O (E + V log V )
Laufzeit O (E log V )
s