Aufgabenblatt Repetitorium 2 - TUM - Zentrum Mathematik

MA1503
Technische Universität München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik (MA 1503)
Repetitorium Algorithmische Diskrete Mathematik
Dr. René Brandenberg | B.Sc. Saskia Schiele
Aufgabenblatt Repetitorium 2
Aufgabe 2.1
[1.5+2.5]
a) Führen Sie den Algorithmus von Prim mit Startknoten a für den unten abgebildeten Graphen
G aus. Verwenden Sie dazu die in den Übungen vorgestellte Tabelle. Geben Sie außerdem den
berechneten Baum und sein Gewicht an.
b) Sind die folgenden Aussagen über den unten abgebildeten Graphen G wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
i) Jeder leichteste Spannbaum in G verwendet die Kante {h, j}, die maximales Gewicht hat.
ii) Es gibt einen leichtesten Spannbaum in G, der die Kante {f, i} nicht verwendet.
iii) Für alle zusammenhängenden Graphen ist der Kürzeste Wege Baum, den der Algorithmus
von Dijkstra berechnet, ein leichtester Spannbaum.
8
a
G
1
3
1
2
g
k
2
4
6
b
9
d
8
4
e
h
5
8
7
8
20
3
1
j
2
8
l
c
3
f
5
i
Lösung zu Aufgabe 2.1
a) Folgende Tabelle zeigt die Berechnungen des Algorithmus von Prim.
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WS 2014/15
m
MA1503
y
Neu in F
σ(a)
σ(b)
σ(c)
σ(d)
σ(e)
σ(f )
σ(g)
σ(h)
σ(i)
σ(j)
σ(k)
σ(l)
σ(m)
–
b
d
c
e
g
f
h
–
{a, b}
{b, d}
{b, c}
{c, e}
{e, g}
{c, f }
{e, h}
0
3
∞
2
2
8
1
∞
6
4
1
∞
∞
∞
3
3
3
∞
∞
9
9
2
∞
∞
∞
∞
4
4
4
∞
∞
∞
∞
∞
∞
5
5
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
20
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
i
{f, i}
20
∞
∞
∞
j
m
l
k
{h, j}
{j, m}
{j, l}
{m, k}
8
3
3
2
2
1
Der Algorithmus von Prim berechnet mit Start in Knoten a folgenden leichtesten Spannbaum
im Graphen G:
T = (V, {{a, b}, {b, d}, {b, c}, {c, e}, {e, g}, {c, f }, {e, h}, {f, i}, {h, j}, {j, m}, {j, l}, {m, k}}.
a
G
g
d
1
3
k
2
3
4
e
b
20
h
1
2
1
j
m
2
l
c
3
5
f
i
Dieser leichteste Spannbaum hat das Gewicht
l(T ) = 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 20 + 1 + 2 + 3 = 47.
b)
i) Wahr. Entfernt man die Kante {h, j} aus G, so gibt es keinen h, j-Weg mehr. Jeder
Spannbaum von G muss aber einen h, j-Weg haben und das ist nur möglich, wenn die
Kante {h, j} verwendet wird.
ii) Falsch. Sei T ein Spannbaum in G, der die Kante {f, i} nicht verwendet und T 0 der Graph,
der entsteht, wenn man zu T die Kante {f, i} hinzufügt. Der Graph T 0 hat also einen Kreis,
der den Knoten i und die Kanten {f, i} und {i, h} verwendet. Entfernt man die Kante
{i, h} aus T 0 so erhält man einen Baum T 00 mit l(T 00 ) = l(T ) − l({i, h}) + l({f, i}) < l(T ).
Also kann T kein leichtester Spannbaum in G sein.
iii) Falsch. Betrachte zum Beispiel folgenden Graphen H und wähle a als Startknoten:
H
d
4
5
2
a
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WS 2014/15
c
1
b
MA1503
Der Algorithmus von Dijkstra berechnet folgenden Kürzeste Wege Baum mit Gewicht
wP = 1 + 2 + 5 = 8:
Dist()
c
d
5
2
1
a
b
x
M
a
b
c
d
–
a
b
c
d
{a, b, c, d}
{b, c, d}
{c, d}
{d}
{}
0
∞
1
∞
∞
3
∞
5
5
5
Der Algorithmus von Prim berechnet folgenden leichtesten Spannbaum mit Gewicht
wD = 1 + 2 + 4 = 7:
d
4
c
y
Neu in F
σ(a)
σ(b)
σ(c)
σ(d)
–
{a, b}
{b, c}
{c, d}
0
1
∞
2
5
5
4
b
–
b
c
d
2
a
1
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WS 2014/15
MA1503
Aufgabe 2.2
Wahr oder falsch?
Sei G = (V, E, l) ein zusammenhängender, gewichteter Graph mit l : E → R≥0 und e eine Kante
minimalen Gewichts. Dann enthält jeder leichteste Spannbaum in G die Kante e.
Lösung zu Aufgabe 2.2
falsch, betrachte
r
1
s
1
1
t
Hier haben alle Kanten minimales Gewicht, allerdings werden in jedem Spannbaum immer nur zwei
dieser drei Kanten verwendet.
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WS 2014/15