Blatt 2 - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

Kombinatorische Optimierung auf Graphen
Blatt 2
Dr-Ing. Moritz Mühlenthaler
Lehrstuhl V: Diskrete Optimierung
TU Dortmund
26.10.2016
Allgemeine Hinweise: Graphen sind gerichtet, wenn nicht anders angegeben.
1 Kürzeste Wege und der Algorithmus von Ford
Aufgaben 8 und 9 beschäftigen sich mit der Laufzeit des aus der Vorlesung bekannten Algorithmus Ford für das single-source shortest paths (SSSP) Problem. Der Algorithmus ist hier der
Vollständigkeit halber noch einmal aufgeführt:
Algorithmus : Ford
input : Graph G = (V, A), Kosten c ∈ RA , s ∈ V
output : y ∈ RA , p ∈ V V
ys ←− 0, ps ←− 0
for v ∈ V \ {s}:
setze yv ←− ∞ und pv ←− −1
while es gibt vw ∈ A, so dass yw > yv + cvw do
setze yw ←− yv + cvw und pw ←− v
return y, p
Aufgabe 6. Wir betreiben eine Bibliothek und möchten die Bücher möglichst kostengünstig
unterbringen. Angenommen, wir kennen die Höhen und Breiten der Bücher und die Bücher
haben n verschiedene Höhen H1 < H2 < . . . < Hn . Da wir wissen, wie dick jedes Buch ist,
können wir für jede Höhe Hi die benötigte Regalbreite Li für die Bücher dieser Höhe berechnen.
Eine Bestellung eines Regalabteils der Höhe Hi und Länge xi kostet Fi + Ci xi , wobei Fi feste
Kosten pro Bestellung und Ci Kosten pro Einheitslänge des Regalabteils sind. Wir können
möglicherweise bei den festen Kosten sparen, indem wir nicht für jede Höhe ein eigenes Regal
bestellen, sondern Bücher in einem höheren Regal lagern. Unser Ziel ist, für jede Höhe die
Länge des zu bestellenden Regalabteils zu bestimmen, so dass die Gesamtkosten minimal sind.
Formulieren Sie dies als Kürzeste-Wege-Problem.
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Aufgabe 7. Geben Sie einen gerichteten Spannbaum T mit Wurzel
P s ∈ V in einem Graphen
G = (V, A) mit Kosten c ∈ RA an, so dass T minimale Kosten hat ( vw∈E(T ) cvw minimal über
alle gerichteten Spannbäume von G) aber kein kürzeste-Wege-Baum ist. Geben Sie auch einen
kürzeste-Wege-Baum an, dessen Kosten nicht minimal sind.
Aufgabe 8. Seien G = (V, A) ein Graph, s ∈ V und ` ∈ ZA Kosten, so dass G, ` keine negativen Kreise hat. Zeigen Sie, dass Ford mit dieser Eingabe nach höchstens C · |V |2 Iterationen
terminiert, wobei C := 2 max{|`vw | | vw ∈ A} + 1.
Aufgabe 9. Betrachten Sie den folgenden Graphen Gk
2k
2k−1
0
21
0
0
20
...
0
2k
21
2k−1
s
0
0
0
0
Zeigen Sie, das der Algorithmus Ford mehr als 2k Schritte benötigen kann um die SSSP-Instanz
mit Startknoten s auf Gk zu lösen. (Hinweis: Benutzen Sie Induktion. Versuchen Sie, Ford die
Instanz auf Gk−1 zwei Mal lösen zu lassen.)
Aufgabe 10. Zeigen Sie: Das Problem, für zwei feste Knoten u, v einen kürzesten, einfachen,
gerichteten uv-Weg zu finden ist schwierig, unter der Annahme, dass das Travelling Salesperson
Problem (TSP) schwierig ist.
2 Inzidenzmatrizen
Aufgabe 11. Zu einem gerichteten Graphen G sei U (G) der entsprechende ungerichtete Graph,
bei dem die Orientierung der Kanten von G „vergessen“ wurde. Sei B = {be | e ∈ A} die
Inzidenzmatrix eines Graphen G = (V, A) für den U (G) zusammenhängend ist und sei T ⊆ A.
Wir zeigen, dass BT := {be | e ∈ T } genau dann eine Basis von span(B) ist, wenn U ((V, T )) ein
Spannbaum ist.
1. Bestimmen Sie die Inzidenzmatrix zu dem folgenden Graphen:
a
s
c
b
2. Zeigen Sie, dass die Spaltenvektoren BT linear abhängig sind wenn U ((V, T )) kein Baum
ist.
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3. Sei T ⊆ A so dass U ((V, T )) ein Spannbaum ist. Zeigen Sie, dass die Vektoren BT eine Basis
von span(B) sind. (Hinweis: Um zu zeigen, dass die Vektoren in BT linear unabhängig sind
nehmen Sie das Gegenteil an und bestimmen sie die Koeffizienten der Linearkombination
ausgehend von einem Knoten mit Grad eins in U ((V, T )).)
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