Wärme 2

Einführung in die Physik I
Wärme 2 – Kinetische Gastheorie
O. von der Lühe und U. Landgraf
Kinetische Gastheorie - Gasdruck
•
•
•
•
Der Druck in einem mit einem Gas
gefüllten Behälter entsteht durch
Impulsübertragung der Teilchen mit
der Gefäßwand
Die Geschwindigkeiten der Teilchen
sind in alle Richtungen gleich verteilt
Annahme: es bewegen sich 1/6 der
Teilchen auf die Wand zu mit einer
Geschwindigkeit v
In einem Zeitraum dt erreichen
z=
•
v·dt
Fläche A
Masse der Teilchen: m
Impulsübertrag pro Stoß: p =
2mv
Zahl der Teilchen: N
Volumen: V
Teilchendichte: n = N/V
1 n ⋅ v ⋅ dt n
= v
6 dt
6
Teilchen pro Flächeneinheit die Wand
Der Gesamtimpulsübertrag pro
Zeiteinheit (= Druck) ist, gemittelt über
alle Geschwindigkeitsquadrate
Wärme 2
n
p = 2⋅m⋅v⋅ z = 2⋅m⋅v⋅ ⋅v
6
p=
1
2
nmv 2 = ⋅ n ⋅ Ekin
3
3
2
Kinetische Gastheorie - Zustandsgleichung
•
•
Der Vergleich mit der mittleren
kinetischen Energie pro
Teilchen (Wärme 1 F.3) ergibt
Die Zustandsgleichung stellt
einen Zusammenhang
zwischen Druck, Volumen und
Temperatur her
p=
2
⋅ n ⋅ Ekin = n ⋅ k ⋅ T
3
n=
N
V
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
– Gilt für ein ideales Gas
•
•
•
Sind zwei Größen gegeben, so
ergibt sich die dritte aus der ZG
Für Nmol Mol eines Gases lautet
die Zustandsgleichung
p ⋅ V = N mol ⋅ N A ⋅ k ⋅ T
= N mol ⋅ R ⋅ T
R = N A ⋅ k = 8.31 [J K -1 mol-1 ]
Gaskonstante R
Wärme 2
3
Wärmekapazität von Gasen
•
•
•
Bei einem Gas kann man bei einer
Temperaturerhöhung das Volumen
oder den Druck konstant halten
Die Wärmekapazitäten unterscheiden sich, da bei konstantem
Druck durch die Volumenänderung
Arbeit geleistet wird
Das Verhältnis der
Wärmekapazitäten cp und cV heißt
Adiabatenexponent γ
Wärme 2
cV =
f
ΔE
= N mol ⋅ ⋅ R
2
ΔT V = konst.
cp =
ΔE
ΔV
= cV + p
ΔT p = konst.
ΔT
ΔV = V
ΔT
T
pΔV = pV
ΔT
ΔT
= N mol RT
= N mol RΔT
T
T
⎛f
⎞
cp = cV + N mol R = ⎜ + 1⎟ N mol R
⎝2 ⎠
γ =
cp
cV
=
f +2
f
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Kinetische Gastheorie – 1. Hauptsatz
•
Formulierung des Erhaltungs-satzes
für Energie für die Wärmelehre:
„Führt man einem System die
Energiemengen ΔQ in Form von
Wärme und ΔW in Form von äußerer
Arbeit zu, so erhöht sich seine innere
Energie um den Betrag ΔU“
•
ΔU = ΔQ + ΔW
Innere Energie:
– Bewegungsenergie der Moleküle
– Schmelz-, Verdampfungs-,
Lösungsenergie
– Arbeit gegen chemische und
elektromagnetische Kräfte
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1. Hauptsatz für ideale Gase
•
Die von außen an einem
idealen Gas geleistete Arbeit ist
Druckarbeit
ΔW = − pΔV
•
1. Hauptsatz für Gase
ΔQ = ΔU + p ⋅ ΔV
•
Bei einem idealen Gas
(Gesamtmasse M) ist die
Änderung der inneren Energie
ΔU = cV ⋅ M ⋅ ΔT
•
1. Hauptsatz für ideale Gase
ΔQ = cV ⋅ M ⋅ ΔT + p ⋅ ΔV
Wärme 2
6
Zustandsänderungen
•
Eine Zustandsänderung heißt
–
–
–
–
•
isotherm, wenn T konstant bleibt
isobar, wenn p konstant bleibt
isochor, wenn V konstant bleibt
adiabatisch, wenn es zu keinem
Wärmeaustausch kommt: ΔQ = 0
Durch eine Folge von Zustandsänderungen kann Wärmeenergie
in mechanische Energie
umgewandelt werden
Adiabatische Zustandsänderung:
cV ⋅ M ⋅ dT = − p ⋅ dV
Hieraus erhält man durch
Ersetzen von cV und mit der
Zustandsgleichung für
ideale Gase
f dT
1 dT
dV
=
=−
2 T
1− γ T
V
und daraus die folgenden
Zusammenhänge
V ~T
Wärme 2
1
1−γ
γ
, p ~ V −γ , p ~ T γ −1
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Boltzmann - Verteilung
•
•
•
Barometrische Höhenformel
beschreibt die Druckverteilung
eines Gases in einem
konstanten äußeren Kraftfeld
Teilchenzahldichte n (Teilchen
pro Volumeneinheit) ist
proportional zum Druck: n ~ p
Teilchenzahldichte hängt ab
von der potentiellen Energie
mgh des einzelnen Teilchens:
Wärme 2
siehe Deform. Körper 1 F. 9
⎛
⎛
M ⎞
ρ ⎞
⎟⎟
p (h ) = p0 exp⎜⎜ − g 0 h ⎟⎟ = p0 exp⎜⎜ − gh
⋅
p
V
p
0
0
0 ⎠
⎝
⎠
⎝
Für ein Mol gilt
p0 ⋅ V0 = RT = N A kT
⎛ Mgh ⎞
⎛ mgh ⎞
⎟⎟ = n0 exp⎜ −
n(h) = n0 exp⎜⎜ −
⎟
N
kT
kT
⎝
⎠
A
⎝
⎠
⎛ Epot (h ) ⎞
⎟⎟
= n0 exp⎜⎜ −
kT ⎠
⎝
8
Boltzmann - Verteilung
•
•
Verallgemeinert für beliebige
Energieunterschiede erhält man
die Boltzmann-Verteilung
Die Boltzmann-Verteilung tritt
überall dort auf, wo ein Ensemble von Teilchen verschiedene
Energiezustände in einem
stationären Zustand einnehmen
kann (thermodynamisches
Gleichgewicht)
Allgemeine Wahrscheinlichkeit
eines Systems, welches eine
Reihe von Zuständen i mit den
Energien Ei einnehmen kann
– Statistisches Gewicht gi
Wärme 2
n( E2 )
⎛ E − E1 ⎞
= exp⎜ − 2
⎟
n(E1 )
kT ⎠
⎝
Boltzmann-Verteilung
0.8
Relative Teilchenzahl
•
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
Energieunterschied [kT]
⎛ Ei ⎞
pi = g i ⋅ exp⎜ −
⎟
kT
⎠
⎝
9
Maxwell – Verteilung
•
In einem idealen Gas hat jedes
Teilchen kinetische Energie.
Die Verteilung der Energie ist
eine Boltzmann-Verteilung
•
Höhere Geschwindigkeiten
haben ein höheres statistisches
Gewicht
•
Die Maxwell-Verteilung gibt
die Verteilung der Geschwindigkeiten in einem idealen Gas
mit Temperatur T an
Wärme 2
⎛ mv 2 ⎞
⎟⎟
p (v ) ~ g (v ) exp⎜⎜ −
⎝ 2kT ⎠
g (v ) = 4πv 2
p(v ) =
3
2
⎛ mv 2 ⎞
2 ⎛m⎞
2
⎟⎟
⋅ ⎜ ⎟ ⋅ v ⋅ exp⎜⎜ −
π ⎝ kT ⎠
⎝ 2kT ⎠
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Maxwell – Verteilung
Maxwell-Verteilung
0.004
p(v) [s / m]
0.003
0.002
0.001
0
0
500
1000
1500
2000
Geschwindigkeit [m / s]
100 K
300 K
1000 K
3000 K
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