AK der Biostatistik - Multivariate Methoden (LVA-Nr

1
Ausgewählte Kapitel der Statistik: Regressions- u. varianzanalytische Modelle
Lösung von Grundaufgaben mit SPSS (ab V. 11.0)
Text: akmv1_v11.doc
Daten: akmv1??.sav
Lehrbuch: W. Timischl, Biostatistik. Wien - New York: Springer 2000
Problem 1.1: Abhängigkeitsanalysen - mehrfach lineare Regression
Die folgenden Daten sind einer Studie entnommen, in der u.a. das Gesamtcholesterin Y (in mg/dl), das Gewicht
X1 (in kg) und das Alter X2 (in a) bestimmt wurden. Es sollen (mit den von 12 Probanden stammenden Daten) im
Rahmen eines zweifach-linearen Modells folgende Fragen untersucht werden:
i) Hängt Y global von X1 und X2 ab? (globale Abhängigkeitsprüfung, α = 5%). Wenn ja, wie lautet das
Regressionsmodell?
ii) Ist eine Reduktion auf ein lineares Modell mit nur einem Regressor möglich? (partielle Abhängigkeitsprüfung, α
= 5%)
Daten: akmv111.sav
i1) Daten, einfache Statistiken
Analysieren - Berichte - Fälle zusammenfassen ...
Zusammenfassung von Fällena
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Insgesamt
N
Mittelwert
Standardabweichung
Varianz
Gewicht/kg
82
60
82
58
80
30
65
33
70
54
68
62
12
62,00
17,008
289,273
Alter/a
48
51
55
30
58
25
45
35
50
40
30
28
12
41,25
11,419
130,386
Gesamtchol./
mg p.dl
350
395
440
290
400
210
350
230
310
290
255
320
12
320,00
70,421
4959,091
a. Begrenzt auf die ersten 100 Fälle.
i2) Schätzung der Modellparameter, globale Abhängigkeitsprüfung
Analysieren - Regression - linear ...
Modellzusammenfassungb
Modell
1
R
R-Quadrat
,888 a
,789
Korrigiertes
R-Quadrat
,742
Standardfehler
des Schätzers
35,763
a. Einflußvariablen : (Konstante), Alter/a, Gewicht/kg
b. Abhängige Variable: Gesamtchol./mg p.dl
2
ANOVAb
Modell
1
Quadratsumme
43039,014
11510,986
54550,000
Regression
Residuen
Gesamt
Mittel der
Quadrate
21519,507
1278,998
df
2
9
11
F
16,825
Signifikanz
,001a
a. Einflußvariablen : (Konstante), Alter/a, Gewicht/kg
b. Abhängige Variable: Gesamtchol./mg p.dl
Koeffizientena
Modell
1
Nicht standardisierte
Koeffizienten
Standard
B
fehler
73,394
43,874
1,686
,870
3,445
1,295
(Konstante)
Gewicht/kg
Alter/a
Standardisierte
Koeffizienten
Beta
,407
,559
T
1,673
1,939
2,660
Signifi
kanz
,129
,084
,026
95%-Konfidenzintervall
für B
Untergren Obergren
ze
ze
-25,855
172,644
-,281
3,653
,515
6,374
a. Abhängige Variable: Gesamtchol./mg p.dl
Regressionsfunktion:
Y(erwartet) = 73,394 + 1,686 X1 + 3,445 X2
Anpassungsgüte:
Es empfiehlt sich, die Modelladäquatheit an Hand eines mit den erwarteten und
beobachteten Y-Werten gezeichneten Streudiagramms zu überprüfen. Ein Kennwert für
die Anpassungsgüte ist das multiple Bestimmtheitsmaß (=Quadrat der
Produktmomentkorrelation
zwischen den erwarteten und beobachteten Y-Werten; im
2
Beispiel ist R =78,9%).
2,0
Standard. geschätzter Wert (Y)
1,0
0,0
-1,0
-2,0
R-Qu. = 0.7890
200
300
400
Gesamtchol./mg p.dl (Y)
500
3
ii1) partielle Abhängigeitsprüfung: Ist X1 (Gewicht) redundant?
(reduziertes Modell: einfache lineare Regression von Y auf X2)
Statistik - Regression - linear ...
Modellzusammenfassung
Modell
1
Korrigiertes
R-Quadrat
,671
R
R-Quadrat
,837 a
,701
Standardfehler
des Schätzers
40,396
a. Einflußvariablen : (Konstante), Alter/a
ANOVAb
Modell
1
Quadrats
umme
38231,846
16318,154
54550,000
Regression
Residuen
Gesamt
df
1
10
11
Mittel der
Quadrate
38231,846
1631,815
F
23,429
Signifikanz
,001 a
a. Einflußvariablen : (Konstante), Alter/a
b. Abhängige Variable: Gesamtchol./mg p.dl
Partieller F-Test:
TGs(X1|X2) = [SQRes(X2) - SQRes(X1,X2)]/MQRes(X1,X2) = (16318,154 – 11510,986)/1278,998 = 3,759;
Testgröße ist F-verteilt mit dem Zählerfreiheitsgrad 1 und dem Nennerfreiheitsgrad 9
Æ P(TG > 3,759) = 8,45% ≥ α =5% Æ Verkleinerung von SQRes ist nicht signifikant!
(dass X2 redundant ist, sieht man auch aus der Tabelle "Koeffizienten" unter i2)
ii2) partielle Abhängigkeitsprüfung: Ist X1 redundant?
nein! (siehe Tabelle "Koeffizienten" unter i2)
Problem 1.2: Abhängigkeitsanalysen - polynomiale Regression
Mit Hilfe angegebenen Daten soll die Photosynthese Y (in mmol CO2 pro m2 und s) einer Pflanze als Funktion
der Temperatur X (in oC) bei konstant gehaltener (hoher) Lichintensität dargestellt werden. Man prüfe die
Abhängigkeit der Variablen Y von X im Rahmen eines quadratischen Modells (α = 5%). Für welche Temperatur
ist der Y maximal?
Daten: akmv122.sav
i) Grafische Untersuchung des Modelltyps (Art der Regressionsfunktion)
Grafiken - Streudiagramm ...
25
22
Photosynth.
19
16
14
17
20
23
26
29
32
Temp. (C)
Streudiagramm Æ quadratische Regressionsfunktion: Y(erwartet) = b0 + b1*X1 + b2*X2 mit X1 = X, X2 = X*X
ii) Daten, einfache Statistiken
4
Zusammenfassung von Fällena
1
2
3
4
5
6
7
8
Insgesamt
Temp. (C)
15
15
20
20
25
25
30
30
8
22,50
5,976
35,714
N
Mittelwert
Standardabweichung
Varianz
Photosynth.
X2
17,91
225
18,30
225
24,52
400
24,41
400
21,77
625
22,73
625
19,09
900
20,57
900
8
8
21,1625
537,50
2,62036
270,251
6,866 73035,714
a. Begrenzt auf die ersten 100 Fälle.
iii) Schätzung der Modellparameter, Abhängigkeitsprüfungen (global, partiell)
Analysieren - Regression - linear ...
Modellzusammenfassung
Modell
1
R
R-Quadrat
,906a
,820
Korrigiertes
R-Quadrat
,748
Standardfehler
des Schätzers
1,31482
a. Einflußvariablen : (Konstante), X2, Temp. (C)
ANOVAb
Modell
1
Regression
Residuen
Gesamt
Quadrat
summe
39,420
8,644
48,064
df
2
5
7
Mittel der
Quadrate
19,710
1,729
F
11,401
Signifikanz
,014a
a. Einflußvariablen : (Konstante), X2, Temp. (C)
b. Abhängige Variable: Photosynth.
Globaler F-Test:
Signifikanz < α =5% Æ Y hängt (im Rahmen des Modells) signifikant von X (und X*X)
ab.
Koeffizientena
Modell
1
(Konstante)
Temp. (C)
X2
Nicht standard.
Koeffizienten
B
SE
-21,875
9,040
4,010
,841
-,088
,019
Standard.
Koeffizienten
Beta
9,146
-9,055
T
-2,420
4,769
-4,722
Signifikanz
,060
,005
,005
a. Abhängige Variable: Photosynth.
Partieller F-Test:
Wegen Sign. < α ist weder X (TEMP) noch X2=X*X im Modell redundant.
95%-Konfidenzint. für
B
UG
OG
-45,113
1,364
1,849
6,172
-,136
-,040
5
1,5
1,0
Standard. geschätzter Wert (Y)
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
R-Qu. = 0.8202
16
19
22
25
Photosynth.
Regressionsmodell:
Y(erwartet) = -21,875 + 4,010 X – 0,088 X*X
Optimale Temperatur:
dY/dX = 4,010 - 2 x 0,088 X = 0 Æ X(opt.) = 22,8
Problem 1.3: Vergleich von Regressionsgeraden
In einem Placebo-kontrollierten Parallelversuch wurde eine Größe vor Gabe des Präparates (Variable X1) und
danach (Variable X2) gemessen. Die Präparatwirkung Y wird durch die Differenz X1 - X2 ausgedrückt. Jeweils
zehn Versuchspersonen erhielten das Testpräparat, andere zehn das Kontrollpräparat (Placebo).
i) Man zeige auf der Grundlage von linearen Regressionsmodellen, dass in jeder Präparatgruppe die Wirkung Y
vom Anfangswert X1 abhängt (Prüfung auf Abhängigkeit).
ii) Man zeige, dass sich die Anstiege der Regressionsgeraden nicht signifikant unterscheiden (Prüfung auf
Abweichung von der Parallelität).
iii) Man zeige, dass die Regressionsgeraden nicht zusammenfallen (Prüfung auf Koinzidenz).
Als Testniveau sei für jede Einzelprüfung 5% angenommen; Daten: siehe "Daten, einfache Statistiken".
i1) Daten, einfache Statistiken
Analysieren - Berichte - Fälle zusammenfassen ...
Tabelle: siehe nächste Seite
i2) Grafische Überprüfung der Modelladäquatheit (lineares Modell)
Grafiken - Streudiagramm - Einfach ...
100
80
60
40
20
Präparat
0
Placebo
R-Qu. = 0,7805
Y
-20
A
-40
R-Qu. = 0,6980
40
X1
60
80
100
120
140
160
180
6
Zusammenfassung von Fällena
X1
Präparat
A
32
30
2
84
21
63
3
49
56
31
49
18
7
110
28
82
6
91
29
62
7
126
72
54
8
44
52
-8
9
132
56
76
94
67
27
10
10
10
84,80
43,70
41,10
9,99
5,65
9,66
31,59
17,85
30,56
997,733
318,678
933,656
10
Insgesamt
N
Mittelwert
Standardfehler des
Mittelwertes
Standardabweichung
Varianz
1
57
83
-26
2
146
79
67
3
163
92
71
4
158
122
36
5
68
68
0
6
112
76
36
7
77
68
9
8
136
98
38
9
74
56
18
10
110
99
11
10
10
10
110,10
84,10
26,00
12,49
6,07
9,43
Insgesamt
N
Mittelwert
Standardfehler des
Mittelwertes
Standardabweichung
Varianz
Insgesamt
N
Mittelwert
Standardfehler des Mittelwertes
Standardabweichung
Varianz
39,51
19,19
29,83
1560,767
368,322
889,778
20
20
20
97,45
63,90
33,55
8,31
6,14
6,80
37,15
27,48
30,39
1380,366
754,937
923,734
a. Begrenzt auf die ersten 100 Fälle.
i3) Lineare Regression von Y auf X1 (getrennt nach Präparatgruppen)
Aufteilung der Datei nach Gruppen: Daten – Datei aufteilen ...
Regressionsprozedur: Analysieren - Regression - Linear ..
Präparat = A
Modellzusammenfassung b
Modell
1
Y
62
4
5
Placebo
X2
1
R
,835a
R-Quadrat
,698
Korrigiertes
R-Quadrat
,660
a. Einflußvariablen : (Konstante), Untersuchungsm. 1.US
b. Präparat = A
Standardfehler
des Schätzers
17,81
7
ANOVA b,c
Regression
Quadrat
summe
5865,178
Residuen
Gesamt
Modell
1
1
Mittel der
Quadrate
5865,178
2537,722
8
317,215
8402,900
9
df
F
18,490
Signifikanz
,003 a
a. Einflußvariablen : (Konstante), Untersuchungsm. 1.US
b. Abhängige Variable: Y
c. Präparat = A
Koeffizienten a,b
Nicht standardisierte
Koeffizienten
Modell
1
(Konstante)
Untersuchungsm.
1.US
Standard.
Koeffizienten
B
-27,4343
SE
16,9043
,8082
,1880
Beta
,835
T
-1,623
Signifikanz
,143
4,300
,003
a. Abhängige Variable: Y
b. Präparat = A
Präparat = Placebo
Modellzusammenfassung b
Modell
1
R
Korrigiertes
R-Quadrat
,753
R-Quadrat
,781
,883a
a. Einflußvariablen : (Konstante), Untersuchungsm. 1.US
b. Präparat = Placebo
Standardfehler
des Schätzers
14,82
ANOVAb,c
Regression
Quadrat
summe
6250,269
Residuen
1757,731
Modell
1
1
Mittel der
Quadrate
6250,269
8
219,716
df
F
28,447
Signifikanz
,001a
Gesamt
8008,000
9
a. Einflußvariablen : (Konstante), Untersuchungsm. 1.US
b. Abhängige Variable: Y
c. Präparat = Placebo
Koeffizienten a,b
Nicht standardisierte
Koeffizienten
Modell
1
(Konstante)
Untersuchungsm. 1.US
B
-47,4423
SE
14,5458
,6671
,1251
Standard.
Koeffizienten
Beta
,883
T
-3,262
Signifikanz
,011
5,334
,001
a. Abhängige Variable: Y
b. Präparat = Placebo
Ergebnisse:
Regressionsmodell 1 (Präparat A): Y = b11 X1 + b10 + Fehler
mit b11 = 0.8082 (sign. <> Null, P =0.003), b10 = -27.4343;
Regressionsmodell 2 (Placebo): Y = b21 X1 + b20 + Fehler
mit b1 = 0.6671 (sign. <> Null, P = 0.001), b0 = -47.4423.
ii) Gibt es zwischen den Geradenanstiegen b11 und b21 einen signifikanten Unterschied (α=5%)?
8
ii1) Vergleich von b11 und b21 mit dem t-Test
Voraussetzungen:
b11 (Stichprobenfunktion, Anstieg - Präparat A) ist normalverteilt,
Schätzwerte: Mittelwert = 0.8082, Standardabweichung = 0.1880 (Freiheitsgrad = n-2=8)
b21 (Stichprobenfunktion, Anstieg - Placebo) ist normalverteilt,
Schätzwerte: Mittelwert = 0.6671, Standardabweichung = 0.1251, (Freiheitsgrad = n-2=8)
Manuelle Durchführung des t-Tests:
F-Test: Varianzverhältnis (0.1880/0.1251)^2 = 2.258 <= F(8, 8, 0.975) = 4.43 spricht nicht gegen die Gleichheit
der Varianzen.
2-Stichproben-t-Test (unabhängige Stichproben):
mittlere (gepoolte) Varianz = (0.1880^2 + 0.1251^2)/2 = 0.04317
Testgröße = (0.8082-0.6671)/0.04317^(1/2)* (64/16)^(1/2) = 1.358 <= t(16, 0.975) = 2.120 Æ
Unterschied der Anstiegswerte ist auf dem Testniveau 5% nicht signifikant.
ii2) Vergleich der Anstiege im Rahmen eines mehrfach-linearen Regressionsmodells mit einer
Indikatorvariablen ("dummy variable")
Prinzip:
Die zwei einfach-linearen Regressionsmodelle werden mit Hilfe der Indikatorvariablen z in ein mehrfach-lineares
Regressionsmodell zusammengefasst. Der Hilfsvariablen z wird für alle Beobachtungen der Präparatgruppe A
der Wert Null und für alle Beobachtungen der Placebo-Gruppe der Wert eins zugewiesen. Setzt man die
abhängige Variabe Y als multiples lineares Modell mit den Regressorvariablen u1=X1, u2=z und u3=X1*z in der
Gestalt
(*)
Y = b0 + b1*u1 + b2*u2 + b3*u3 + Fehler
an, so geht diese Modellgleichung für z=0 (Gruppe A) über in
(**)
Y = b0 + b1*X1 + Fehler
und für z=1 (Placebo-Gruppe) über in
(***)
Y = (b0+b2) + (b1+b3)*X1 + Fehler.
Die Anstiege in den einfach-linearen Regressionsmodellen (**) und (***) sind genau dann verschieden, wenn im
dreifach-linearen Regressionsmodells (*) der Koeffizient b3 ungleich Null ist, d.h. die Zielvariable von u3 abhängt.
Die Abhängigkeitsprüfung von u3 erfolgt mit dem partiellen F-Test.
Datenorganisation: Datenmatrix durch z-Spalte (=u2) und z*X1-Spalte (=u3) ergänzen.
Zusammenfassung von Fällen a
1
32
30
U2 (=z)
0
2
A
84
21
63
0
0
3
A
49
31
18
0
0
4
A
56
49
7
0
0
5
A
110
28
82
0
0
6
A
91
29
62
0
0
7
A
126
72
54
0
0
8
A
44
52
-8
0
0
9
A
132
56
76
0
0
10
A
94
67
27
0
0
11
Placebo
57
83
-26
1
57
12
Placebo
146
79
67
1
146
13
Placebo
163
92
71
1
163
14
Placebo
158
122
36
1
158
15
Placebo
68
68
0
1
68
16
Placebo
112
76
36
1
112
17
Placebo
77
68
9
1
77
18
Placebo
136
98
38
1
136
19
Placebo
74
56
18
1
74
20
Placebo
110
99
11
1
110
20
20
20
20
20
Insgesamt
X1 (=u1)
62
N
20
a. Begrenzt auf die ersten 100 Fälle.
Hypothesen:
X2
Y
U3
(=z*X1)
Präparat
A
0
9
H0: Koeffizient von u3 in (*) ist Null (Nullmodell),
H1: Koeffizient von u3 in (*) ist ungleich Null (Alternativmodell).
Durchführung des partiellen F-Tests:
Schritt 1:
Fehlerquadratsumme SQRes(H1)=4295.453 und Freiheitsgrade FG(H1)= 16 aus dem Alternativmodell
bestimmen (Statistik - Regression - Linear ... ; abhängige Variable = Y, unabhängige Variable = u1, u2, u3).
ANOVAb
Regression
Quadrat
summe
13255,5
Residuen
Modell
1
Gesamt
3
Mittel der
Quadrate
4418,499
4295,453
16
268,466
17551,0
19
df
F
16,458
Signifikanz
,000 a
a. Einflußvariablen : (Konstante), U3, Untersuchungsm. 1.US, U2
b. Abhängige Variable: Y
Schritt 2:
Fehlerquadratsumme SQRes(H0)=4404.569 und Freiheitsgrade FG(H0)= 17 aus dem Alternativmodell
bestimmen (Statistik - Regression - Linear ... ; abhängige Variable = Y, unabhängige Variable = u1, u2).
ANOVAb
Modell
1
Regression
Residuen
Gesamt
Quadrat
summe
13146,4
2
Mittel der
Quadrate
6573,190
4404,569
17
259,092
17551,0
19
df
F
25,370
Signifikanz
,000 a
a. Einflußvariablen : (Konstante), U2, Untersuchungsm. 1.US
b. Abhängige Variable: Y
Schritt 3: Testentscheidung
Mittlere Reduktion der Fehlerquadratsumme bei Übergang vom Nullmodell zum Alternativmodell =
MQRes(H1|H0) = [SQRes(H0) - SQRes(H1)]/[FG(H0)-FG(H1)] = (4404.569-4295.453)/(17-16) = 109.116.
Schätzung der Fehlervarianz aus dem Alternativmodell durch MQRes(H1) = 268.466 mit FG(H1) = 16.
Testgröße = MQRes(H1|H0)/MQRes(H1) = 0.406 <= F(1,16,0.95) = 4.49
Æ Unterschied zwischen den Anstiegen nicht signifikant.
iii) Sind die Regressionsgeraden überhaupt verschieden?
(hinsichtlich Anstiege und y-Achsenabschnitte)
Prüfung im Rahmen des mehrfach-linearen Regressionsmodells (*) mit den Regressorvariablen u1 (=X1), u2 (=z)
und u3 (=z*X1) durch Übergang vom Vollmodell (Alternativmodell) zum Nullmodell (Koeffizienten von u2 und u3
sind Null).
Hypothesen:
H0: Y hängt nicht von u2 und u3 ab (Nullmodell),
H1: Y hängt von u1, u2 und u3 ab (Alternativmodell).
Durchführung des partiellen F-Tests:
Schritt 1: SQRes(H1) = 4295.453, FG(H1) = 16, MQRes(H1) = 268.466.
Schritt 2: SQRes(H0) = 9292.591, FG(H0) = 18.
ANOVAb
Modell
1
Regression
Residuen
Gesamt
Quadrat
summe
8258,359
1
Mittel der
Quadrate
8258,359
9292,591
18
516,255
17550,950
19
df
a. Einflußvariablen : (Konstante), Untersuchungsm. 1.US
b. Abhängige Variable: Y
Schritt 3:
F
15,997
Signifikanz
,001a
10
MQRes(H1|H0) = (9292.591-4295.453)/(18-16)=2498.569.
Testgröße = MQRes(H1|H0)/MQE(H1) = 9.307 > F(2,16,0.95) = 3.63
Æ Regressionsgeraden fallen nicht zusammen!
Problem 1.4: Abhängigkeitsanalysen - Versuche mit einem Haupt- und einem Blockfaktor
Die folgende Datentabelle zeigt die an einer Messstelle der Donau erhaltenen monatlichen Messwerte des
Gesamtphosphors (gesp_3) für die Jahre 1986 bis 1988. Man vergleiche die Jahresmittelwerte und verwende
dabei den Monat als Blockfaktor. Das Testniveau ist mit 5% vorgegeben.
Monat
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1986
0.282
0.308
0.381
0.282
0.199
0.211
0.137
0.254
0.224
0.252
0.262
0.271
1987
0.365
0.202
0.192
0.170
0.111
0.085
0.274
0.183
0.186
0.166
0.218
0.209
1988
0.179
0.189
0.241
0.160
0.150
0.130
0.170
0.251
0.231
0.209
0.231
0.251
i) Problemlösung mit der Prozedur „Allgemeines lineares Modell“
Modell:
Messwert = Basiswert + Faktor(=Jahres)-Effekt + Block (=Monats)-Effekt + Versuchsfehler
Datenorganisation:
monat
1
2
..
12
jahr
86
86
..
88
gesp_3
0.282
0.308
..
0.251
i1) Globaltest (H0: kein Jahres-Effekt), Power
Analysieren - Allgemeines lineares Modell – Univariat ...
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable: Gesamt-P in mg/l /Wolfsthal)
Quelle
Korrigiertes
Modell
Quadratsumme
vom Typ III
Konstanter Term
Mittel der
Quadrate
df
b
8,125E-02
13
F
Sign.
NichtzentralitätsParameter
Beobachtete
a
Schärfe
6,250E-03
2,237
,046
29,078
,824
1,697
1
1,697
607,349
,000
607,349
1,000
MONAT
5,502E-02
11
5,002E-03
1,790
,118
19,693
,677
JAHR
2,622E-02
2
1,311E-02
4,693
,020
9,385
,727
Fehler
6,147E-02
22
2,794E-03
1,840
36
,143
35
Gesamt
Korrigierte
Gesamtvariation
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
b. R-Quadrat = ,569 (korrigiertes R-Quadrat = ,315)
Geschätzte Randmittel
1. Gesamtmittelwert
Abhängige Variable: Gesamt-P in mg/l /Wolfsthal)
95% Konfidenzintervall
Mittelwert
,217
Standardfehler
,009
Untergrenze
,199
Obergrenze
,235
11
2. MONAT
Abhängige Variable: Gesamt-P in mg/l /Wolfsthal)
95% Konfidenzintervall
MONAT
1
Mittelwert
,275
Standardfehler
,031
Untergrenze
,212
Obergrenze
,339
2
,233
,031
,170
,296
3
,271
,031
,208
,335
4
,204
,031
,141
,267
5
,153
,031
9,004E-02
,217
6
,142
,031
7,871E-02
,205
7
,194
,031
,130
,257
8
,229
,031
,166
,293
9
,214
,031
,150
,277
10
,209
,031
,146
,272
11
,237
,031
,174
,300
12
,244
,031
,180
,307
3. JAHR
Abhängige Variable: Gesamt-P in mg/l /Wolfsthal)
95% Konfidenzintervall
JAHR
86
Mittelwert
,255
Standardfehler
,015
Untergrenze
,224
Obergrenze
,287
87
,197
,015
,165
,228
88
,199
,015
,168
,231
i2) Multiple Vergleiche (nach Scheffe und Dunnett)
Mehrfachvergleiche
Abhängige Variable: Gesamt-P in mg/l /Wolfsthal)
Scheffé
(I) JAHR
(J) JAHR
86
87
95% Konfidenzintervall
SE
,022
Sign.
,042
Untergr.
1,8703E-03
Obergr.
,11513
88
5,5917E-02
,022
,053
-7,1307E-04
,11255
86
-5,85000E-02*
,022
,042
-,11513
-1,870E-03
88
-2,58333E-03
,022
,993
-5,9213E-02
5,4046E-02
86
-5,59167E-02
,022
,053
-,11255
7,1307E-04
87
2,5833E-03
,022
,993
-5,4046E-02
5,9213E-02
87
86
-5,85000E-02*
,022
,024
-,10949
-7,514E-03
88
86
-5,59167E-02*
,022
,031
-,10690
-4,931E-03
87
88
Dunnett-T
a
(2-seitig)
Mittlere
Differenz
(I-J)
5,8500E-02*
Basiert auf beobachteten Mittelwerten.
*. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe ,05 signifikant.
a. In Dunnett-T-Tests wird eine Gruppe als Kontrollgruppe behandelt, mit der alle anderen Gruppen
verglichen werden.
ii) Rangvarianzanalyse für verbundene Stichproben (Friedman-Test)
Analysieren - Nichtparametrische Tests - K verbundene Stichproben ...
Datenorganisation:
monat
1
2
usw.
gesp86
0.282
0.308
gesp87
0.365
0.202
gesp88
0.179
0.189
12
Ränge
GESP86
Mittlerer
Rang
2,67
GESP87
1,50
GESP88
1,83
Statistik für Test a
N
12
Chi-Quadrat
8,667
df
2
Asymptotische Signifikanz
,013
a. Friedman-Test
Problem 1.5: Abhängigkeitsanalysen - Einfaktorielle Versuche mit Messwiederholungen
Um die Wirkung einer Behandlung auf eine Zielvariable Y zu untersuchen, wurden 10 Probanden der Behandlung
unterzogen und die Zielvariable am Beginn und am Ende der Behandlung (Zeitpunkte 1 bzw. 2) sowie nach
einem längeren zeitlichen Intervall (Zeitpunkt 3) gemessen. Die Messwerte sind in der folgenden Tabelle
protokolliert. Es soll auf dem 5%-Niveau geprüft werden, ob sich die Zielvariable im Mittel verändert hat.
Pers.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zeitp. 1
568
668
441
466
521
696
761
605
504
469
Zeitp. 2
728
849
440
681
621
779
754
837
756
586
Zeitp. 3
713
820
465
340
611
555
640
696
297
520
i) Datenorganisation: wie in der Tabelle.
ii) Problemlösung mit GLM - Messwiederholungen:
Analysieren - Allgemeines lineares Modell - Messwiederholung ...
Innersubjektfaktoren
Maß: MESSWERT
1
Abhängige
Variable
X_1
2
X_2
3
X_3
ZEIT
Deskriptive Statistiken
Untersuchungsm.1.US
Mittelwert
569,90
Standardabweichung
109,34
Untersuchungsm. 2.US
703,10
125,23
10
Untersuchungsm. 3.US
565,70
165,46
10
ii1) Lösung im Rahmen einer multivariaten Varianzanalyse
N
10
13
Multivariate Tests c
Wert
,703
F
9,465b
Hypothese
df
2,000
Fehler
df
8,000
Sign.
,008
NZP
18,929
Beobachtete
a
Schärfe
,899
Wilks-Lambda
,297
9,465b
2,000
8,000
,008
18,929
,899
Hotelling-Spur
2,366
9,465b
2,000
8,000
,008
18,929
,899
Größte
charakteristische
Wurzel nach Roy
2,366
9,465
2,000
8,000
,008
18,929
,899
Effekt
ZEIT
Pillai-Spur
b
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
b. Exakte Statistik
c.
Design: Intercept
Innersubjekt-Design: ZEIT
ii1) Lösung im Rahmen einer Blockvarianzanalyse mit Korrektur der
Fehlerfreiheitsgrade
Mauchly-Test auf Sphärizität b
Maß: MESSWERT
a
Epsilon
Inner
subjekt
effekt
ZEIT
Mauchly-W
,670
Approximiertes
Chi-Quadrat
3,208
df
2
Sign.
,201
GreenhouseGeisser
,752
HuynhFeldt
,869
Unter
grenz
e
,500
Prüft die Nullhypothese, daß sich die Fehlerkovarianz-Matrix der orthonormalisierten
transformierten abhängigen Variablen proportional zur Einheitsmatrix verhält.
a. Kann zum Korrigieren der Freiheitsgrade für die gemittelten Signifikanztests verwendet
werden. In der Tabelle mit den Tests der Effekte innerhalb der Subjekte werden
korrigierte Tests angezeigt.
b.
Design: Intercept
Innersubjekt-Design: ZEIT
Tests der Innersubjekteffekte
Maß: MESSWERT
Quadratsumme
vom Typ III
Quelle
ZEIT
Fehler(ZEIT)
Mittel der
Quadrate
df
F
Sign.
NZP
Beob.
a
Schärfe
Sphärizität
angenommen
122128,800
2
61064,400
7,180
,005
14,360
,885
GreenhouseGeisser
122128,800
1,503
81234,491
7,180
,011
10,795
,802
Huynh-Feldt
122128,800
1,739
70242,594
7,180
,008
12,484
,847
Untergrenze
122128,800
1,000
122128,800
7,180
,025
7,180
,666
Sphärizität
angenommen
153083,867
18
8504,659
GreenhouseGeisser
153083,867
13,531
11313,821
Huynh-Feldt
153083,867
15,648
9782,939
Untergrenze
153083,867
9,000
17009,319
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
14
Tests der Innersubjektkontraste
Maß: MESSWERT
Quelle
ZEIT
ZEIT
Linear
Quadratsumme
vom Typ III
88,200
Quadratisch
Fehler
(ZEIT)
Linear
1
Mittel der
Quadrate
88,200
122040,600
1
122040,600
78378,800
9
8708,756
9
8300,563
df
Quadratisch
74705,067
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
F
,010
Sign.
,922
NZP
,010
Beob.
a
Schärfe
,051
14,703
,004
14,703
,925
Problem 1.6: Abhängigkeitsanalysen - Einfaktorielle Versuche mit einer Kovariablen
In einem Placebo-kontrollierten Parallelversuch wurde eine Größe vor Gabe des Präparates (Variable X) und
danach (Variable X') gemessen. Jeweils zehn Versuchspersonen erhielten das Testpräparat, andere zehn das
Kontrollpräparat (Placebo). Die Messergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Es ist das Ziel
des Versuches, das Testpräparat mit dem Kontrollpräparat hinsichtlich der Wirksamkeit zu vergleichen. Dabei ist
die Wirksamkeit durch die Differenz Y=X-X' erfasst und eine allfällige Abhängigkeit vom Anfangswert
zu berücksichtigen. Als Testniveau sei α = 5% vereinbart.
Behandlungsfaktor (Präparat)
Stufe 1 (Test)
Stufe 2 (Placebo)
X
X'
X
X'
62
32
57
83
84
21
146
79
49
31
163
92
56
49
158
122
110
28
68
68
91
29
112
76
126
72
77
68
44
52
136
98
132
56
74
56
94
67
110
99
Wiederholungen
i) Datenorganisation
Y-Spalte mit "Transformieren - Berechnen ..." erzeugen:
Präparat
1
...
1
2
...
2
X
62
X'
32
Y(=X-X')
30
94
57
67
83
27
-26
110
99
11
ii) Vergleich der Präparateffekte ohne Berücksichtigung des Anfangswertes
Analysieren - Allgemeines lineares Modell – Univariat ... (ohne Anfangswert als Kovariable)
Deskriptive Statistiken
Abhängige Variable: Y
Präparat
A
Mittelwert
41,10
Standardabweichung
30,56
Placebo
26,00
29,83
10
Gesamt
33,55
30,39
20
Levene-Test auf Gleichheit der Fehlervarianzen
N
10
a
Abhängige Variable: Y
F
df1
,167
df2
1
18
Signifikanz
,687
Prüft die Nullhypothese, daß die Fehlervarianz der abhängigen
Variablen über Gruppen hinweg gleich ist.
a. Design: Intercept+PRAEP
15
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable: Y
Quelle
Quadratsumme
vom Typ III
Korrigiertes
Modell
Mittel der
Quadrate
df
b
1140,050
1
1140,050
Intercept
22512,050
1
PRAEP
1140,050
1
Fehler
16410,900
18
911,717
Gesamt
40063,000
20
Korrigierte
Gesamtvariation
17550,950
19
F
Sign.
Beob.
a
Schärfe
NZP
1,250
,278
1,250
,185
22512,050
24,7
,000
24,692
,997
1140,050
1,250
,278
1,250
,185
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
b. R-Quadrat = ,065 (korrigiertes R-Quadrat = ,013)
Ergebnis:
Präparateffekt ns (Power nur 18,5%), höhere Power kann erreicht werden durch größere Stichproben oder
Verkleinerung des Versuchsfehlers (Kovarianzanalyse).
iii)
Kovarianzanalyse - Test auf signifikante Präparateffekte
Analysieren - Allgemeines lineares Modell – Univariat ... (mit Anfangswert als Kovariable)
a
Levene-Test auf Gleichheit der Fehlervarianzen
Abhängige Variable: Y
F
df1
,417
df2
1
18
Signifikanz
,526
Prüft die Nullhypothese, daß die Fehlervarianz der abhängigen
Variablen über Gruppen hinweg gleich ist.
a. Design: Intercept+PRAEP+X
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable: Y
Quelle
Quadratsumme
vom Typ III
Korrigiertes
Modell
13146,381
Mittel der
Quadrate
df
b
F
Sign.
Beob.
a
Schärfe
NZP
2
6573,190
25,370
,000
50,740
1,000
,887
Konstanter Term
2931,426
1
2931,426
11,314
,004
11,314
PRAEP
4888,022
1
4888,022
18,866
,000
18,866
,983
12006,331
1
12006,331
46,340
,000
46,340
1,000
4404,569
17
259,092
Gesamt
40063,000
20
Korrigierte
Gesamtvariation
17550,950
19
X
Fehler
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
b. R-Quadrat = ,749 (korrigiertes R-Quadrat = ,720)
Parameterschätzer
Abhängige Variable: Y
95% Konfidenzintervall
B
-53,502
SE
12,740
T
-4,200
Sign.
,001
Untergr.
-80,381
Obergr.
-26,623
NZP
4,200
Beob.
a
Schärfe
,977
33,369
7,682
4,343
,000
17,160
49,578
4,343
,983
,
,
,
,
,
,
,
,722
,106
6,807
,000
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
b. Dieser Parameter wird auf Null gesetzt, weil er redundant ist.
,498
,946
6,807
1,000
Parameter
Konstanter Term
[PRAEP=1]
[PRAEP=2]
X
0b
16
iv)
iv1)
Kovarianzanalyse - Überprüfung der Voraussetzungen (Linerarität, Parallelität)
Grafisch an Hand des Streudiagramms
Grafiken - Streudiagramm... (mit eingezeichneten Regressionsgraden)
100
80
60
40
20
0
Präparat
-20
Placebo
A
Y
-40
40
60
80
100
120
140
160
180
X
iv2)
Überprüfung der Parallelität im Rahmen von „Allgemeines lineares Modell – Univariat ...“
(Prüfung auf signifikante Wechselwirkung Faktor*Kovariable)
Levene-Test auf Gleichheit der Fehlervarianzen
a
Abhängige Variable: Y
F
df1
,774
df2
1
18
Signifikanz
,391
Prüft die Nullhypothese, daß die Fehlervarianz der abhängigen
Variablen über Gruppen hinweg gleich ist.
a. Design: Intercept+PRAEP+X+PRAEP * X
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable: Y
Quelle
Korrigiertes
Modell
Quadratsumme
vom Typ III
b
F
Sign.
NZP
Beoh.
a
Schärfe
3
4418,499
16,458
,000
49,375
1,000
3008,128
1
3008,128
11,205
,004
11,205
,881
214,789
1
214,789
,800
,384
,800
,134
11921,586
1
11921,586
44,406
,000
44,406
1,000
109,116
1
109,116
,406
,533
,406
,092
4295,453
16
268,466
Gesamt
40063,000
20
Korrigierte
Gesamtvariation
17550,950
19
Konstanter Term
PRAEP
X
PRAEP * X
Fehler
13255,497
Mittel der
Quadrate
df
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
b. R-Quadrat = ,755 (korrigiertes R-Quadrat = ,709)
Ergebnis: Wechselwirkung Faktor*Kovariable ns (vgl. auch Problem 1.3)
Problem 1.7: Abhängigkeitsanalysen - Zweifaktorielle Versuche
Im Zusammenhang mit einer Untersuchung des Wasserhaushaltes einer Pflanze wurde unter verschiedenen
Nährstoff- und Lichtbedingungen die mittlere Spaltöffnungsfläche (Zielvariable Y) auf bestimmten Blättern
gemessen. Die Nährstoffgaben bestanden in einer als Kontrolle verwendeten "Volllösung" sowie zwei weiteren
Lösungen mit einem Mangel bzw. Überschuss an Kalium (im Vergleich zur Kontrolle). Die unterschiedlichen
Lichtbedingungen simulierten eine "Langtag-Situation" (16 Stunden Helligkeit und 8 Stunden Dunkelheit) und eine
"Kurztag-Situation" (8 Stunden Helligkeit und 16 Stunden Dunkelheit). Das in der folgenden Tabelle
zusammengestellte Datenmaterial stellt eine Kreuzklassifikation der "durchschnittlichen Spaltöffnungsfläche"
nach den betrachteten Faktoren dar. Zu jeder Kombination einer Nährstoff- und Licht-Faktorstufe sind fünf
Messwerte des Untersuchungsmerkmals angeschrieben, die von fünf verschiedenen, unter der jeweiligen
Bedingung kultivierten Pflanzen stammen. Es soll untersucht werden, ob die Haupteffekte (Licht, Nährstoff)
signifikant sind und ob es eine signifikante Faktorwechselwirkung gibt (Testniveau = 5%).
17
Faktor B (Licht)
1 (Langtag)
2 (Kurztag)
Faktor A (Nährstoff)
1/Kontrolle
2/K-Mangel
13.8
57.7
25.3
42.2
17.4
26.8
17.7
29.1
39.8
23.9
27.7
41.8
19.5
49.5
33.2
46.7
41.3
30.8
37.6
28.6
i) Datenorganisation
nährstoff
licht
1
1
...
1
1
1
2
...
1
2
2
1
usw.
3/K-Übersch.
29.9
30.8
36.7
24.8
17.3
34.0
33.1
15.7
23.3
19.6
y
13.8
39.8
27.7
37.6
57.7
ii) Test auf signifikante Haupt- und Wechselwirkungseffekte
Analysieren - Allgemeines lineares Modell – Univariat ...
Deskriptive Statistiken
Abhängige Variable: Y
A_NAEHR
1
B_LICHT
1
2
3
Gesamt
Mittelwert
22,8000
Standardabweichung
10,3853
2
31,8600
8,5722
5
Gesamt
27,3300
10,1684
10
1
35,9400
14,0354
5
2
39,4800
9,3759
5
Gesamt
37,7100
11,4063
10
1
27,9000
7,2770
5
2
25,1400
8,1402
5
Gesamt
26,5200
7,4231
10
1
28,8800
11,5575
15
2
32,1600
10,0902
15
Gesamt
30,5200
10,7897
30
Levene-Test auf Gleichheit der Fehlervarianzen
a
Abhängige Variable: Y
F
df1
,913
df2
5
24
Signifikanz
,489
Prüft die Nullhypothese, daß die Fehlervarianz der abhängigen
Variablen über Gruppen hinweg gleich ist.
a. Design: Intercept+A_NAEHR+B_LICHT+A_NAEHR * B_LICHT
N
5
18
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable: Y
Quadratsumm
e vom Typ III
Quelle
Korrigiertes
Modell
1034,304
Konstanter
Term
A_NAEHR
Fehler
Gesamt
Korrigierte
Gesamtvariation
b
F
Sign.
Beob.
a
Schärfe
NZP
5
206,861
2,120
,098
10,600
,594
27944,112
1
27944,112
286,383
,000
286,383
1,000
778,722
2
389,361
3,990
,032
7,981
,658
80,688
1
80,688
,827
,372
,827
,141
174,894
2
87,447
,896
,421
1,792
,186
97,576
B_LICHT
A_NAEHR *
B_LICHT
Mittel der
Quadrate
df
2341,824
24
31320,240
30
3376,128
29
a. Unter Verwendung von Alpha = ,05 berechnet
b. R-Quadrat = ,306 (korrigiertes R-Quadrat = ,162)
Mehrfachvergleiche
Abhängige Variable: Y
Scheffé
(I) A_NAEHR
(J)
A_NAEHR
1
2
Mittlere
Differenz
(I-J)
-10,3800
3
,8100
4,418
,983
-10,7145
12,3345
1
10,3800
4,418
,083
-1,1445
21,9045
3
11,1900
4,418
,058
-,3345
22,7145
1
-,8100
4,418
,983
-12,3345
10,7145
2
-11,1900
4,418
,058
-22,7145
,3345
2
3
Dunnett-T
a
(2-seitig)
95% Konfidenzintervall
SE
4,418
Sign.
,083
Untergr.
-21,9045
Obergr.
1,1445
2
1
10,3800*
4,418
,050
1,126E-03
20,7589
3
1
-,8100
4,418
,976
-11,1889
9,5689
Basiert auf beobachteten Mittelwerten.
*. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe ,05 signifikant.
a. In Dunnett-T-Tests wird eine Gruppe als Kontrollgruppe behandelt, mit der alle anderen Gruppen verglichen
werden.
Profildiagramm
50
Geschätztes Randmittel
40
30
B_LICHT
1
20
2
1
2
A_NAEHR
Ergebnis: Nährstofffaktor sign.; Lichtfaktor, Faktorwechselwirkung ns.
3