Quantenmechanik I

Quantenmechanik I
Übungsblatt
3:
Ehrenfest Theorem und gebundene Zustände
JProf. J. Sirker
Fällig: Montag
9.
Mai, 13:00 Uhr
1. Das Ehrenfest Theorem und der klassische Limes (7 Punkte)
In der Vorlesung haben Sie das Ehrenfest Theorem, Gleichung (I.E.12),
dhpi
= −h∇V (r)i
dt
(1)
kennengelernt. Diese Gleichung weicht von der klassischen Bewegungsgleichung
dhpi
= −∇V (r) |r=hri
dt
ab, da i. A.
h∇V (r)i =
6 ∇V (r) |r=hri
(2)
ist.
Wir wollen im folgenden die Gültigkeit der klassischen Approximation
(2) untersuchen und die Gröÿe der Quantenkorrekturen abschätzen. Wir
beschränken uns auf eine Dimension, in der sich Gleichung (1) zu
dhpi
=−
dt
∂V
∂x
(3)
vereinfacht. Schätzen Sie die Quantenkorrekturen ab, indem Sie
− ∂V
∂x
in eine Taylorreihe um
x = hxi
f (x) =
entwickeln. In welchem Fall wird die
klassische Approximation (2) - ebenfalls beschränkt auf eine Dimension für den Mittelwert exakt?
2. Dreidimensionales Problem (7 Punkte)
V (r), das sich als Summe
r = (x1 , x2 , x3 ) schreiben lässt:
Betrachen Sie ein Potential
des Ortsvektors
dreier Funktionen
V (r) = V1 (x1 ) + V2 (x2 ) + V3 (x3 )
(4)
a) Zeigen Sie, daÿ die dreidimensionale stationäre Schrödingergleichung
2
∂2
∂2
~2
∂
−
+ 2 + 2 + V (r) Ψ(r) = EΨ(r)
2m ∂x21
∂x2
∂x3
1
(5)
durch den Produktansatz
wenn die
ψi
Ψ(r) = ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )ψ3 (x3 )
gelöst wird,
die eindimensionale Schrödingergleichung
−
~2 00
ψ (xi ) = [Ei − V (xi )]ψi (xi )
2m i
(6)
erfüllen und für den Eigenwert gilt:
E = E1 + E2 + E3 .
(7)
b) Ein Teilchen bewege sich nun in einem dreidimensionalen Kasten
(
0 , 0 ≤ xi ≤ Li
V (xi ) =
.
∞ , sonst
(8)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Lösung des eindimensionalen Kastens
aus der Vorlesung und dem vorherigen Aufgabenteil die Eigenfunktionen und Energieeigenwerte von (5).
Hinweis: die Lösung hängt von drei Quantenzahlen n1 , n2 , n3 ; ni =
(
1, 2, 3, · · ·
ab).
c) Bestimmen sie die Entartung der Zustände mit der Gesamtquantenzahl
n2 =
P3
i=1
n2i = 3
und
n2 = 6.
3. Gebundene Zustände in einer Dimension (16 Punkte)
m in einer Dimension unter dem
V = V (x) ≤ 0, das für x → ±∞ ver-
Wir betrachten ein Teilchen der Masse
Einuÿ eines anziehenden Potentials
schwindet (allgemeiner Potentialtopf ). Die Schrödingergleichung (SG)
für stationäre Zustände lautet
~2 d 2
−
+ V (x) ψ = Eψ .
2m dx2
(9)
Wir interessieren uns für gebundene Zustände bei negativer Energie
a) Begründe, daÿ die Wellenfunktion
ψ(x)
E.
reell gewählt werden kann.
Diskutiere anhand der SG die Lage der Wendepunkte von
ψ(x),
so-
wie das unterschiedliche Krümmungsverhalten im klassisch erlaubten
bzw. verbotenen Bereich
>
E<
V (x).
b) Zeige, daÿ gebundene Zustände in einer Dimension nicht entartet
sind.
ψ1,2 (x) der
E1 und E2 gebildete Wronski-Determinante
W (x) := ψ10 (x)ψ2 (x)−ψ1 (x)ψ20 (x). Zeige, daÿ für zwei gebundene Zu-
Hinweis: Betrachte die aus zwei angenommenen Lösungen
SG zu den Eigenwerten
stände gleicher Energie die Wronski-Determinante verschwindet und
sich deshalb beide Wellenfunktionen bis auf einen Faktor gleichen.
c) Die Energieeigenwerte für die gebunden Zustände in einem eindimensionalen Potential seien in aufsteigender Reihenfolge numeriert:
E0 < E1 < E2 < .... Zeige, daÿ für die zugehörigen Wellenfunktionen
2
ψ0 (x), ψ1 (x), ... gilt: Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen a, b (mit a < b) von ψn (x) liegt (mindestens) eine Nullstelle von
ψn+1 (x).
ψn (x) und ψn+1 (x) gebildeten
0
W = ψn ψn+1
− ψn0 ψn+1 den Ausdruck
Hinweis: Betrachten Sie mit der aus
Wronski-Determinante
b
W (b) − W (a) = −ψn0 ψn+1 a =
Z
b
dx W 0 (x)
(10)
a
2m
= − 2 (En+1 − En )
~
Z
b
dx ψn ψn+1
a
d) Betrachten Sie als Beispiel den speziellen Potentialtopf
(
−V0
V (x) =
0
für
| x |≤
sonst
a
2
,
(11)
dessen Streuzustände bereits in der Vorlesung diskutiert wurden. Set-
ψ(x) ∝ sin(Kx) + cos(Kx) für den
a
bzw. ψ(x) ∝ exp(−k|x|) für den Auÿenraum
2
|x| > a2 an. Aus den Anschluÿbedingungen bei ± a2 folgt ein Gleichungssystem zur Bestimmung von K und k , woraus sich die Eigenzen Sie zur analytischen Lösung
Innenraum
werte
E
|x| <
der gebundenen Zustände ergeben. Die Gleichungen sind
zwar nicht explizit auösbar, können aber graphisch oder numerisch
leicht gelöst werden. Zweckmäÿigerweise benutzt man die Abkürzungen
X = 12 aK
und
Y = 21 ak .
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