Thermodynamik und Statistik

Thermodynamik und Statistik
Wintersemester 2013/14
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. M. Vojta
Dr. R. Schumann
4. Übung
Woche vom 11.11. bis 17.11.2013
Aufgabe 10 Verteilung von Klausurergebnissen
Die Klausur Thermodynamik-Statistik wurde im WS 2012/2013 von 62 Studenten mitgeschrieben. Man konnte in sechs Aufgaben 75 Punkte erreichen. 60 Punkte galten als 100 %. Die
erreichten Punktzahlen waren:
Punkte 0 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21
Arbeiten 1 2 1 3 1 3 2 4 2 1 2 3 2 6 3 1
Punkte 22 23 24 26 27 28 30 31 32 34 35 36 37 38 53
Arbeiten 1 4 2 5 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1
a) Bestimmen Sie das erste und zweite Moment und daraus den Mittelwert und die Standardabweichung der erreichten Punktzahl!
b) Finden Sie die kontinuierliche Gauÿverteilung
(x−x̄)2
1
ρ(x) = √
e− 2σ2
2πσ
mit demselben ersten und zweiten Moment! Ist diese Verteilung der beste Fit an die diskrete
Verteilung? Begründen Sie Ihre Antwort!
c) Nehmen wir nun an, daÿ die oben gefundene Gauÿverteilung in etwa auch die zu erwartende Punkteverteilung der kommenden Klausuren wiedergibt. Wie groÿ ist die zu erwartende
Anzahl der Studenten, die sowohl die erste Prüfung als auch die Wiederholungsprüfung
nicht bestehen, wenn Sie annehmen, daÿ jeweils mindestens 20 von 60 Punkten zum Bestehen nötig sind? Ist die zugrunde liegende Annahme realistisch?
Aufgabe 11 Laplacesche Methode und Stirlingsche Formel
(a) Die Laplacesche Methode dient zu genäherten Berechnung von Integralen der Form
Z
I(λ) =
∞
dxeλf (x) .
0
Dabei ist λ À 1 und die Funktion f (x) soll mindestens zweimal dierenzierbar sein und
an der Stelle x0 genau ein globales Maximum haben. Leiten Sie eine Näherungsformel her,
indem Sie die Funktion f (x) um die Extremstelle bis zur zweiten Ordnung entwickeln.
(b) Leiten Sie eine Näherung für N ! her, indem Sie die in ln N ! enthaltene Summe durch ein
Integral ersetzen.
(c) Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgende Integraldarstellung der Fakultät
Z
N! =
∞
tN e−t dt
0
(d) Leiten Sie mit Hilfe der unter (a) abgeleiteten Näherung die für groÿe N gültige Stirlingsche
Formel
√
2πN e−N N N (1 + O(1/N ))
1
ln N ! = N ln N − N + ln(2πN ) + O(1/N )
2
N! =
ab.
(1)
Aufgabe 12 Wahrscheinlichkeiten und Entropie:
(a) Berechnen Sie die Entropie (S = −k
P
w ln w) für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von
Ereignissen zusammengesetzten Charakters, die nicht statistisch unabhängig sind, (z.B. 2
Merkmale: Farbe (µ), Gewicht (ν ) von Kugeln), d.h. für die gilt
wνµ = wµ/ν · wν
wνµ
wµ/ν
. . . Wahrscheinlichkeit für sowohl ν als auch µ
. . . bedingte Wahrscheinlichkeit für µ, wenn ν mit Sicherheit vorliegt
. . . (unbedingte) Wahrscheinlichkeit für ν
P
P
(Hinweis: Es gilt µ wµ/ν = 1; µ wνµ = wν .) Betrachten Sie anschlieÿend den Spezialfall
der statistischen Unabhängigkeit.
wν
(b) Zeigen Sie, daÿ die Entropie maximal wird, wenn für i = 1,. . . ,Γ Gleichverteilung angenommen wird, d.h. wi = 1/Γ, und daÿ dann gilt: S = k ln Γ.
Aufgabe 13 Binomialverteilung und Poissonverteilung
Leiten Sie aus der Binomialverteilung
ρB
N (n) =
N!
pn (1 − p)N −n
n!(N − n)!
die Poissonverteilung
ρPN (n) =
(N p)n −N p
e
n!
für den Fall p ¿ 1 und n ¿ N her. (Hinweis: Entwickeln Sie ln(1 − p) für kleine p. Zeigen Sie
!
≈ N n ).
damit (1 − p)N −n ≈ e−N p ; analog für n ¿ N , (NN−n)!
2