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A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. G. Leugering
E. Kropat
T. Materne
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
30.10.2002
1. Übung zur Mathematik I für ET, WI-ET und SportInf
WS 2002/03
Reelle Zahlen, Körperaxiome.
Gruppenübungen
(G 1) Umwandlung von Dezimalbrüchen.
(a) Wandeln Sie die periodischen Dezimalbrüche 0.7384 und 47.8245 in Brüche um.
(b) Bestimmen Sie die Dezimalbruchdarstellungen der rationalen Zahlen 136 und
7
und stellen Sie jeweils fest, ob es sich um einen abbrechenden oder einen
125
periodischen Dezimalbruch handelt.
(c) Untersuchen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichung:
0.461538 +
289
= 4.16.
78
(G 2) Summen und Produkte.
Bestimmen Sie die Werte der folgenden Summen und Produkte:
(i)
5
X
(i + 1)
(ii)
i=0
(iii)
2 Y
3
X
(k 2 − 1)
m=1 k=m
(G 3) Maximum und Minimum.
(iv)
3 X
2
X
m=1 k=0
4 X
k
Y
(km − 2k)
(k − i)2 .
k=1 i=3
In der Vorlesung wurde das Inmum und das Supremum einer Menge M ⊂ R als
gröÿte untere Schranke bzw. kleinste obere Schranke von M erklärt, welche nicht
notwendigerweise existeren müssen und gegebenenfalls auch nicht unbedingt der
Menge M angehören. Sollte das Inmum inf M selbst ein Element von M bilden,
so wird dieses als Minimum von M [in Zeichen: min M ] bezeichnet. Analog wird
das Supremum sup M das Maximum von M [in Zeichen: max M ] genannt, falls
sup M ∈ M gilt.
Bestimmen Sie nun, sofern existent, Inmum und Supremum sowie Maximum und
Minimum der folgenden Mengen und entscheiden Sie, ob diese beschränkt sind:
(a) A = x ∈ R − 2 < x ≤ 1
(b) B = x ∈ R x2 ≤ 2
(c) C = x ∈ R x ∈ Q und x2 ≤ 2 ∪ x ∈ R x < 0
(d) D = 1 + (−1)n · n1 n ∈ N .
(G 4) Ein zweielementiger Körper.
Gegeben sei die Menge {0, 1} und die beiden Verknüpfungen
XOR : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1} und AND : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1},
welche durch die folgenden Zuordungstabellen erklärt sind:
XOR
0
1
0
0
1
1
1
0
AND
0
1
0
0
0
1
0
1
Zeigen Sie, daÿ die Menge {0, 1} zusammen mit den Verknüpfungen XOR als Addition und AND als Multiplikation einen Körper bildet. Beachten Sie hierzu die
Bemerkungen zum Körperbegri am Ende des Aufgabenteils.
Hausübungen
(H 1) Stellenwertsysteme.
Ein System zur Darstellung von Zahlen durch Ziern, bei denen der Wert einer Zier
von ihrer Stelle innerhalb der Zahl abhängt, wird als ein Stellenwertsystem bezeichnet. Wir verwenden das Dezimalsystem (Zehnersystem), in dem eine natürliche
Zahl n mit der Dezimaldarstellung
n = ap · 10p + ap−1 · 10p−1 + . . . + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 ,
ap 6= 0,
wobei ai ∈ {0, 1, . . . , 9} für i = 0, . . . , p und p ∈ N0 , durch die Dezimalzahl
n = ap ap−1 . . . a1 a0
beschrieben wird. Allgemein läÿt sich eine Zahl im Stellenwertsystem zu einer
Basis b ∈ N (im b-System) in der Form
(ap ap−1 . . . a1 a0 )b := ap · bp + ap−1 · bp−1 + . . . + a2 · b2 + a1 · b + a0 ,
angeben, wobei ai ∈ {0, 1, . . . , b − 1} für i = 0, . . . , p und p ∈ N0 .
ap 6= 0
(a) Stellen Sie die Dezimalzahl 117 [= (117)10 ] im 2-System ( Binärsystem ) und die
Dezimalzahl 247384 [= (247384)10 ] im 60-System ( Sexagesimalsystem ) sowie im
20-System (dem Zahlensystem der Gallier) dar.
(b) Wandeln Sie die Binärzahl (1 0 1 1 1 0 1)2 und die Zahl (4 3 5 6)7 in eine Dezimalzahl um.
(H 2) Summen und Produkte.
(a) Bestimmen Sie die Werte der folgenden Ausdrücke:
(i)
(ii)
5
X
n=1
3
X
(n + 1)
n−1
Y
m
m=1
ai
1
ai = (−1) · i −
2
mit
i
i=0
1
· i+
2
für i = 0, 1, 2, 3.
(b) Zeigen Sie, daÿ
n
X
k (k − 1) · ak =
k=0
n−2
X
(k + 1)(k + 2) · ak+2
k=0
für alle reelle Zahlen ak gilt.
(H 3) Maximum und Minimum
Es seien a und b zwei beliebige reelle Zahlen. Zeigen Sie
(i)
(ii)
1
max{a, b} = (a + b) +
2
1
min {a, b} = (a + b) −
2
1
|a − b| ,
2
1
|a − b|
2
Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle a ≥ b und a < b.
(H 4) Körperaxiome.
(a) Zeigen Sie, daÿ die Gleichung
a · x = b,
x∈R
mit a, b ∈ R, a 6= 0, genau eine Lösung besitzt, nämlich x = b · a−1 .
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Körperaxiome die Gültigkeit der folgenden
Aussagen:
(i) Für jede reelle Zahl x gilt −(−x) = x.
(ii) Für alle reellen Zahlen x, y mit x, y 6= 0 gilt (x · y)−1 = x−1 · y −1 .
Anmerkungen zum Körperbegri: In der Vorlesung wurde der Körper der reel-
len Zahlen eingeführt, der sich aus der Menge R und der auf dieser Menge erklärten
Addition "+" sowie der Multiplikation " ·" zusammensetzt, wobei die sogenannten
Körperaxiome erfüllt sind. Neben dem Körper der reellen Zahlen bilden der zweielementige Körper (vgl. Aufgabe (G4)) und der Körper der komplexen Zahlen weitere
wichtige Beispiele der folgenden algebraischen Struktur:
Ein Körper ist ein Tripel (K, +, ·), bestehend aus eine Menge K und zwei Verknüpfungen
+ :K × K → K
und
(a, b) 7→ a + b
· :K × K → K
(a, b) 7→ a · b
auf K , welche als Addition und als Multiplikation bezeichnet werden, das die Axio-
me der Addition
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
Für alle a, b ∈ K gilt: a + b = b + a.
Für alle a, b, c ∈ K gilt: a + (b + c) = (a + b) + c.
Es existiert ein Element 0 ∈ K , so daÿ a + 0 = a für alle a ∈ K .
Für alle a ∈ K existiert ein Element (−a) ∈ K , so daÿ a + (−a) = 0.
und die Axiome der Multiplikation
(A5)
(A6)
(A7)
(A8)
Für alle a, b ∈ K gilt: a · b = b · a.
Für alle a, b, c ∈ K gilt: a · (b · c) = (a · b) · c.
Es existiert ein Element 1 ∈ K mit 1 6= 0, so daÿ a · 1 = a für alle a ∈ K .
Für alle a ∈ K mit a 6= 0 existiert ein Element a−1 ∈ K , so daÿ a · a−1 = 1.
sowie das Distributivgesetz
(A9) Für alle a, b, c ∈ K gilt: a · (b + c) = a · b + a · c.
erfüllt.