Quantenstatistik und EPR-Paradoxon

Quantenstatistik und EPR-Paradoxon
Ziele
• Wiederholen grundlegender Elemente klassischer Wahrscheinlichkeitstheorie
• Vergleich mit den Formeln der Quantenstatistik
• Nachvollziehen der Argumente von J.S. Bell zum EPR -Paradoxon
Vorgehen
1. Gebt eine kurze Zusammenfassung der elemtaren Bestandteile der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Da es hier nicht um mathematische
Detailfragen gehen soll, reicht die Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Rn (bitte keine Maÿtheorie!).
2. Begründet die Einführung einer Dichtematrix und erläutert ihre Verwendung.
3. Beweist, dass es in der QM keine streuungsfreien Zustände geben kann.
4. Schreibt explizit die Verteilungsfunktion für einen klassischen streuungsfreien Zustand auf dem Phasenraum auf.
5. Überlegt euch, für welche Mengen von Operatoren jeweils "klassisch",
also unter Verwendung einer rellwertigen, positiven Wahrscheinlichkeitsverteilung, gerechnet werden kann.
6. Erklärt, wie der Hilbertraum zweier zusammengesetzter Systeme H1 , H2
aussieht und wie eine Messung auf diesem generell beschrieben werden
kann.
7. Ein Stern-Gerlach-Versuch kann mit Hilfe der Pauli-Matrizen auf dem
−
Spinhilbertraum C2 beschrieben werden. Dabei repräsentiert für →
n
→
→
→
∈ R3 mit ||−
n || = 1 der Operator −
n−
σ := n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 eine
→
Messung der −
n -Richtung des Spins.
−
→−
−
→
In einem Experiment werde nun die Observable (→
α−
σ ⊗ Id)(Id ⊗ β →
σ)
1
√
im Singulettzustand |00i = 2 (| ↑i| ↓i − | ↓i| ↑i) gemessen. Nehmt an,
1
daÿ jegliche Wechselwirkung maximal mit Lichtgeschwindigkeit stattnden kann. Zeigt, daÿ die Annahme einer der QM zugrunde liegenden
klassischen Statistik (verborgene Variablen-Theorie) unter dieser Annahme zu Widersprüchen führt. Verwendet dabei die Argumente von
J.S. Bell zu diesem Thema.
Anmerkung: Verzichtet in dem Beweis aus Gründen der Übersichtlichkeit auf die von Bell verwendeten
gemittelten Gröÿen und damit auch auf die Gröÿe δ .
Literatur
H.-P. Breuer und F. Petruccione, The theory of open quantum systems, Oxford University Press
J.S. Bell, Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge University Press
H. Risken, The Focker-Planck Equation, Springer
F. Schwabl, Quantenmechanik, Springer
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