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1. Hilberträume
Literatur:
- H. Triebel : Höhere Analysis
- O. Bratteli, D. W. Robinson: Operator Algebras and Quantum
Statistical Mechanics1
1.1. Definition (linearer Raum)
Eine nichtleere Menge H heißt linearer Raum, wenn folgende Axiome
erfüllt sind:
1.1.1. In H ist eine Operation + erklärt, sodaß H bezüglich dieser
Operation eine abelsche Gruppe ist, d.h., wir haben:
- Kommutativität:
x+ y = y+x
( x, y ∈ H )
( x + y ) + z = x + ( y + z ) ( x, y , z ∈ H )
- neutrales Element O ∈ H (Nullelement): O + x = x ( x ∈ H )
- inverse Elemente ( − x ) ∈ H : x + ( − x ) = O ( x ∈ H )
(Schreibweise: x − y := x + ( − y ) ( x, y ∈ H ) )
- Assoziativität:
1.1.2. Zwischen komplexen Zahlen α ∈ C und x ∈ H ist eine
Multiplikation αx ∈ H erklärt, sodaß für α , β ∈ C , x, y ∈ H :
-
α ( βx) = (αβ ) x
α ( x + y ) = αx + αy
(α + β ) x = αx + βy
1x = x
Bemerkung: Ersetzt man in obiger Definition den Körper der
komplexen Zahlen C durch den Körper der reellen Zahlen R, so redet
man von einem reellen linearen Raum.
Wir betrachten nur komplexe lineare Räume im Sinne obiger
Definition.
1
1.2. Definition (Skalarprodukt) Sei H ein linearer Raum.
Eine Abbildung x, y ⇒ x y vom direkten Produkt
[
]
H × H = {[x, y ] x, y ∈ H } in C heißt Skalarprodukt in H, wenn
für α , β ∈ C ; x, y , z ∈ H gelten:
- x αy + βz = α x y + β x z
-
x y = y x
x x > 0 ( x ≠ 0)
Bemerkung: Unser Skalarprodukt x y ist linear in y (2. Variable)
und antilinear in x (1. Variable). Das entspricht dem in der PhysikLiteratur meistens verwendeten Ansatz. In der mathematischen
Literatur wird häufig Linearität in der 1. Variablen und Antilinearität
in der 2. Variablen gefordert (siehe z.B. Triebel)
1.3. Definition (Norm)
Sei H ein linearer Raum. Eine Abbildung
Norm auf H, wenn gelten:
- x >0
( x ≠ 0)
x+ y ≤ x + y
- αx = α x
-
x⇒ x
von H in R heißt
( x, y ∈ H )
(α ∈ C ; x ∈ H )
In diesem Fall heißt H normierter (linearer) Raum.
1.4. Bemerkung: Es gilt
0 = 0.
1.5. Satz : Ist H ein linearer Raum mit Skalarprodukt
durch
x :=
x x
x y
, so ist
(x ∈ H )
eine Norm auf H definiert.
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Den Beweis von 1.5. führt man mit Hilfe der folgenden
1.6. Schwarzsche Ungleichung (siehe z.B. Triebel):
Sei H ein linearer Raum mit Skalarprodukt und sei x entsprechend
1.5. definiert. Dann gilt:
x y ≤ x y
( x, y ∈ H )
Dabei gilt genau dann
x y = x y
mit y = αx
Beweis von 1.6.:
, wenn ein α ∈ C existiert
Beweis von 1.5.:
1.7. Definition: Sei H ein linearer Raum mit Skalarprodukt. H heißt
Hilbertraum, wenn H bezüglich der durch 1.5. definierten Norm
( xn ) ∞n =1 aus H mit
= 0 existiert ein x ∈ H mit
vollständig ist, d.h., für jede Folge
lim sup xn − xm + n
n →∞ m
lim x − xn = 0 .
n→∞
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Beispiele:
{[
]
1. Der Raum C := x1 ,..., x n x1 ,..., x n ∈ C
- ist linearer Raum bezüglich der Operationen:
n
-
}
[x1 ,..., xn ] + [ y1 ,..., yn ] := [x1 + y1 ,..., xn + yn ]
α [x1 ,..., xn ] = [αx1 ,...,αxn ]
n
Skalarprodukt: [x1 ,..., x n ] [ y1 ,..., y n ] := ∑ x k y k
k =1
- Bezüglich entsprechender Norm (1.5.) vollständig, d.h.,
Hilbertraum.
∞

2
∞
2. Der Raum l 2 := ( xk )k =1 x k ∈ C (k = 1,2,..); ∑ x k 
k =1


(Raum der quadratisch summierbaren Folgen komplexer Zahlen)
- Operationen formal wie bei Beispiel 1.
- Skalarprodukt:
∞
( ) ( ) := ∑ xk yk
xk 1∞
y k 1∞
k =1
- Bezüglich entsprechender Norm (1.5.) vollständig, d.h.,
Hilbertraum.
3. Der Funktionenraum im Fall
Ω
abzählbar (inklusive endlich)
2


L2 (Ω) :=  f : Ω → C / ∑ f (ω ) < ∞ 


ω ∈Ω
- Operationen wie bei Funktionen üblich, d.h.,
-
( f + g )(ω ) = f (ω ) + g (ω )
(αf )(ω ) = αf (ω )
Skalarprodukt: f g := ∑ f (ω )g (ω )
ω ∈Ω
- Bezüglich entsprechender Norm (1.5.) vollständig, d.h.,
Hilbertraum.
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4. Der L2 ( R )
Wir betrachten zunächst
+∞


2
C 2 ( R ) :=  f : R → C / f − stetig , ∫ f ( x) dx < ∞ 


−∞
- Operationen wie bei Funktionen üblich, d.h.,
( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)
(αf )( x) = αf ( x)
+∞
- Skalarprodukt:
f g := ∫ f ( x)g ( x)dx
−∞
- Bezüglich entsprechender Norm (1.5.) nicht vollständig, d.h., kein
Hilbertraum.
- Wir erhalten den Hilbertraum L2 ( R ) durch Vervollständigung
des Raumes
C 2 ( R ).
Bemerkung: Analog erhält man den Fall der physikalisch wichtigen
L2 ( R 3 ) und L2 ( R 4 ) oder des allgemeineren Falles
L2 ( R d )
Räume
Hinweis auf weitere Verallgemeinerung: L2 (Ω, F , µ ) , wobei
- Ω eine nichtleere Menge, F eine σ -Algebra und µ ein Maß ist.
-
L2 (Ω, F , µ ) ist dann der Raum der bezgl. µ
integrierbaren Funktionen f : Ω → C .
quadratisch
1.8. Bemerkung: Formal sind als Elemente von L2 (Ω, F , µ )
Äquivalenzklassen µ -fastüberall gleicher Funktionen zu betrachten
Ω = R d , F = σ -Algebra der Borelmengen und des
d
Lebesgueschen Maßes µ erhält man als Spezialfall den L 2 ( R ) .
Im Fall
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Ω, der Potenzmenge F von Ω und
des Zählmaßes erhält man als Spezialfall den Raum L2 (Ω) aus
Im Fall einer abzählbaren Menge
Beispiel 3..
Postulat 1:
Die allgemeine Struktur jedes (elementaren) Quantensystems ist
durch einen separablen Hilbertraum beschreibbar.
1.9. Bemerkung: Separabel bedeuted, daß eine abzählbare Menge
dicht liegt.
Die unter 1. – 4. betrachteten Beispiele von Hilberträumen sind alle
separabel.
Beispiele
1. Ein d-dimensionales Teilchen :
2. Ein 2-Niveau-Atom:
3. Ein q-bit :
L2 ( R d )
L2 ({1,2}) oder C 2
L2 ({0,1}) oder C 2
4. Eine Folge von n q-bits :
L2 ({0,1} ) oder C
n
2n
Weitere Beispiele im Verlauf der Vorlesung
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