2. ¨Ubung aus Höherer Quantentheorie A Linz, Theoretische Physik

2. Übung aus Höherer Quantentheorie A
WS 2011
4.
(a)
Linz, Theoretische Physik
Übungstermin: 18.10.2011
Zeige durch vollständige Induktion
+ nk
+ nk −m
nk
m +
a+
= m(a+
+ (a+
k ak (ak )
k)
k ) ak ak (ak )
(b)
(c)
für alle m ≤ nk , wobei a+
k und ak die bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
sind. Zeige damit, dass
Y 1
nk
√ (a+
|n1 , n2 , . . . i ≡
k ) |0i
n
!
k
k
P
+
normiert
und
ein
Eigenzustand
des
Hamiltonoperators
Ĥ
=
k h̄ωk ak ak ist, mit Eigenenergie
P
k h̄ωk nk . (|0i ist der Vakuumzustand.)
Zeige, dass der Schrödinger-Feldoperator ψ(r, t) die zeitabhängige Schrödingergleichung erfüllt.
Q
Von 2. Quantisierung zurück zu Wellenfunktionen: |r1 , . . . , rn ; ti ≡ √1n! i ψ + (ri , t)|0i ist ein
Zustand von n Teilchen, die am jeweiligen Ort xi lokalisiert sind. Wir definieren eine Funktion
φ(r1 , . . . , rn , t) ≡ hr1 , . . . , rn ; t|n1 , n2 , . . . i
P
wobei
nk = n ist und |n1 , n2 , . . . i in (a) definiert wurde. Zeige mithilfe von (b) dass
φ(r1 , . . . , hrn , t) die Schrödingergleichung
in “1. Quantisierung” für n Teilchen mit Hamilton
i
P
h̄
2
H = i − 2m ∇i + V (ri ) erfüllt und φ(r1 , . . . , rn , t) somit die Wellenfunktion des (nichtwechselwirkenden) n-Teilchensystems ist.
(d)
5.
Gib explizit die 2-Teilchen Wellenfunktionen φ(r1 , r2 , t) für die beiden Zustände |1, 1, 0, . . . i
(d.h. ein Teilchen in P
k = 1 und eines in k = 2) und |2, 0 . . . i (d.h. beide Teilchen in k = 1) an.
(Verwende ψ(r, t) = k uk (r)ak (t).)
Klein-Gordon Gleichung für Bosonen mit Spin 0:
Für ein reelles Feld φ(r, t) ist folgende Lagrangedichte gegeben:
1
1
1
L = φ̇2 − (∇φ)2 − m2 φ2
2
2
2
φ(r, t) ist definiert auf einem Volumen V , mit periodischen Randbedingungen.
(a)
Wh. aus Vorlesung: Zeige, dass die Euler-Lagrange Gleichung die Klein-Gordon Gleichung ist
und bestimme das konjugierte Feld π(r, t) sowie die Hamiltondichte. Die Felder φ und π werden
dann durch die üblichen Kommutatorrelationen ([φ(r, t), π(r′ , t)] = iδ(r − r′ ), etc) quantisiert.
Bestimme φ̇ und π̇ aus den Kommutatoren mit [H, φ] und [H, π]. Erfüllt φ die Klein-Gordon
Gleichung? Wegen φ ∈ R fürs klassische Feld gelte φ = φ+ für den Feldopertor. Frage: sieht
die Quantisierungsvorschrift Lorentz-invariant aus?
(b)
Bestimme die ebene-Wellen Basis uk (r) und die zugehörigen Eigenwerte ωkPder Klein-Gordon
Gleichung. Wir entwickeln den Feldoperator φ in dieser Basis, φ(r, t) = k uk (r)ak (t). Bestimme die Zeitabhängigkeit von ak (t) und zeige damit:
X
uk (r)ak (t) + u∗k (r)a+
φ(r, t) =
k (t)
k
(c)
(Verwende dass φ hermitesch ist). Was ist die Interpretation von ak und a+
k ? Normiere uk (r)
+
′ ).
so, dass für den Kommutator zw. ak und a+
gilt:
[a
,
a
]
=
δ(r
−
r
k k
k
Zeige dass der Hamilton Operator gegeben ist durch
X 1
H=
ωk a +
a
+
k
k
2
k
umblättern
6.
Kohärente Zustände (Glauber, Nobelpreis 2005):
Den Limes klassischer elektromagnetischer Felder kann man nur mit vielen Photonen kriegen, z.b.
für Zustände |xi mit eine hohen Zahl von Photonen, hx|nk,σ |xi ≫ 1. In (a) und (b) betrachten wir
nur 1 Mode (k, σ) und kürzen ab n ≡ nk,σ .
+
(a)
Bestimme die Erwartungswerte hn|E|ni und hn| EE
8π |ni bezüglich eines Zustands |ni mit genau
n Photonen, wobei E der Feldoperator ist.
(b)
Normiere die in Bsp. 2.(b) eingeführten
kohärenten (Glauber) Zustände |φi. Bestimme hni =
p
hφ|n|φi und die Varianz ∆n = hφ|(n − hni)2 |φi. Bestimme die Erwartungswerte hφ|E|φi und
+
hφ| EE
8π |φi und vergleiche mit einem klassischen Feld Ecl (r, t).
(c)
Wie sieht die Verallgemeinerung |{φk,σ }i eines kohärenten Zustands mit beliebig vielen Moden
(k, σ) aus?