Hans Walser, [20090304a], [20131023] Winkeldefizite bei konvexen

Hans Walser, [20090304a], [20131023]
Winkeldefizite bei konvexen Polyedern
Anregung: [Heinrich 2009], J. P. und P. H.
1 Worum es geht
Die Summe der ebenen Winkel in einer konvexen Polyederecke ist kleiner als 360°. Zu
jeder Polyederecke gibt es also ein Winkeldefizit als Ergänzung auf 360°.
Die Summe dieser Winkeldefizite ist konstant, nämlich 720°. Die Gedankengänge
gehen auf René Descartes (1596-1650) zurück.
René Descartes (1596-1650). (Zeichnung B. S.)
Die Formel von Descartes ist äquivalent zur Polyederformel von Euler (1707-1783).
2 Das Winkeldefizit
Die Summe der ebenen Winkel in einer konvexen Polyederecke (das heißt die Summe
der Winkel, die zwischen den Kanten eine konvexen Ecke entstehen) ist kleiner als
360°.
2.1 Beispiele
Wir bezeichnen mit E die Anzahl der Ecken, mit K die Anzahl der Kanten und mit F die
Anzahl der Seitenflächen eines Polyeders.
Winkeldefizit Winkeldefizit
an einer Ecke total
Polyeder
E
ReguläresTetraeder
4
180°
720°
Würfel
8
90°
720°
Kuboktaeder
12
60°
720°
Das totale Winkeldefizit scheint eine Invariante zu sein.
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Ein weniger regelmäßiges Beispiel: Wir setzen einem Würfel eine Pyramide auf, deren
Seitenflächen gleichschenklige Dreieck mit 36° an der Spitze sind.
36° 36°
72°
90°
90°
72°
72° 72°
90°
90° 90°
90° 90°
90°
Würfel mit Pyramidendach
Das Polyeder hat vier Basisecken mit einem Winkeldefizit von je 90°, vier Ecken an der
Pyramidenbasis mit einem Winkeldefizit von je 36°° und die Spitze mit einem
Winkeldefizit von 216°. Das totale Winkeldefizit ist 4 ⋅ 90° + 4 ⋅ 36° + 216° = 720° .
3 Der Satz von Descartes
Das totale Winkeldefizit eines konvexen Polyeders ist 720° = 4π .
3.1 Beweis mit sphärischem Bild
Wir denken uns zum Polyeder die äußere „Parallelfläche“ im Abstand 1. Das ist die
Menge aller Punkte, welche im Außenraum des Polyeders liegen und von der
Oberfläche des Polyeders den Abstand 1 haben. Die Abbildung zeigt links den Würfel
und rechts seine Parallelfläche.
Würfel und Parallelfläche
Die folgende Abbildung zeigt allgemein eine Polyederecke und ihre Parallelfläche.
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α2
α3
α4
α2
α3
α1
ϕ3
ϕ4
α4
ϕ2
ϕ1
α1
Polyederecke und Parallelfläche
Die Parallelfläche besteht zunächst aus ebenen Flächenstücken, welche zu den
ursprünglichen Seitenflächen kongruent sind. Den ursprünglichen Seitenflächen sind
gerade Prismen der Höhe 1 aufgesetzt.
Über den ursprünglichen Kanten liegen Zylindersektoren. Solche Zylindersektoren kann
man sich als Spälten (Spaltholz) denken, welche beim Scheiten (Holzhacken) aus
Trämeln (Rundholz) entstehen.
Zylindersektor
Die ursprünglichen Kanten des Polyeders sind die Zylinderachsen, die Sektorwinkel
sind die Außenwinkel des jeweiligen Winkels zwischen den Flächen an der
betreffenden Kante. Die Abwicklungen der Mantelflächen dieser Zylindersektoren sind
Rechtecke.
Über den ursprünglichen Ecken ergeben sich sphärische Vielecke. Die Abbildung zeigt
ein sphärisches Viereck.
Sphärisches Vieleck
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Die Innenwinkel dieser sphärischen Vierecke sind die Ergänzungswinkel der
anstoßenden Seitenflächenwinkel auf π , da wir im selben Punkt noch zwei rechte
Winkel von den Zylindersektoren haben. Ein solches sphärisches Vieleck wird als
sphärisches Bild der betreffenden Polyederecke bezeichnet. Je „spitzer“ die Ecke, um so
größer das sphärische Bild.
Für den Flächeninhalt dieser sphärischen Vielecke verwenden wir die Formel:
n
ASphärisches Vieleck = ∑ ϕ i − ( n − 2 ) π
i=1
Dabei sind ϕ i die Innenwinkel des sphärischen Vieleckes und n die Eckenzahl. Ist α i
der anstoßende Winkel der ebenen Seitenfläche, so ist ϕ i = π − α i . Für den
Flächeninhalt des sphärischen Vieleckes erhalten wir:
n
n
i=1
i=1
ASphärisches Vieleck = ∑ ( π − α i ) − ( n − 2 ) π = 2π − ∑ α i
Das ist aber das Winkeldefizit an der betreffenden Ecke.
Nun können wir — und das ist das entscheidende Argument in der Beweisführung —
die sphärischen Vielecke aller Ecken passgenau zur Einheitskugel zusammenfügen.
Diese hat den die Gesamtoberfläche 4π . Somit ist das totale Winkeldefizit 4π .
3.2 Äquivalenz zur Polyederformel von Euler
An jeder Polyederecke ist das Winkeldefizit 2π minus die Summe der anstoßenden
Seitenflächenwinkel. Das totale Winkeldefizit ist somit 2πE minus die totale Summe
aller Seitenflächenwinkel. Diese totale Winkelsumme berechnen wir nun über die
Seitenflächen. Für eine Seitenfläche erhalten wir die Winkelsumme als ( n − 2 ) π , wobei
n die Eckenzahl und damit auch die Kantenzahl dieser Seitenfläche ist. Da zu jeder
Kante genau zwei Seitenflächen gehören, ist die totale Winkelsumme gleich
( 2Kπ − 2Fπ ) . Für das totale Winkeldefizit erhalten wir somit
Totales Winkeldefizit = 2πE − ( 2Kπ − 2Fπ ) = 2π ( E − K + F )
Daher ist:
Totales Winkeldefizit = 4π
⇔
E−K+F=2
Die Aussage E − K + F = 2 wird als Eulersche Polyederformel bezeichnet.
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Leonhard Euler (1707-1783). (Zeichnung B. S.)
3.3 Analogie zur Außenwinkelsumme bei ebenen Polygonen
Zu einem ebenen konvexen Polygon zeichnen wir die äußere „Parallelkurve“ im
Abstand 1. Diese besteht aus Strecken, welche kongruent zu den Polygonkanten sind
sowie Kreissektoren über den Ecken. Die Sektorenwinkel sind die Außenwinkel des
Polygons. Diese Sektoren können wir passgenau zum Einheitskreis zusammensetzen.
Daher ist die Außenwinkelsumme gleich 2π.
Polygon, Parallelkurve und Eckenbild
4 Anwendung: Eckenreguläre Polyeder
Ein konvexes Polyeder mit kongruenten Ecken heißt eckenreguläres Polyeder. In
diesem Fall haben alle Ecken dasselbe Winkeldefizit, dieses muss also ein Teiler von
720° ! 4π sein. Wir haben damit eine notwendige Bedingung, mit der wir rein
rechnerisch gewisse Fälle ausschließen können.
Im Folgenden besprechen wir ausführlich ein konkretes Beispiel.
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5
Ein Quadrat und zwei Dreiecke
5.1 Problemstellung
Beispiel nach [Heinrich 2009, S. 56]: An jeder Ecke sollen ein Quadrat und zwei
reguläre Dreiecke zusammenstoßen. Das Winkeldefizit ist 360° − ( 90° + 2 ⋅ 60° ) = 150° .
Das ist kein Teiler von 720°. So geht es also nicht.
Natürlich kann das auch rein raumgeometrisch eingesehen werden: Wir beginnen
gemäß Figur links mit einem roten Quadrat ABCD, einem grünen Dreieck BCE und
einem blauen Dreieck CDE und bilden damit eine räumliche Ecke C. Nun sollten wir an
der Ecke E ein Quadrat ansetzen, da wir schon zwei Dreiecke haben. Wir müssen also
die drei Punkte DEB zu einem Quadrat DEBF ergänzen. An und für sich geht das
problemlos, nur schneidet dieses Quadrat das rote Quadrat ABCD. Das Problem ist also
die Selbstdurchdringung.
E
E
C
C
D
D
B
A
B
A
F
Selbstdurchdringung
5.2 Eckenfiguren
Wenn wir bei einem Polyeder eine Ecke abschneiden, erhalten wir als Schnittfigur die
Eckenfigur der betreffenden Ecke. Tetraeder, Würfel und Dodekaeder haben
regelmäßige Dreiecke als Eckenfiguren, das Oktaeder hat Quadrate als Eckenfiguren
und das Ikosaeder regelmäßige Fünfecke. Die Ecke C in der obigen Figur, welche durch
ein Quadrat und zwei Dreiecke gebildet wird, hat als Eckenfigur ein Dreieck, das man
mit Vorteil als gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck zeichnet.
Eckenfigur der Ecke C
Die Eckenfigur ist ein Polygon, dessen Seiten den Seitenflächen des Polyeders und
dessen Ecken den Kanten des Polyeders entsprechen.
5.3 Mehrfache Überlagerung
Nun machen wir aus der Not eine Tugend. Weil das Winkeldefizit von 150° nicht passt,
machen wir es passend, indem wir das totale Winkeldefizit vergrößern. Das kleinste
gemeinsame Vielfache des Winkeldefizits 150° und des totalen Winkeldefizits 720° ist:
24 ⋅150° = 5 ⋅ 720° = 3600°
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Die Koeffizienten 24 und 5 in der obigen Gleichung haben beide, wie wir sehen
werden, eine geometrische Bedeutung.
5.4 Oktaeder als Trägerfigur
Die Punkte A, B, C, D, E und F sind die Ecken eines regulären Oktaeders.
E
C
D
B
A
F
Oktaeder
Wir überlagern dieses Oktaeder mit einem neuen Polyeder: Das Oktaeder hat acht
gleichseitige Dreiecke sowie im Innern drei Quadrate. Wir nehmen nun diese
Flächenstücke je doppelt. Für das neue Polyeder gilt also:
F = 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 3 = 22
Die 16 Dreiecke und 6 Quadrate haben insgesamt 16 ⋅ 3 + 8 ⋅ 4 = 72 einzelne Ecken. Da
an jeder Polyederecke zwei Dreiecke und ein Quadrat, also drei Seitenflächen
zusammenstoßen, ergibt sich für das neue Polyeder:
E = 16⋅3+8⋅4
= 72
= 24
3
3
Das neue Polyeder hat also 24 Ecken. Diese Zahl 24 kam schon oben bei der
Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen vor: 24 ⋅150° = 5 ⋅ 720° = 3600° .
Damit das schön aufgeht, müssen wir also die 6 Ecken des Oktaeders je vierfach zählen.
Die 16 Dreiecke und 6 Quadrate haben insgesamt auch 16 ⋅ 3 + 8 ⋅ 4 = 72 einzelne
Kanten. Da an jeder Kante 2 Seitenflächen zusammenstoßen, ergibt sich für das neue
Polyeder:
K = 16⋅3+8⋅4
= 72
= 36
2
2
Das neue Polyeder hat also 36 Kanten. Wir müssen die 12 Kanten des Oktaeders je
dreifach zählen.
Da wir jede Oktaederecke vierfach zählen, haben wir dort vier Eckenfiguren oder oben
dargestellten Art. Die viere Eckenfiguren durchdringen sich gegenseitig.
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Eckenfiguren des neuen Polyeders, an einer Oktaederecke appliziert
Wir sehen, dass die Dreiecksseiten des Oktaeders je doppelt zu zählen sind
(„Randlinien“ der Figur) und ebenso die Quadrate im Innern („Diagonalen“ der Figur).
Die Kanten des Oktaeders sind je dreifach zu zählen („Ecken“ der Figur).
Und wie steht es mit der Polyederformel von Euler? Wir erhalten:
E − K + F = 24 − 36 + 22 = 10 = 5 ⋅ 2
Es ergibt sich das Fünffache des für ein gewöhnliches konvexes Polyeder geltenden
Wertes 2. Diese Zahl 5 ist uns aber oben schon bei der Berechnung des kleinsten
gemeinsamen Vielfaches begegnet: 24 ⋅150° = 5 ⋅ 720° = 3600° . Aber wie ist diese Zahl
5 geometrisch zu verstehen? Dazu studieren wir die Analogie zu ebenen Polygonen.
5.5 Analogie zu Polygonen
Für eine konvexes Polygon hatten wir die Außenwinkelsumme 360°. Bei einem
eckenregulären Polygon muss also der Außenwinkel ein Teiler von 360° sein. Beispiel:
Beim regulären Fünfeck haben wir einen Innenwinkel von 108° und somit einen
Außenwinkel von 72°, einem Fünftel der Außenwinkelsumme von 360°. Wie ist es nun
mit einem eckenregulären Polygon mit einem Innenwinkel von 36°? Wir haben in
diesem Fall einen Außenwinkel von 144°, das ist aber kein Teiler von 360°. Für das
kleinste gemeinsame Vielfache von 144° und 360° finden wir:
5 ⋅144° = 2 ⋅ 360° = 720°
Das gesuchte Polygon hat also 5 Ecken. Eine mögliche Lösung ist das so genannte
Pentagramm.
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36°
36°
36°
U
36°
36°
Pentagramm und ein Weg ins Freie
Ein Uruk-hai U, der sich aus dem Innern des Pentagramms ins Freie bewegen möchte,
muss im Regelfall zwei Mal eine Polygonseite durchbrechen. Daher die Zahl zwei.
5.6 Zurück zu unserem Polyeder
Für einen Uruk-hai U im Zentrum unseres Polyeders ist es ein bisschen eng, weil dort
drei Paare von wechselseitig orthogonalen Ebenen (die Quadrate, wir erinnern uns)
durchlaufen. Der Uruk-hai sitzt also in einer infinitesimal kleinen kubischen Kiste,
deren Wände aber außerhalb der Kiste weitergehen.
Ein Weg ins Freie muss daher im Regelfall drei der sechs Kistenwände durchbrechen.
Im Beispiel der Figur ist die Seitenwand rechts bereits durchbrochen. Als nächstes
müssen die Ebene der rückwärtigen Kistenwand und schließlich die Bodenebene
durchbrochen werden.
U
Der Weg aus der Kiste
Dann ist man aber noch nicht im Freien, sondern muss noch eine doppelt zu zählende
Dreiecksfläche durchbrechen. Insgesamt also fünf Durchbrüche. Überzeugend, nicht?
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5.7 Abwicklung
Und nun die Abwicklung unseres Polyeders. Doppelt zu zählende Flächen sind in der
gleichen Farbe angegeben. Je die beiden Dreiecke gleicher Farbe erscheinen in dieser
Abwicklung gleich orientiert. Je die beiden Quadrate gleicher Farbe erscheinen aber
entgegengesetzt orientiert.
B
C
E
E
F
E
A
C
D
C
D
B
F
E
E
F
D
B
A
B
A
E
C
F
E
E
A
B
D
C
Abwicklung
Diese Abwicklung gibt Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Flächenstücken wieder.
Sie gestattet wegen der Selbstdurchdringungen aber nicht, das Polyeder als Modell zu
bauen.
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5.8
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Modellbau
5.8.1 Bauteile
Die folgenden vier Bauteile für unser Polyeder nehmen auf die Selbstdurchdringungen
Rücksicht. (Im Anhang sind die vier Bauteile vergrößert wiedergegeben.)
Bauteile
Da sich die Quadrate längs der Diagonalen gegenseitig durchdringen, enthalten die
Bauteile immer nur Viertelquadrate. Wir haben insgesamt zum Beispiel acht rote
Viertelquadrate, weil das rote Quadrat doppelt vorkommen muss. Die Dreiecke sind
immer nur zu zwei Dritteln vorhanden. Es hat zum Beispiel drei dunkelblaue
Zweidritteldreiecke, weil das dunkelblaue Dreieck doppelt vorkommen muss.
5.8.2 Bauvorgang
Die Bauteile sind auszuschneiden und längs der schwarzen Binnenkanten zu falten,
sämtliche Faltlinien gehen in dieselbe Richtung. Die folgenden Fotos beziehen sich auf
das Bauteil 1.
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Ausschneiden und Falten
Im Zentrum des Bauteils erkennen wir je einen Viertel eines der drei Quadrate.
Anschließend finden sich drei Zweitdritteldreiecke derselben Farbe. Wir fügen nun
diese drei Zweidritteldreiecke zu einem doppelt überlagerten Dreieck zusammen. Auf
der Außenseite sieht das dann aus gemäß der folgenden Foto.
Außenseite mit einem zusammengefügten Dreieck
Wir sehen, dass das Dreieck drei Durchdringungslinien hat, je von der Mitte aus zu
einer Ecke. Dies kann man sich wie folgt erklären.
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Wir sind alle so sozialisiert worden, dass bei der komplexen Funktion w = f ( z ) = z 2
das Bild die w-Ebene doppelt überlagert wird, wie dies auch bei unserem Dreieck der
Fall ist. Und das wird in der Regel so illustriert, dass längs eines vom Ursprung
ausgehenden Strahls eine Durchdringungslinie zu denken ist.
Riemannsche Fläche
Das ist aber willkürlich. Wir können eben so gut drei vom Ursprung ausgehende
Durchdringungsstrahle nehmen.
Variante: Drei Durchdringungslinien
Damit haben wir die Situation der Selbstdurchdringung unserer Dreiecke.
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Auf der Innenseite unseres Modells entsteht eine Dreikantpyramide mit drei
verschiedenfarbenen Viertelquadraten als Seitenflächen. Die Pyramidenspitze wird
später zum Zentrum unseres Polyeders. Die Seitenflächen der Pyramide stellen einen
Achtel der sich orthogonal durchdringenden Quadrate dar.
Innenseite
Wenn wir die äußersten Dreiecke, welche Viertelquadrate sind, einbiegen, erkennen
wir, wie sich die drei sich gegenseitig orthogonal durchdringenden Quadrate
weiterentwickeln.
Teile der drei Quadrate
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Wir bearbeiten die drei übrigen Bauteile analog und fügen die Teile dann zusammen.
Dabei können wir uns an den Farben orientieren. Im folgenden Bild sind drei der vier
Teile zusammengefügt. Wir sehen immer noch in das Modell hinein. Insbesondere
sehen wir schon fast die drei sich gegenseitig orthogonal durchdringenden Quadrate.
Drei der vier Teile sind zusammen
In der Schlussphase braucht es ein wenig sanfte Gewalt, Fingerspitzengefühl also.
Das fertige Modell ist von außen gesehen wenig spektakulär, ein Oktaeder eben.
Das fertige Modell
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Literatur
[Heinrich 2009]
[Walser 2011]
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Heinrich, Frank: Existenz- und Eindeutigkeitsbetrachtungen bei
räumlichen
archimedischen
Gebilden.
MU
Der
Mathematikunterricht. Polyeder im Mathematikunterricht. Jahrgang
55. Heft 1. Februar 2009. Friedrich Verlag, Seelze. S. 48-60
Hans Walser: Winkeldefizite bei konvexen Polyedern.
Mathematikinformation, Nr. 54, 15. Januar 2011, S. 44-51. ISSN
1612-9156.
Anhang
Im Folgenden sind die vier Bauteile in Großformat wiedergegeben.
Tipp: Die vier Bauteile ausdrucken, die Figuren passgenau aufeinander legen und die
vier Blätter außerhalb der Figuren mit Stapelklammern fixieren. Dann braucht man nur
das oberste Bauteil mit Lineal und Japanmesser auszuschneiden. Den Schnitt möglichst
auf der Innenseite der schwarzen Randlinie durchführen, damit wir beim Zusammenbau
etwas Spielraum für die Papierdicke haben.
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Bauteil 1
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Bauteil 2
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Bauteil 3
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Bauteil 4
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