Prüfung vom Januar 2009

Aufgaben zum Modul MA 450: Geometrie 3
1. Durch Abschneiden der Ecke A = (1, 0, 1) des Würfels
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W = {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ 1}
bis zu den Punkten Q1 = (1, 0, 32 ), Q2 = ( 23 , 0, 1) und Q3 = (1, 41 , 1)
entsteht ein konvexes Polyeder P.
(a) Beschreiben Sie dieses Polyeder P durch Zeichnen einer Abwicklung seiner Seitenflächen in die Ebene und geben Sie seine Anzahl
Ecken (e), Kanten (k) und Seitenflächen (f ) an.
(b) Stellen Sie das Polyeder P in Kavalierprojektion dar, indem Sie
vom Schrägbild des Würfels mit der Kantenlänge a = 8 [cm] ausgehen. Achten Sie auf die Sichtbarkeit.
(c) Bestimmen Sie die Koordinaten sämtlicher Ecken des Polyeders
P, sein Volumen und die Ebenengleichung von Σ = (Q1 Q2 Q3 ).
(d) Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal den Schnittpunkt S der
Schnittebene Σ mit der Würfeldiagonalen durch A und berechnen
Sie seine Koordinaten. (inkl. Konstruktionsbeschreibung)
2. In einen Würfel soll ein möglichst grosses Quadrat einbeschrieben werden. Dazu gehe man ohne Einschränkung der Allgemeinheit vom Würfel
mit den Ecken (±1, ±1, ±1) aus und wähle auf dessen Kanten die folgenden 4 Punkte:
A = (1, a, −1),
B = (b, 1, −1),
C = (−1, c, 1),
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D = (d, −1, 1)
(−1 ≤ a, b, c, d ≤ 1). Wie müssen diese Punkte gewählt werden, damit
sie ein ebenes Quadrat bilden und wie gross ist sein Flächeninhalt?
3. Gegeben sind der Punkt S = (−9, 9, 0) der xy-Ebene und die beiden
windschiefen Geraden


 
 


4
4
3
2
~rg (s) =  8  + s  1  ,
~rh (t) =  4  + t  1  .
10
4
2
−2
Gesucht ist die Richtung des Lichtes ~v so, dass sich die Schatten in
der xy-Ebene der beiden Geraden g und h unter Parallelprojektion in
Richtung ~v im Punkt S schneiden.
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4. Dem Würfel W = {(x, y, z) | −1 ≤ x, y, z ≤ 1} wird das maximale
reguläre Tetraeder einbeschrieben, das eine Ecke in D = (1, 1, 1) hat.
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(a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken des Tetraeders.
(b) Wie lange ist eine Seite des Tetraeders?
(c) Stellen Sie das Tetraeder als System von linearen Ungleichungen
dar und geben Sie das System in matrizieller Form A · ~x ≤ ~b an.
(d) Wie gross ist der Winkel zwischen zwei Seitenflächen des Tetraeders?
(e) Berechnen Sie den Abstand der Ecke D von der gegenüberliegenden Seitenfläche des Tetraeders. (inklusive Koordinaten des Lotfusspunktes)
(f) Berechnen Sie den Abstand der Ecke D von einer der Tetraederkanten, die nicht durch D geht. (inklusive Koordinaten des Lotfusspunktes)
5. Wie üblich bezeichnet e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten
und f die Anzahl der Seitenflächen des betrachteten Polyeders.
(a) Geben Sie zwei Beispiele von konvexen Polyedern, für welche die
Gleichung f = 2e − 4 erfüllt ist.
(b) Geben Sie zwei Beispiele von konvexen Polyedern, für welche die
Ungleichung f < 2e − 4 gilt.
(c) Zeigen Sie: Für jedes konvexe Polyeder, das aus lauter Dreiecken
besteht, gilt f = 2e − 4.
(d) Beweisen Sie: Für jedes konvexe Polyeder gilt f ≤ 2e − 4.
(e) Untersuchen Sie, ob ein konvexes Polyeder existieren kann mit
e = 6 und f = 9. Begründen Sie Ihre Antwort.
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