Optimierung - Mathematik, TU Dortmund

Prof. Dr. Christoph Buchheim
Dipl.-Math. Viktor Bindewald
Sommersemester 2017
10. Übungsblatt
zur Vorlesung
Optimierung
Abgabe:
Besprechung:
Bitte beachten:
Homepage:
Freitag, 30. Juni bis 14 Uhr in den jeweiligen Briefkasten.
Montag, 10. bzw. Dienstag, 11. Juli.
Keine gruppenübergreifenden Abgaben und nur Dreierabgaben.
Bitte Gruppennummer auf die Abgabe schreiben.
Jedes Gruppenmitglied muss die Lösung vorrechnen und erklären können.
http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsv/teaching/opt17/
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Ein Polyeder P (A, b) = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} sei durch folgende Ungleichungen gegeben:
−4x1 − 3x2 ≤ 10
x1 ≤ 4
3x1 − 8x2 ≤ 13
x1 + 6x2 ≤ 8
x2 ≤ 2
3x1 + 2x2 ≤ 8
x1 + 2x2 ≤ 4
−8x1 − 6x2 ≤ 24
(a) Bestimmen Sie alle echten Seitenflächen von P (A, b) und geben Sie jeweils eine gültige
Ungleichung an, durch welche die Seitenfläche induziert wird.
(b) Überführen Sie P (A, b) in ein Polyeder der Form P (D, d) = {x ∈ Rp : Dx = d, x ≥ 0}.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Sei P ⊆ Rn ein Polyeder. Betrachten Sie die Menge P̃ := P × [−1, 1]k , also
P̃ = {(x, y) ∈ Rn × Rk | x ∈ P, −1 ≤ y ≤ 1}.
Zeigen Sie:
(a) Die Menge P̃ ist wieder ein Polyeder. Wann ist P̃ ein Polytop?
n
P
(b) Jede lineare Ungleichung
ai xi ≤ b, die gültig für P ist, ist auch gültig für P̃ .
(c) Jede lineare Ungleichung
i=1
n
P
ai xi ≤ b, die eine Seitenfläche F von P induziert, induziert
i=1
auch eine Seitenfläche F̃ von P̃ . Wann ist F̃ eine Facette?
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Gegeben ist die folgende Menge:
K := {x ∈ Rn : x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn ≥ 0}.
(a) Zeigen Sie, dass K ein abgeschlossener konvexer polyedrischer Kegel ist.
(b) Stellen Sie K als conv(X) + cone(Y ) dar (mit Beweis).
Aufgabe 4 (4 Punkte)
(a) Zeichnen Sie P + Q (s. Blatt 1, Aufgabe 4d) für folgende Polytope: P := [2, 3] × [3, 5],
>
Q := conv({(0, 0)> , (0, 1)> , (1, 12 )}).
(b) Beweisen Sie, dass P = P1 + P2 für zwei Polyeder P1 , P2 ⊆ Rn wieder ein Polyeder ist.
Hinweis: Argumentieren Sie mithilfe der Fourier-Motzkin-Elimination.
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