¨Ubungsblatt 2 zur Quantenmechanik Prof. K. Hornberger, M. Bola

Übungsblatt 2 zur Quantenmechanik
Prof. K. Hornberger, M. Bolaños, F. Kiałka, B. Schrinski, B. Stickler
Abgabe bis Donnerstag 11.5.2017 10:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 4 — Vom Kasten
(9 Punkte)
In der Vorlesung haben Sie die Eigenfunktionen ψn (x) und Eigenwerte En des Teilchens im eindimensionalen, unendlich tiefen Potentialtopf kennengelernt. Im Folgenden werden wir uns mit diesen
vertraut machen.
√
(a) Ein Elektron befinde sich anfangs in der Superposition Ψ(x, 0) = [ψ1 (x)+ψ2 (x)]/ 2. Berechnen
Sie die Erwartungswerte hxit , hpit und hHit als Funktion der Zeit. Wie lauten die Amplitude A und
die Frequenz ω, mit der sich der Ortserwartungswert des Teilchens im Topf hin- und herbewegt?
Hinweis: 2 sin(a) sin(b) = cos(a − b) − cos(a + b).
(b) Angenommen der Anfangszustand sei eine Superposition, aus ψn (x) und ψn+1 (x). Wie lautet
die Frequenz in diesem Fall? Vergleichen Sie sie mit der klassisch erwarteten Frequenz eines
Teichens, das mit der entsprechenden kinetischen Energie hHit zwischen den beiden Wänden
oszilliert. Was erhalten Sie für n 1?
Aufgabe 5 — Durch den Kommutatoralgebradschungel
(9 Punkte)
Ausgehend von der aus der Vorlesung bekannten Kommutatorrelation [x, p] = i~ beweisen wir im
Folgenden ein paar nützliche Relationen.
(a) Zeigen Sie, dass [x, p2 ] = i2~p und [x2 , p] = i2~x.
(b) Nun etwas allgemeiner: verwenden Sie das Ergebnis aus (a) und beweisen Sie für n ≥ 1, dass
[x, pn ] = in~pn−1 und [xn , p] = in~xn−1 .
(c) Überzeugen Sie sich davon, dass man damit [x, g(p)] = i~g 0 (p) und [g(x), p] = i~g 0 (x) erhält, mit
einer beliebigen (Taylor-entwickelbaren) Funktion g(z).
(d) Zeigen Sie durch explizite Berechnung, dass
i
d
hpit = h[H, p]it ,
dt
~
2
mit dem Hamiltonoperator H = p /2m + V (x, t). Verwenden Sie die Relationen aus (c) um den
Kommutator weiter zu vereinfachen.
Aufgabe 6 — In die Freiheit
(8 Punkte)
0
In der Vorlesung wurde der freie Propagator Kt (x − x ) in einer Dimension mit Verweis auf die
Übungen angegeben. Im Folgenden kümmern wir uns darum.
(a) Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass der freie Propagator die Form
r
Z ∞
m
1
itp2
i
im(x − x0 )2
z.z.
0
0
Kt (x − x ) =
dp exp −
+ p(x − x ) =
exp
,
2π~ −∞
2~m ~
2πi~t
2~t
annimmt.
(b) Verwenden Sie den obigen Ausdruck um Ψ(x, t) aus dem Anfangszustand
Ψ(x, 0) =
exp (−x2 /2σ 2 )
(πσ 2 )1/4
zu berechnen (σ > 0). Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(x, t)|2 ? Wenn Sie sich nicht
verrechnet haben, sollte sich |Ψ(x, t)|2 durch die Substitution σ 2 → σ 2 +~2 t2 /m2 σ 2 aus |Ψ(x, 0)|2
ergeben.
p
R∞
Hinweis: −∞ dx exp[−(a + ib)(x + iy)2 ] = π/(a + ib) mit a > 0, b ∈ R und y ∈ R.