181 182 Experiment: Messung der Lichtgeschwindigkeit über Laufzeit 10. Optik 10.1. Wellenoptik Spiegel gepulster Laser „Licht sind elektromagnetische Wellen, für die das menschliche Auge empfindlich ist: λ ~ 400 – 750 nm f ~ 7.5x1014 – 4x1014 Hz Uhr Laufzeit: Detektor t= L c Wie alle elektromagnetischen Wellen breitet sich Licht (im Vakuum) aus mit Geschwindigkeit c = 3x108 m/s 10.2. Interferenz Genauer: betrachten Lichtpuls E (x) Bei Überlagerung zweier Lichtwellen addieren sich die elektrischen (und magnetischen) Felder. Das Ergebnis hängt von der relativen Phase der Wellen ab. vPh vGr Phasendifferenz φ=0 x E0 sin(ωt) E ( t) „Trägerwelle“ „Einhüllende“ E (t) Die „Wellenberge“ der Trägerwelle laufen mit Phasengeschwindigkeit vPh ; die Einhüllende mit Gruppengeschwindigkeit vGr. E (t) t + = t t E0 sin(ωt+φ) Doppelte Amplitude! Für elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt: vPh = vGr = c Konstruktive Interferenz der elektrischen Felder 183 184 Phasendifferenz φ=π Beispiel: Doppelspalt E0 sin(ωt) E (t) E (t ) t E (t) + = Lichtwellen überlagern sich t λ t Amplitude Null! d E0 sin(ωt+φ) Destruktive Interferenz der elektrischen Felder Zylinderwellen Darstellung als Funktion des Orts: E0 sin(kx) E (x ) In großem Abstand überlagern sich Teilwellen, die in die gleiche Richtung laufen. Der Phasenunterschied wird bestimmt durch den Wegunterschied in Ausbreitungsrichtung x E(x) Für diesen gilt: δ δ = d sin α δ d x α α E0 sin( k(x+δ) ) Hier: Konstruktive Interferenz für δ = (2n + 1) Destruktive Interferenz für δ = nλ λ Konstruktive Interferenz ergibt sich für 2 bzw. n=0,1,2,3… sin α = n δ = nλ λ d n=0,1,2,3… 185 186 Beispiel: Gitter mit N Spalten Destruktive Interferenz ergibt sich für sin α = δ 2n + 1 λ 2 d d n=0,1,2,3… α Damit ergibt sich eine Intensitätsverteilung im Abhängigkeit vom Ablenkungswinkel: Es ergibt sich vollständig konstruktive Interferenz, wenn benachbarte Teilstrahlen um ganze Wellenlängen versetzt sind: δ = d sin α = nλ Damit ergeben sich „Hauptmaxima“ unter den Winkeln: sin α = n Intensität 1 λ d Destruktive Interferenz ergibt sich, wenn jeweils Paare von Teilstrahlen im Abstand von Nd/2 um eine halbe Wellenlänge (oder ungerade Vielfache) versetzt sind: δ 0 −2 λ d − λ W in k e l α [ra d ] d λ d 2 λ d N λ d sin α = 2 2 δ= d also N/2 d Laser α Hier: sin α = α Schirm λ Nd Allgemein ergeben sich Minima bei den Winkeln Doppelspalt sin α = (2n + 1) λ Nd n=0,1,2,3… 187 Damit ergibt sich eine Intensitätsverteilung im Abhängigkeit vom Ablenkungswinkel: N=6 1 Breite ∼ 10.1.2. Polarisation Licht ist eine elektromagnetische Welle. Der Vektor des elektrischen Felds kann eine beliebige (und zeitabhängige) Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung haben. 1. Hauptmaximum λ Nd Intensität 188 E c N-1 Minima λ B Nd Definitionen: 0 − λ W inkel α [rad] λ d d • linear polarisiertes Licht: der Feldvektor hat eine definierte Richtung Je größer die Zahl der Spalten, desto schmaler die Hauptmaxima! Einsatz als Spektrometer: Überlagerung verschiedener Wellenlängen 2. Beugungsordnung • Polarisationsrichtung: Richtung des elektrischen Feldvektors 1. Beugungsordnung Polarisatioren absorbieren bzw. reflektieren nur Licht einer Polarisationsrichtung 1 .0 Intensität 0 .8 0 .6 Beispiel: Polymer mit ausgerichteten Molekülen 0 .4 0 .2 Polymer Molekülketten (Elektronen beweglich parallel zur Kette) 0 .0 W in k e l α [r a d ] Auflösung des Gitterspektrometers: Spaltenzahl mal Beugungsordnung Entspricht Metallrost für Radarwellen! E wird absorbiert E wird nicht absorbiert 189 Wirkung zweier Filter: Filter parallel 2. Filter läßt alles durch 190 Gekreuzte Polarisatoren dienen zum Nachweis von polarisierender Wirkung (z.B. durch Verspannungen in Polymeren) oder optischer Aktivität (Drehung des elektrischen Feldvektors durch chirale (nicht-spiegelsymmetrische) Moleküle, z.B. Zucker in Lösung 10.1.3. Licht in Materie Materie ist im Allgemeinen elektrische und magnetisch polarisierbar. E-Feld 1. Filter E-Feld 2. Filter E-Feld Wird beschrieben durch zwei einheitenlose Materialgrößen: 2. Filter absorbiert alles Filter senkrecht ε: Dielektrizitätszahl µ : magnetische Permeabilität Dadurch verändert sich die Wellengleichung: E-Feld 1. Filter E-Feld 2. Filter E-Feld Aber: Licht wird wieder transmittiert, falls der Feldvektor zwischen den gekreuzten Filtern gedreht wird, z.B. durch einen dritten Filter: δ2 1 δ2 B ( x , t ) = B ( x, t ) δ t2 µ µ 0ε ε 0 δ x 2 δ2 1 δ2 E ( x, t ) = E ( x, t ) δ t2 µ µ 0ε ε 0 δ x 2 Ebene Welle in Materie und man erhält eine neue Lichtgeschwindigkeit c= 1. Filter E-Feld 3. Filter E-Feld 2. Filter E-Feld ω k = 1 µ µ 0ε ε 0 = 1 µε c0 191 Definition: Damit nehmen ε und der Brechungsindex n im sichtbaren Bereich zu! n = εµ Brechungsindex n 192 Beispiel: Brechungsindex von reinem Glas (SiO2) Damit gilt für die Lichtgeschwindigkeit: n 1.54 1 c = c0 n 1.52 1.50 Für transparente Isolatoren ist die Permeabilität µ ~ 1; 1.48 damit wird 1.46 n≈ ε rot blau „Dispersion“ 1.44 1 2 3 4 5 6 7 8 ε hängt zusammen mit der atomaren Polarisierbarkeit; diese wiederum hängt von der Frequenz ab (das Atom kann als gedämpfter harmonischer Oszillator gesehen werden). 10.1.4. Lichtbrechung Auslenkung der Elektronen Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist Resonanz (bei typ. 5-10 eV) in Materie Bereich sichtbares Licht ω 1 c = c0 n Die Wellenlänge wird damit λvac = im Vakuum ω0 9 ω [1015 Hz] λ= c0 f c c0 1 = = λvac f nf n Im Medium ändert sich die Wellenlänge (aber nicht die Frequenz)! 193 Beispiele: 194 Berechnung der Lichtbrechung Senkrechter Einfall auf eine Glasplatte in Luft Es ist α‘ λ λ λ c0 c0 c b c0 nf α b sin α ' = λ ' = λ/n Luft c0 n' f λ‘ Luft Glas Schräger Einfall auf eine Glasplatte in Luft Luft n n‘ sin α n ' = sin α ' n und damit Brechungsgesetz c0 λ Beispiel: c λ b sin α = λ = Lichtstrahl Luft → Glas c0 Lot λ/n Reflexion Luft Glas Wellenlänge wird kürzer → Wellenfront wird verkippt → Laufrichtung im Glas ändert sich! Luft n=1 Glas n‘ = 1.5 sin α ' = n 1 sin α = sin α n' 1.5 ⇒α '<α α α‘ ! ( für α=45°wird α‘=28°) Übergang in optisch dichteres Medium → Brechung hin zum Lot 195 Daraus folgt Lichtstrahl Glas → Luft Lot Reflexion Glas n = 1.5 sin α ' = n sin α = 1.5sin α n' ⇒α ' >α α sin α g = n' n Grenzwinkel für Totalreflexion ! ( für α=40°wird α‘=74.6°) α‘ Luft n‘ = 1 196 Übergang in optisch dünneres Medium → Brechung weg vom Lot Zahlenwert: für n‘=1 und n=1.5 wird αg = 42° (Totalreflexion wird z.B. ausgenutzt in Lichtleitern) 10.1.5. Prisma Brechung an zwei Grenzflächen Totalreflexion Beim Übergang zwischen optischen Medien findet auch immer Reflexion statt; bei dem Übergang in ein optisch dünneres Medium wird ab einem Grenzwinkel das gesamte Licht reflektiert. γ δ Gesamtablenkwinkel n Totalreflexion Glas Glas Es gilt (im symmetrischen Fall): Luft Grenzsituation sin γ +δ 2 = n sin γ 2 Grenzwinkel sin α ' = 1 = n sin α g n' n n‘ αg α‘=90° Der Brechungsindex hängt von der Wellenlänge ab → verschiedene Wellenlängen werden unterschiedlich stark abgelenkt! 197 198 Die Brennweiten sind unterschiedlich innerhalb und außerhalb vom Glas! weißes Licht rot Glas blau Je kürzer die Wellenlänge, desto größer die Ablenkung! Konstant ist dagegen der Brechungsindex geteilt durch die Brennweite, die Brechkraft D: D= 10.1.6. Linsen Brechung an einer gekrümmten Grenzfläche: Halblinse r Für die Brennweite f‘ gilt: f '= Einheit: Dioptrien 1 [dpt] = 1 [1/m] (eine Linse mit einer Brechkraft von 5 dpt hat an Luft einer Brennweite von 0.2 m) n‘ n n' n n'−n = = f f r n' r n '− n f‘ Bündelung im „Brennpunkt“ Dünne Linsen: Brechkräfte der beiden Grenzflächen addieren sich. r: Krümmungsradius Grenzfläche r1 r2 Entgegengesetzte Richtung: D = D1 + D2 = n'−n n'− n + r1 r2 an Luft (n=1): r D= n n '− 1 n '− 1 + r1 r2 oder f Hier gilt: f = n‘ n r n '− n f = r1r2 1 = D ( r1 + r2 )( n '− 1) Linsenschleiferformel 199 Sammellinse bikonvex Linsentypen: 200 Gegenstand Parallelstrahl Sammellinse Bild b G x x B g f bikonkav f Zerstreuungslinse Für die Abstände gilt: f Hauptstrahl durch Linsenzentrum 1 1 1 = + f g b Abbildungsgesetz f Für den Maßstab der Abbildung gilt: 10.1.7. Abbildung Zerstreuungslinse B b f b− f = = = G g g− f f virtuelles Bild Parallelstrahl Starke Vergrößerungen sind möglich für kleine f bzw. g-f ! Parallelstrahl Gegenstand x x g b f 10.1.8. Optische Systeme: Mikroskop Hauptstrahl durch Linsenzentrum Die Lichtstrahlen scheinen von einem verkleinerten Gegenstand zwischen Brennpunkt und Linse zu kommen. Für die Abstände gilt: 1 1 1 = + b g f Kombination verschiedener Linsen f f: Brennweite g: Gegenstandsweite b: Bildweite Objekt Objektiv Okular Auge 201 Abbildung: Objektiv x Bild auf Netzhaut Okular und Augenlinse x x x Objekt Zweimal Vergrößerung um Faktor 10-40: Gesamtvergrößerung ≤ 1000 !