Institut für Geometrie und Topologie

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. Uwe Semmelmann
Dr. Tillmann Jentsch
Übungsblatt 9: Krümmung von Flächen
Für die Gruppenübungen am 26.6.2012
Aufgabe 1. Sei S die Rotationsfläche parametrisiert durch F (s, t) = (s cos(t), s sin(t), 1/2 s2 ) mit s > 0,
vgl. Aufgabe 1) von Blatt 8.
(a) Berechnen Sie die Normalkrümmungen der Breitenkreise (also der Kurven cs (t) := F (s, t) mit konstantem s) und der Meridiane (also der Kurven ct (s) := F (s, t) mit konstantem t) auf S.
∂F
(b) Sei X der Tangentialvektor in F (1, 2), welcher Koordinaten (1, 1) bzgl. der Basis ∂F
∂s (1, 2), ∂t (1, 2)
hat. Berechnen Sie außerdem die Normalkrümmung von S in F (1, 2) in Richtung X.
Aufgabe 2. Sei S ⊂ R3 eine orientierte reguläre Fläche mit Weingartenabbildung W und zweiter Fundamentalform II. Sei p ∈ S. Die dritte Fundamentalform in p ist definiert durch IIIp (X, Y ) := Ip (Wp (X), Wp (Y ))
für alle X, Y ∈ Tp S. Zeigen Sie:
IIIp (X, Y ) − Spur(Wp ) IIp (X, Y ) + Det(Wp ) Ip (X, Y ) = 0
für alle X, Y ∈ Tp S. Hinweis: Benutzen Sie einen Satz aus der linearen Algebra.
Aufgabe 3. Sei S ⊂ R3 eine orientierbare reguläre Fläche mit Einheitsnormalenvektorfeld N und zweiter
Fundamentalform II. Gegeben seien p ∈ S und X, Y ∈ Tp S. Sei c : I → S eine Kurve mit 0 ∈ I, c(0) = p
und ċ(0) = X. Weiterhin sei Y : I → R3 eine Kurve mit Y (0) = Y und Y (t) ∈ Tc(t) S für alle t ∈ I. Zeigen
Sie: Der Vektor IIp (X, Y ) N (p) ist die Orthogonalprojektion von Ẏ (0) längs Tp S.
Aufgabe 4. Betrachten Sie den Durchschnitt der Einheitssphäre S2 := {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 = 1}
mit einer affinen Ebene E, welche parallel zur xy-Ebene verläuft. Zeigen Sie: Falls dieser nicht-leer ist und
aus mehr als einem Punkt besteht, so ist S2 ∩ E eine Kreislinie in E mit Radius r ≤ 1. Parametrisieren Sie
diese nach Bogenlänge und berechnen Sie (in Abhängigkeit von r) sowohl ihre normale Krümmung als auch
die geodätische Krümmung in S2 . Für welche r gilt κgeo = 0?
Aufgabe 5. Beweisen Sie den Satz von Rodriguez: Sei S ⊂ R3 eine orientierbare reguläre Fläche mit
Einheitsnormalenvektorfeld N und c : I → S eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Dann ist c
eine Krümmungslinie auf S genau dann, wenn es eine Funktion λ : I → R gibt mit
d
N (c(t)) = λ(t) ċ(t)
dt
für alle t ∈ I. In diesem Fall ist −λ(t) die entsprechende Hauptkrümmung.
Schriftliche Aufgabe.
Zur Abgabe am 26.6.2012 in Ihrer Übungsgruppe
Aufgabe 6. Sei c(s) = (r(s), z(s)) eine ebene Kurve definiert auf dem Intervall I, die nach Bogenlänge
parametrisiert ist. Wir nehmen an, dass stets r(s) > 0 und c : I → c(I) ein Homöomorphismus oder I = R
und c einfach geschlossen ist. Betrachten Sie die Abbildung F (s, t) := (r(s) cos(t), r(s) sin(t), z(s)) mit s ∈ I
und t ∈ R. Also ist S := F (I ×R) eine reguläre Fläche, eine Rotationsfläche. Aus vorangegangenen Aufgaben
kennen Sie schon die erste und die zweite Fundamentalform von S bezüglich dieser Parametrisierung.
(a) Berechnen Sie die Hauptkrümmungen und die Gaußsche Krümmung von S in Abhängigkeit von (s, t).
(b) Sei K eine beliebige reelle Zahl. Welche Differentialgleichung für r(s) charakterisiert Flächen S mit
konstanter Gaußscher Krümmung K?
(c) Beschreiben Sie alle Rotationsflächen mit konstanter Gaußscher Krümmung K.