Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik 2. ¨Ubung – 26

Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik
2. Übung – 26/27.10.05
2.1 Carnot-Prozess mit idealem Gas:
Wir betrachten einen Carnot-Prozess mit den Temperaturen Th , Tk < Th
der Wärmebäder, einem idealen Gas mit den Zustandsgleichungen
pV = N kB T,
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U = N kB T
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als Arbeitsmedium und der am System verrichteten Arbeit δW = −pdV .
a) Bestimmen Sie jeweils ∆Q und ∆W für die 4 Schritte des Prozesses:
1. → 2.; Isotherme Wärmeaufnahme:
∆Q12 > 0; (p1, V1, Th) →
2. → 3.; Adiabatische Abkühlung:
∆Q23 = 0; (p2, V2, Th) →
3. → 4.; Isotherme Wärmeabgabe:
∆Q34 < 0; (p3, V3, Tk ) →
4. → 1.; Adiabatische Aufheizung:
∆Q41 = 0; (p4, V4, Tk ) →
(p2, V2, Th)
(p3, V3, Tk )
(p4, V4, Tk )
(p1, V1, Th)
b) Stellen Sie den Kreisprozess in einem S − T , V − p und V − T
Diagramm dar.
c) Zeigen Sie, dass der Wirkungsgrad η = |∆Wtot|/∆Q12 gleich
η = 1 −
Tk
Th
ist.
d) Was ergibt sich für die Entropieänderungen ∆S in den einzelnen
Schritten und für einen vollen Umlauf?
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2.2 Wärmeaustausch (teilweise aus Herbst 2004, C2):
Zwei Festkörper (dV = 0) mit konstanter identischer Wärmekapazität
C (δQ = CdT ) sollen anfangs die Temperaturen T1 = 450 K und T2 =
200 K haben. Danach soll es zu einem Wärmeaustausch kommen, bei
welchem sich die Temperaturen zu einer gemeinsamen Endtemperatur
Te ausgleichen. Das Gesamtsystem soll stets thermisch isoliert sein.
a) Bestimmen Sie für die beiden Körper jeweils die innere Energie
U und die Entropie S (dS = δQ/T ) als Funktion der Temperatur
T , sowie die gesamte anfängliche innere Energie Ua und Entropie
Sa .
b) Der Wärmeaustausch erfolge nun spontan (irreversibel) durch direkten thermischen Kontakt beider Körper. Welche Größe bleibt
dabei erhalten und was ergibt sich für Te und ∆S = Se − Sa ?
c) Alternativ soll zwischen den beiden Körpern eine zyklisch laufende reversible Maschine eine mechanische Arbeit W leisten, indem
sie Wärme vom heißen zum kalten Körper transportiert. Das Gesamtsystem soll seine Entropie nicht ändern, und die Entropie der
Maschine bleibt nach jedem Zyklus konstant.
i) Berechnen Sie den anfänglichen idealen Wirkungsgrad η =
δW /δQ, so lange man die Temperaturänderungen der beiden
Körper vernachlässigen kann. δQ ≪ CT1 ist die Wärmemenge,
die dem heißen Körper entnommen wird, und δW ist die von
der Maschine geleistete Arbeit.
ii) Die Maschine soll so lange laufen, bis beide Körper dieselbe
Temperatur Te erreicht haben. Wie groß sind die Entropie Se
und die Temperatur Te im Endzustand?
iii) Wie groß ist der Wirkungsgrad W/Q für den gesamten Prozess
nach Erreichen der gemeinsamen Endtemperatur Te ?
d) Bei welchem der beiden obigen Prozesse b),c) ist Te höher?
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