Das Lucas Kriterium

Das Lucas Kriterium
Anton Betten
4. Februar 2000
Zusammenfassung
Das Lucas Kriterium erlaubt zu entscheiden, ob eine Mersenne Zahl
Mm = 2m − 1 Primzahl ist. Dieses Kriterium wird bewiesen.
1
Einführung
Sei P die Menge der natürlichen Primzahlen. Sei stets M = Mm = 2m − 1 mit
m > 2. Das Lucas-Kriterium besagt:
Definiert man rekursiv si durch s0 = 4, si+1 ≡ s2i − 2 mod M so gilt:
M ∈ P ⇐⇒ sm−2 ≡ 0
2
mod M.
(1)
Definitionen
Wir bezeichnen mit Fq den Körper mit q Elementen (für Primzahlpotenzen q).
Sei L ein quadratischer Zahlkörper, d. h. eine quadratische Erweiterung von
√
√
Q. Man kann L = Q( d) schreiben mit quadratfreiem d. Zu α = a +b d ∈ L ist
√
α∗ = a − b d die Konjugierte (diese wird häufig mit α bezeichnet, wir behalten
dieses Zeichen jedoch für Restklassenelemente vor).
1
(i) Man hat s(α) = α + α∗ die Spur von α. Sie ist Q-linear und additiv.
(ii) Man hat n(α) = α · α∗ die Norm von α. Sie ist multiplikativ.
Sei α ∈ O. Dann heißt α ganz, wenn s(α) ∈ Z und n(α) ∈ Z ist. Die Menge
der ganzen Zahlen von L bilden einen Ring, der mit O oder OL bezeichnet wird.
Dieser Ring heißt auch Maximalordnung.
Eine Zahl ∈ O\{0} heißt Einheit, wenn −1 ∈ O ist. Die Menge der Einheiten von O wird mit O× bezeichnet.
Ein Zahlenpaar (β1 , β2 ) heißt Ganzheitsbasis, wenn L = Qβ1 + Qβ2 und
O = Zβ1 + Zβ2 gilt.
3
Verwendete Sätze
In diesem Abschnitt werden die verwendeten Sätze und Ergebnisse aufgeführt.
Auf Beweise wird verzichtet.
Für a ∈ Z, p ∈ P gilt:
a
p−1
2
a
≡
p
mod p
(Eulerkriterium)
Für p, q ∈ P gilt
p−1 q−1
p
q
=
· (−1) 2 2
p
q
(Gauss’sches Reziprozitätsgesetz für Legendre Symbole).
Für p, q ∈ Z gilt
p−1 q−1
q
p
=
· (−1) 2 2
p
q
(Reziprozitätsgesetz für Jacobi Symbole).
Für α ∈ L\Q ist X 2 − s(α)X + n(α) = X 2 − (α + α∗ )X + αα∗ = (X −
α)(X − α∗ ) die Gleichung von α.
2
α ∈ O× ⇐⇒ α ∈ O ∧ n(α) ∈ {±1}
√
Sei L = Q( d) mit quadratfreiem d. Dann ist (1, ω) Ganzheitsbasis mit
( √
1+ d
⇐⇒ d ≡ 1 mod 4
√2
ω=
d ⇐⇒ d ≡ 2, 3 mod 4
Der Fall d ≡ 0 mod 4 scheidet aus, da d quadratfrei vorausgesetzt war.
√
Sei p ∈ P, L = Q( d), I die Menge der ganzen Ideale von OL , PL die Menge
der Primideale von I. Zahlen a ∈ O definieren Hauptideale Oa.
Ideale können multipliziert werden: Man definiert A · B := h
P
i
ai b i | ai ∈
A, bi ∈ Bi.
Für ganze Ideale A, B schreibt man A | B, wenn ein ganzes Ideal C existiert
mit AC = B. Man schreibt A | a ⇐⇒ A | Oa für a ∈ O. Die Teilbarkeit von
Idealen ist die umgekehrte Enthaltenseinsrelation: A | B ⇐⇒ A ⊇ B.
Für jedes Ideal A ∈ I ist A∗ := {a∗ | a ∈ A} wieder ein Ideal, das konjugierte
Ideal.
Die Norm eines Ideals A ist n(A) := ggT(n(a) | a ∈ A). Es gilt A · A∗ =
n(A)O. Die Idealnorm ist multiplikativ. Es ist n(A) = 1 ⇐⇒ A = O.
Eine Menge der Form
1
A
m
mit m ∈ Z und A ∈ I heißt gebrochenes Ideal. Mit
ihnen kann das Inverse eines Ideals A angegeben werden: A−1 =
AA−1 =
1
AA∗
n(A)
=
1
n(A)O
n(A)
1
A∗ ,
n(A)
denn
= O.
Jedes ganze Ideal A ∈ I besitzt eine bis auf Reihenfolge der Faktoren eindeuordP1 (A)
tige Zerlegung A = P1
ordPr (A)
· . . . Pr
mit Primidealen P1 , . . . , Pr .
Für jedes ganze Ideal A ∈ I ist Φ(A) := |(O/A)× | die idealische Phifunkti”
on“.
Es ist wichtig zu untersuchen, wie Primzahlen p ∈ P sich verhalten, wenn die
zugehörigen Hauptideale Op in I faktorisiert werden. Wir nehmen etwa Op =
P1n1 · . . . · Prnr mit P1 , . . . , Pr ∈ PL an. Wegen p2 = n(Op) = n(P1n1 ) · . . . · n(Prnr )
folgt r ≤ 2. Nun treten drei Fälle auf (es ist p ∈ P, P ∈ PL ):
3
(i) Op = P P : man sagt p ist verzweigt“.
”
(ii) Op = P P ∗ mit P ∗ 6= P : man sagt p ist zerlegt“.
”
(iii) Op = P : man sagt p ist träge“.
”
√
Beispiele: Wir betrachten L = Q( −1) = Q + Qi. Es ist OL = Z1 + Zi.
(i) 5 = (2 + i)(2 − i), also O5 = P P ∗ mit P = O(2 + i) und P ∗ = O(2 − i)
d. h. 5 ist zerlegt.
(ii) 2 = (1 + i)(1 − i). Achtung: wegen −(1 + i)i = −(i − 1) = 1 − i ist 1 + i
assoziiert zu 1 − i (d. h. beide Zahlen unterscheiden sich nur bis auf Einheitsfaktoren). Demnach ist O(1 + i) = O(1 − i), d. h. O2 = (O(1 + i))2 ,
mit anderen Worten: 2 ist verzweigt.
(iii) Die Primzahl 7 kann nicht als Summe zweier Quadrate geschrieben werden.
Somit ist 7 träge, d. h. O7 ist Primideal.
Der folgende Satz besagt, wann eine Primzahl verzweigt, zerlegt bzw. träge
√
ist. Sei wieder L = Q( d) mit quadratfreiem d. Man setzt
(
4d ⇐⇒ d ≡ 1 mod 4
dL =
d ⇐⇒ d ≡ 2, 3 mod 4
Dann gilt für p ∈ P:






verzweigt





 0
dL
=
p ist
in L ⇐⇒
1
zerlegt



p



 träge 
 −1
Der kleine Satz von Fermat für quadratische Zahlkörper:
(i) Ist p träge Primzahl, so gilt αp ≡ αα∗ mod Op.
4







.
√
Sei wieder L = Q( d) mit quadratfreiem d. Sei P ein Primideal und p eine
Primzahl mit P | p. Dann gilt
(
Fp
O/P '
Fp2
4
⇐⇒
p verzweigt oder zerlegt
⇐⇒
p träge
Der Beweis des Lucas Kriteriums
×
4.1 Lemma Sei A ganzes Ideal, A - 2, O = O/A, ∈ O× . Dann ist ∈ O und
es gilt für j ≥ 1
j
s 2 ≡ 0
mod A ⇐⇒ ord() = 2j+2
(2)
worin ord die Elementordnung in O bezeichnet.
Beweis:
j
j ∗
j
0 ≡ s 2 = 2 + 2
mod A
j 2
j ∗
j
⇐⇒ 0 ≡ 2
+ 2 2
mod A
j+1
j
⇐⇒ 0 ≡ 2 + n 2
mod A
⇐⇒ 0 ≡ 2
j+1
+ n()2
|{z}
j
/ · 2
j
mod A
±1
⇐⇒ 0 ≡ ⇐⇒ 2
j+1
2j+1
+ 1 mod A
= −1O× =
6 1 × =1
|{z} O
A-2
2
Die si aus dem Lucas Kriterium können wie folgt gedeutet werden:
√
√
i
4.2 Lemma si = s 2 mit = 2 + 3 ∈ OL× , L = Q( 3).
5
√
√
Beweis:
Wegen
n()
=
(2
+
3)(2
−
3) = 4 − 3 = 1 folgt ∈ O× . Wegen
√
√
0
s 2 = s() = 2 + 3 + 2 − 3 = 4 = s0 gilt die Gleichung für i = 0. Sei der
Nachweis für alle
Zahlen
kleiner oder gleich einem festen i bereits erbracht. Wir
zeigen si+1 = s 2
i+1
. Für jedes α ∈ L gilt
α2 − s(α) · α + n(α) = 0.
Für folgt speziell
⇒ s 2 = s(s()) − s(n())
= s()s() − 2n()
= s()2 − 2
i+1 i ⇒ s 2
= s 2 ·2
i = s (2 )2
i 2
= s (2 ) − 2
i+1 ⇒ s 2
= s2i − 2 = si+1
2
Wir beweisen nun das Lucas Kriterium, d. h. (1). Zunächst betrachten wir die
Folgerung ⇒:
Sei p eine Primzahl und P ein Primideal mit P | p | M. Wegen M ungerade
ist p 6= 2 und damit P - 2. Nach Voraussetzung gilt
m−2 s 2
≡ 0 mod M
m−2 ⇒s 2
≡ 0 mod P
⇒
ord() = 2m−2+2 = 2m
6
nach Lemma 4.1. Nun gilt für in O = O/P :
Φ(P ) = 1,
wobei Φ die idealische“ Phifunktion ist, d. h. Φ(A) = |(O/A)× | für jedes ganze
”
Ideal A. Wir unterscheiden die Fälle p zerlegt oder verzweigt bzw. p träge.
Sei zunächst p zerlegt oder verzweigt.
Dann ist O/P ' Fp und
2m | Φ(P ) = |(O/P )× | = |O/P | − 1 = p − 1
⇒2m ≤ p − 1 ≤ M − 1 = 2m − 2,
ein Widerspruch. Demnach ist p träge und O/P ' Fp2 , d. h. Φ(P ) = |(O/P )× | =
p2 − 1.
Wir wissen:
p träge Primzahl ⇐⇒
dL
p
= −1
⇐⇒ dL ist kein quadratischer Rest mod p
√
⇐⇒ d 6∈ Fp
Wir müssen noch nachweisen, dass M prim ist. Dazu studieren wir ord(F×
p)
×
2
in der multiplikativen Faktorgruppe G = O /F×
p der Ordnung (p − 1)/(p − 1) =
p + 1. Es sei noch einmal an O ' O/P ' Fp (ω) ' Fp2 erinnert, mit (1, ω)
m−2
Ganzheitsbasis von O. Das Element 2
besitzt die allgemeine Form
√
1
m−2
2
= (s + t d)
2
mit s, t ∈ Z. Nun ist nach Voraussetzung s(2
⇒
2
m−2
=
t √
d
2 |{z}×
∈O× \Fp
7
m−2
)≡0
mod p, also s = 0.
t√ ×
dFp 6= F×
p = 1G
2
m−1
×
×
⇒ 2 F×
p = −1Fp = Fp = 1G ,
2
⇒(F×
p)
m−2
=
woraus folgt
×
⇒
ord(F×
p)
m−1
=2
|O |
p2 − 1
| |G| = × =
=p+1
|Fp |
p−1
2m−1 ≤ p + 1 ≤ M + 1 = 2m .
⇒
Sei nun p der kleinste Primteiler von M . Falls p 6= M ⇒ p ≤
√
M . Dann ergibt
sich
2m−1 − 1 ≤ p ≤
⇐⇒
√
M=
√
2m − 1
(2m−1 − 1)2 ≤ 2m − 1
⇐⇒ 22(m−1) − 2m + 1 ≤ 2m − 1,
was für m > 2 ein Widerspruch ist. Damit ist gezeigt, dass M Primzahl ist.
Wir zeigen nun die Richtung ⇐ des Kriteriums.
Dazu sei p = M = 2m − 1 prim mit m > 2. Notwendigerweise ist m ∈ P,
√
√
etwa m = 2n + 1. Sei weiter = 2 + 3 ∈ OL mit L = Q( 3). Es ist n() = 1,
d. h. ∈ O× . Nach dem Reziprozitätsgesetz gilt
p−1 3−1
3
p
=
· (−1) 2 2
p
3
und wegen p ≡ −1
mod 4 (denn 4 | p + 1 = 2m ) und 3 ≡ −1
p
· (−1)
3
22n · 2 − 1
=−
3
=
8
mod 4
hier ist 22n = 4n ≡ 1n ≡ 1
22n · 2 − 1 ≡ 1
mod 3, demnach 22n · 2 ≡ 2
mod 3 und somit
mod 3, d. h.
1
=−
= −1.
3
Demnach ist p träge.
Wir zeigen nun 2
m−1
≡ −1 mod p (woraus ord() = 2m folgt):
Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt:
m
2 = p+1 = ∗ = n() = n() = 1,
und somit
2
Um 2
m−1
m−1
≡ ±1
mod p.
≡ −1 mod p nachzuweisen, genügt der Nachweis von
m−1 s 2
≡ −2 mod p.
Dies geschieht mit einem Trick. Wir definieren die Hilfsgröße λ = 1 +
n(λ) = −2). Dann ist
√
√
√
λ2 = 1 + 2 3 + 3 = 4 + 2 3 = 2(2 + 3) = 2.
Damit folgt
22
m−1
m−1 m−1
m−1
· s 2
= s 22
· 2
2m−1
= s (2)
2m−1
= s (λ2 )
m
= s λ2
= s λp+1
9
√
3 (mit
≡ s (λλ∗ )
mod p
= s (n(λ))
= s (−2)
= −4
mod p
mod p
mod p.
Divison durch 2 ergibt (Achtung: 2 - p, d. h. die Division ist erlaubt!):
⇒22
m−1 −1
· s(2
m−1
) ≡ −2
mod p
und wegen
p+1
2m
=
2
2 p−1
2
=2 2 ≡
=1
p
2m−1 =
⇒22
m−1 −1
mod p
nach dem Eulerkriterium und einem Ergänzungssatz zum Legendre Symbol (wegen p ≡ −1 mod 8). Eingesetzt folgt
m−1 s 2
≡ −2
2
⇒
⇒
m−1
2m
≡ −1
≡1
mod p
mod p
mod p
ord() = 2m
⇒
und nach Lemma 4.1
⇒s 2m−2
≡0
10
mod p.
5
Ergebnisse
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
pi
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
Mpi (# Stellen)
31 (2)
127 (3)
2047 (4)
8191 (4)
131071 (6)
524287 (6)
8388607 (7)
536870911 (9)
2147483647 (10)
137438953471 (12)
2199023255551 (13)
8796093022207 (13)
140737488355327 (15)
9007199254740991 (16)
576460752303423487 (18)
2305843009213693951 (19)
147573952589676412927 (21)
2361183241434822606847 (22)
9444732965739290427391 (22)
604462909807314587353087 (24)
9671406556917033397649407 (25)
618970019642690137449562111 (27)
158456325028528675187087900671 (30)
2535301200456458802993406410751 (31)
10141204801825835211973625643007 (32)
162259276829213363391578010288127 (33)
649037107316853453566312041152511 (33)
10384593717069655257060992658440191 (35)
170141183460469231731687303715884105727 (39)
2722258935367507707706996859454145691647 (40)
11
prim
prim
prim
prim
prim
prim
prim
prim
prim
prim
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
pi # Stellen
5
2
7
3
11
4
13
4
17
6
19
6
23
7
29
9
31
10
37
12
41
13
43
13
47
15
53
16
59
18
61
19
67
21
71
22
73
22
79
24
83
25
89
27
97
30
101
31
103
32
107
33
109
33
113
35
127
39
131
40
137
42
139
42
149
45
151
46
157
48
163
50
167
51
173
53
179
54
181
55
i pi # Stellen prim ? min:sec
prim ? min:sec
41 191
58
0:1
prim
42 193
59
0:1
prim
43 197
60
0:1
44 199
60
0:1
prim
45 211
64
0:1
prim
46 223
68
0:2
prim
47 227
69
0:2
48 229
69
0:2
49 233
71
0:2
prim
50 239
72
0:2
51 241
73
0:2
52 251
76
0:3
53 257
78
0:3
54 263
80
0:3
55 269
81
0:3
56 271
82
0:3
prim
57 277
84
0:4
58 281
85
0:4
59 283
86
0:4
59 283
86
0:4
60 293
89
0:4
61 307
93
0:5
prim
62 311
94
0:5
63 313
95
0:5
64 317
96
0:5
65 331
100
0:6
prim
66 337
102
0:7
67 347
105
0:7
68 349
106
0:7
prim
69 353
107
0:8
70 359
109
0:8
71 367
111
0:9
72 373
113
0:9
73 379
115
0:9
74 383
116
0:10
75 389
118
0:10
76 397
120
0:11
0:1
77 401
121
0:11
0:1
78 409
124
0:12
0:1
79 419
127
0:13
0:1
80 421
127
0:13
12
i
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
pi # Stellen prim ? min:sec i pi # Stellen prim ? min:sec
204
0:54
431
130
0:14 121 677
206
0:55
433
131
0:14 122 683
209
0:56
439
133
0:15 123 691
212
0:59
443
134
0:15 124 701
214
1:1
449
136
0:16 125 709
217
1:3
457
138
0:17 126 719
219
1:5
461
139
0:17 127 727
221
1:7
463
140
0:17 128 733
223
1:8
467
141
0:18 129 739
224
1:10
479
145
0:19 130 743
227
1:12
487
147
0:20 131 751
228
1:13
491
148
0:21 132 757
230
1:15
499
151
0:21 133 761
232
1:17
503
152
0:22 134 769
233
1:18
509
154
0:23 135 773
237
1:22
521
157
prim
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