U I U RI = −

EGRU
Seite 1
1. Kirchhoffsches Gesetz / Knotenregel
An jedem Knoten gilt zu jedem Zeitpunkt:
aller den Knoten verlassenden Ströme = Null
2. Kirchhoffsches Gesetz / Maschenregel
In jeder Masche gilt zu jedem Zeitpunkt:
aller in Umlaufrichtung gezählten Spannungen = Null
Reihen- & Parallelschaltung
Spannungsteilung / Stromteilung /
Reihenschaltung
Parallelschaltung
U1 R1
R2
=
I1 = I g
U 2 R2
R1 + R2
Kennlinien
U in Abhängigkeit von I
U ( I ) = U0 − Ri I
Ik =
I in Abhängigkeit von R
I ( R) =
U0
Ri
U0
R + Ri
U in Abhängigkeit von R
U ( R ) = I ⋅ R = U0
Hyperbel
R
R + Ri
Hyperbel
Arbeitsgerade
Bestimmung (Messung) von U 0 & Ri
Kurzschluß-Leerlauf-Messung
U0 = U l
Ri =
Ul
Ik
Netzwerkberechnung
Dreieck-Stern-Umwandlung
Leerlauf und definierte Belastung
U0 = U l
Ri =
I=
U0
R + Ri
U0
U
− R = R 0 −1
I
U
Stern-Dreieck-Umwandlung
R1 =
R12 ⋅ R31
R12 + R23 + R31
R12 = R1 + R2 +
R1 R2 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
=
R3
R3
R2 =
R12 ⋅ R23
R12 + R23 + R31
R23 = R2 + R3 +
R2 R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
=
R1
R1
R3 =
R31 ⋅ R23
R12 + R23 + R31
R31 = R1 + R3 +
R1 R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
=
R2
R2
Leistungsanpassung
…
2 unterschiedliche Lastfälle
Ri =
U 2 − U1
I1 − I 2
U 0 = U1 + R i I1
EGRU
Seite 2
Kräfte zwischen
elektrischen Lad
Energie elektrostat. Feld
Kapazität von
Kondensatoren
Berechn. elektrostatische Felder
elektrische Feldgrößen
allgemein
DAS ELEKTRISCHE FELD
As
Die Elementarladung beträgt e = 1, 602 ⋅10−19 As.
Feldkonstante oder Permittivität des leeren Raumes: 0 = 8,854 ⋅10−12
Elektron (-) & Proton (+) sind Träger dieser Ladung.
Vm
elektrische Ladung
elektrische Feldstärke
Energie
Spannung im inhomogenen Feld
2
Q = I t = CU
W = F s = Q E s = QU
F
U
N V As V
E=
E=
E =
=
=
U = E ⋅ ds
[Q ] = As
Q
As As m m
[W ] = W s = J
l
1
elektrische Fluss
elektrische Flussdichte
ψ Q
As
ψ = D da
ψ =Q
D = = = ε E ( mit: ε = 0 ε r )
[ D] = 2
A
A A
m
Feld der geladenen Kugel
Feld in der Umgebung mehrerer Ladungen
∞
∞
∞
E = E1 + E2
Q
Q
Q
Q
Q
1
E=
D=
−
=
ϕ = E dx =
dx =
2
2
2
4 r
4 εr
x r 4 εr
4 ε
1 Q1 Q2
r
r 4 ε x
ϕ=
+
Feld des geladenen, langen, geraden Leiters
4 ε r1
r2
ra
ra
r
Q
Q
Q dx
Q
D=
ϕ = E dx =
=
ln a
E=
2 rl
2 ε rl
2
l
x
2
l
r
ε
ε
r
r
Q
U
As
[C ] = = F
V
C=
Plattenkondensat.
A
C =ε
d
Energie des geladenen Kondensator
1
1 Q2
W = CU 2 =
2
2 C
Kugelkondensator
rr
C=4 ε i a
ra − ri
Zylinderkondensator
2 εl
C=
r
ln a
ri
Energiedichte im elektrostatischen Feld
dW
1
1 D2 1
w=
=
ε E2 =
= ED
dV Platten2
2 ε
2
kondensator
Kräfte zwischen zwei Punktladungen (Coulomb’sche Gesetz)
QQ
V As
F = E1 Q2 = 1 22
=N
[F ] =
m
4 εr
Parallelschaltung:
Feldgrößen
n
k =1
Reihenschaltung:
W = w dV =
V
1
=
C
Ck
n
k =1
1
Ck
1
E D dV
2V
Kräfte zwischen Elektroden
(parallele Platten, Ladung gleicher Betrag, entgegensetzte Vorz.)
1U2 C
F=
2 s
DAS ELEKTRISCHE STRÖMUNGSFELD
Stromdichte
2
E=ρJ
E=ρJ
I = J dA Leistungsdichte
U = E ds
A
J = 2
S =EJ
J =κ E
A
J =κ E
1
m
konzentrisch angeordnete, dünnwandige
koaxial angeordnete, dünnwandige
Metallhohlkugel, mit leitfähigen Medium Metallrohre, mit leitfähigen Medium
r
ρ
ρ 1 1
R=
ln a
R=
−
2 l
ri
4 ri ra
Bestimmung von
Widerständen
C=
P = E J dV
V
EGRU
Seite 3
magnetische Feldgrößen
DAS MAGNETISCHE FELD
Ringspule
( l = mittlere Feldlinienlänge )
elektrische
Durchflutung
Θ=IN
N : Anz der Windungen
magn. Fluss
Φ=BA
Selbstinduktion
magnetischer
Kreis
Durchflutungsgesetz
[ Φ ] = Vs = Weber = Wb
einzelner gerader Leiter
Θ=I
I
H=
2 r
magnet. Feldstärke
Vs
IN Θ
[ B ] = 2 = Tesla = T
=
H=
m
l
l
Vs
A
Permeabilität des leeren Raum: 0 = 4 ⋅10−7
[H ] =
Am
m
2
magn.
Spannung
im
Luftspalt
Φ = B dA
Vm12 = H ds
Vm = H s
A
[Vm ] = [ H ][ s ] = A
magnetische Umlaufspannung
Vm = H ds = H 2 r
für Kreisumfang
elektrische Durchflutung
Θ = H ds
1
Durchflutungsgesetz:
Das Linienintegral der magnetischen Feldstärke längs eines
geschlossenen Weges (und somit die magnetische Umlaufspannung
längs dieses Weges) ist gleich der elektr. Durchflutung der Fläche,
die von dem genannten Weg begrenzt wird.
s
magn. Widerstand
l
A
Rm =
[ Rm ] =
µA
Vs
Hl
N
Induktivität (nicht
ferromagnetisches Material)
µA
1
= N2
L = N2
l
Rm
Vs
= Henry = H
A
fest gekoppelt
[ L] =
Übertrager
u 1 = L1
u2 = M
di 1
dt
di 1
+M
+ L2
di 2
dt
di 2
u 1 = L1
u2 = M
di 1
dt
di 1
dt
+M
+ L2
ideal gekoppelt
di 2
M 2 = L1 L 2
dt
di 2
u1
u2
dt
=
w1
w2
=
u1
u2
L1
i1
L2
i2
dt
dt
2
M = (1 − σ ) L1 L 2
DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
z = a + j b = r ⋅ e jϕ
z = z = a 2 + b2
Grundbegriffe
I=
ohmsches Gesetz des
magn. Kreises
Θ = Φ Rm
Selbstinduktionsspannung
einer Spule
dΦ
di
=L
u=N
dt
dt
lose gekoppelt
a = r ⋅ cos ϕ
b = r ⋅ sin ϕ
ϕ = arg z =
z = r ( cos ϕ + j sin ϕ )
z* = a − j b = r ⋅ e
− jϕ
b
a
b
arctan ±
a
−
U = U e jϕu
I =Ie
jϕ i
ϕ = ϕu − ϕ i
[f]=
1
= Hz
s
=−
w2
w1
=ü
=−
z j ϕ −ϕ
= 1 e ( 1 2)
z 2 z2
, a = 0 und b < 0
ω
w2
z1
, a = 0 und b > 0
2
w1
1
ü
j ϕ1 +ϕ2 )
,a < 0
2
=
z1 z 2 = z1 z2 e (
,a > 0
arctan
GRUNDBEGRIFFE DER WECHSELSTROMTECHNIK
Periodendauer
u = u ( t ) = uˆ cos (ω t + ϕu ) = 2 Im (U )
2
T=
i = i ( t ) = iˆ cos (ω t + ϕi ) = 2 Im ( I )
allgemeines über Wechselgrößen
magn. Flußdichte / magn. Induktion
B=µH
magn. Kraft
F = BIl
1
1
1
=
= e − jϕ
z z e jϕ z
1 ω
f = =
T 2
[ω ] = s −1
Komponenten
schreibweise
a1 a2 + b1 b2 + j ( a2 b1 − a1 b2 )
konjungiert
erweiteren
a2 2 + b2 2
Komponenten
schreibweise
konjungiert
erweiteren
Mittelwert
T
1
u=
u ( t ) dt
T 0
Effektivwert RMS
Gleichrichtwert
T
1
u =
u ( t ) dt
T 0
Formfaktor
T
U=
F=
1 2
u ( t ) dt
T 0
U
u
=
Wechsel
spannung
uˆ / 2
=
uˆ ⋅ 2 /
2 2
EGRU
Seite 4
( t ≥ 0 bedeutet: Schalter wurde betätigt )
EINSCHWINGVORGÄNGE MIT DGL AN GLEICHSPANNUNG
Aufstellen der DGL
R C − Reihenschaltung
(Einschaltvorgang)
t ≥ 0 : U = i R + uC
i=C
duC
= C uC
dt
uL = L
R C uC + uC = U
homogene Lösung
R C k p e pt + k e pt = 0
partikuläre Lösung
allg.
Lsg
spezielle Lösung
immer
kürzen
R C p +1 = 0
t
uch = k e R C
Zeitkonstante
1
T = − = RC
p
damit
uch = k e
−
di
= Li
dt
L
U
i +i =
R
R
1
p=−
RC
−
(Einschaltvorgang)
t ≥ 0 : U = i R + uL
R C uC + uC = 0
Ansatz:
uch = k e p t
einsetzen
L
i +i = 0
R
Ansatz:
ih = k e p t
einsetzen
L
k p e pt + k e pt = 0
R
R
p=−
L
−
ih = k e
Zeitkonstante
1 L
T =− =
p R
damit
t
T
−
immer
kürzen
L
p +1 = 0
R
tR
L
t
Anfangsbedingung, hier:
uc ( 0 + ) = 0
ih = k e T
Lösung vom Typ der „Störfunktion“ (rechte Seite der DGL)
Ansatz:
ip = K
in DGL:
U
U
K=
ip =
R
R
t
−
U
ia = ih + ip = k e T +
R
Anfangsbedingung, hier:
i ( 0+ ) = 0
Anfangsbedingungen werden immer aus den Größen gewonnen, die stetig
verlaufen müssen.
Anfangsbedingungen werden immer aus den Größen gewonnen, die stetig verlaufen
müssen.
Lösung vom Typ der „Störfunktion“ (rechte Seite der DGL)
Ansatz:
ucp = K
in DGL:
K =U
ucp = U
uca = uch + ucp = k e
−
k +U = 0
t
T
+U
k = −U
uc ( t ) = −U e
−
t
RC
+ U = U 1− e
k+
−
t
RC
R C − Reihenschaltung
(Abschaltvorgang)
t ≥ 0:
uc − i R = 0
R C u c + uc = 0
i =− C uc
Lösung
R L − Reihenschaltung
homogene DGL
uch = k e p t
partikuläre Lösung existiert nicht
Anfangsbedingung
uc ( 0 ) = k = U 0
uc ( t ) = U 0 e
−
t
RC
U
=0
R
i (t ) = −
k =−
U
R
tR
−
U − tLR U U
e + =
1− e L
R
R R
R L − Reihenschaltung
t ≥ 0:
u = L i = −i R
(Abschaltvorgang)
L
i +i = 0
R
homogene DGL
−
tR
i (t ) = k e L
partikuläre Lösung existiert nicht
Anfangsbedingung
U
i ( 0) =
Kurz- R
i
schluss
i (t ) =
U − tLR
e
Ri
EGRU
Seite 5
hom.
Lsg
Bsp
DGL
EINSCHWINGVORGÄNGE MIT DGL AN WECHSELSPANNUNG
R C uC + uC = u
RC-Reihenschaltung an u ( t ) = 2 U cos ω t
uch = k e
−
t
T
vom Typ der Störfunktion
ucp = K cos (ω t + ϕ )
partikuläre Lsg
BEI SINUSFÖRMIGER ERREGUNG, PARTIKULÄRE LÖSUNG IMMER DURCH KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG BESTIMMEN!
im Beispiel
u
U =U
sei speziell
1/ jω C
U
U
Uc = U
=
=
R + 1/ jω C 1 + jω R C ω = 1 1 + j
RC
U
Uc =
uˆcp = 2 U c = U
2
1
arg U c = − arg tan = −
1
4
allg Lsg
ucp ( t ) = U cos ω t −
uca ( t ) = k e
t
−
RC
4
+ U cos ω t −
4
spezielle Lsg
Anfangsbedingungen
uca ( 0 ) = 0
k+
uc ( t ) = U cos ω t −
U
2
4
=0
−
1
2
k=−
⋅e
−
U
2
t
RC
Regeln
EINSCHWINGVORGANG OHNE DGL
(i)
Eigenwerte bestimmen
- alle unabhängige Quellen zu Null setzen (Spannungsquelle zu Kurzschluss und Stromquelle zu Leerlauf)
- Eigenwerte des verbleibenden (passiven) Netzwerks bestimmen
(ii)
Anfangs- und Endwert bestimmen
(iii) (i) & (ii) liefern den Verlauf des Ausgleichvorgangs
Beispiel
Spannungsquelle kurzschließen
gesmater an L in Reihe liegender Widerstand
5
RS = R + R || 2 R = R
3
Zeitkonstante
3L
T=
5R
(i)
Berechnung von iL
(ii)
Anfangswert ( L → Leerlauf )
Anfangswert
iL ( 0 ) = 0
i2 ( 0 ) =
Endwert ( L → Kurzschluss )
C
L
u=0
Kurzschluss
i=0
i2 ( t ) =
für Zeigerdiagramm
i=0
Strom eilt der Spannung um 90 Grad
voraus
u=0
Spannung eilt dem Strom um 90 Grad
voraus
Kurzschluss
L
UH U
=
2 R 5R
U 1 2 − Tt
+ e
R 5 15
Hinweis: Faktor vor exp ergibt sich aus: Anfangswert - Endwert
t→∞
Leerlauf
( da i ( 0 ) = 0 )
damit
t
−
2U
1− e T
5R
t=0
Leerlauf
iL ( ∞ ) =
Energien
Übersicht
Zweipol
U
3R
Endwert
Spannung an 2R || R
2 R
2
UH = U 3 = U
5 R
5
3
UH 2 U
I L∞ =
=
R
5R
damit
iL ( t ) =
Berechnung i2 ( Strom durch 2R )
Während der Entladung von
C an R abgegebene Energie
1
W = CU 0 2
2
Während des Abschaltvorgangs
von L an R abgegebene Energie
1
W = L I 02
2
EGRU
Seite 6
DGL
REIHENSCHWINGKREIS (lineare DGL 2. Ordnung)
U = i R + L i + uc
τ := ω0 t
nomierte Zeit:
einführen
(i)
L C uc + R C uc + u c = U
i = C uc
d
d dτ
d
=
= ω0
=
dt dt dτ
dτ
(ii)
1
ω0 =
Q=
LC
d2
1 d2
=
dt 2 L C dτ 2
1
d
L C dτ
1 L
R C
in DGL:
L C d 2 uc
R C duc
+
+ uc = U
2
L C dτ
L C dτ
d 2 uc 1 duc
+
+ uc = U
dτ 2 Q dτ
uch = k e p τ
Ansatz:
k
p
p e pτ + k e p τ = 0
p2 + + 1 = 0
Q
Q
Fallunterscheidung (im Beispiel):
A) reelle Lösung
B) komplexe Lösung
einsetzen: k p 2 e pτ +
starke Dämpfung
( Q < 0,5 )
schwache Dämpfung
p1,2 = −
−1 ± 1 − 4Q 2
1
1
1
±
−
=
2Q
2Q
4Q 2
C) doppelte Nullstelle
( Q > 0,5 )
kritische Dämpfung,
p1,2 = −α ± j β
p1,2 negativ reell
homogene Lsg
Güte
p1 =
−1 + 1 − 4Q 2
=: − a
2Q
α=
p2 =
−1 − 1 − 4Q 2
=: −b
2Q
β=
aperiodischer Grenzfall
( Q = 0,5 )
1
2Q
p1 = p2 = −
+ 4Q 2 − 1
2Q
1
= −1
2Q
uch = k1e−τ + k2τ e −τ
uch = K1 e( −α + j β )τ + K 2 e( −α − j β )τ
uch = K1 e − a τ + K 2 e − bτ
Damit uch reell wird, muss K1 = K 2 * sein
K1 = 0,5 ( A − j B )
&
0,5: für später
K 2 = 0,5 ( A + j B )
( A − j B ) e j β τ + ( A + j B ) e-j β τ
= e −α τ [ A cos τ + B sin β τ ] = uˆch e −α τ cos ( β τ + ϕ )
auch
Ansatz:
ucp = K
in DGL: K = U
2 offene Konstanten
allg
Lsg
partkl
Lsg
uch = e −α τ 0,5
uca = uch + ucp
brauchen 2 Anfangsbedingungen
uc ( 0 ) = 0
∗ Kapazitätsspannung stetig
∗ Induktionsstrom stetig
i ( 0) = 0
wegen
i = C uc
spezielle Lösung
uc ( 0 ) = 0
Fallunterscheidung:
A) uca = K1 e − a τ + K 2 e − bτ + U
uca = −a K1 e − a τ − b K 2 e − bτ
Anfangsbedingungen liefern
lineares GLS für K1 & K 2 :
1
1 K1
−U
=
0
−a −b K 2
b
a −b
a
K2 = U
b−a
K1 = U
( = 0)
( = 0)
τ =0
τ =0
B) uca = U + e −α τ ( A cos τ + B sin β τ )
τ =0
C) uca = U + k1e −τ + k2τ e −τ
k1 = −U
A = −U
τ =0
duca
= −e −α τ ( A cos τ + B sin β τ ) +
dτ
+ e −α τ ( − A sin τ + B β conβ τ )
τ =0
−α A + β B = 0
B=−
α
U
β
duca
= −k1 e −τ + k2 e −τ − k2 τ e −τ
dτ
k1 = k2 = −U
τ =0
EGRU
Seite 7
Beispiel
gebrochen lineare Funktion
ORTSKURVEN (engl: locus (of points))
Konstruktion (zB):
Eine Funktion
x=0
z ( 0)
a 0 + a1 x
z ( x) =
x
=
1
z (1)
b0 + b1 x
x=∞
z (∞)
heißt gebrochen linear.
Spezialfälle:
a0 = 0
a1 = 0
b0 = 0
b1 = 0
Eigenschaften
Kehrwertbildung
Summen von
OKn
z ( 0) = 0
z (∞) = 0
z ( 0) → ∞
Kreis liegt symmetrisch zur reellen Achse
es genügen 2 Punkte
R L-Reihenschaltung
1
Y (ω ) =
R + jω L
Z
∗
∗
∗
b0 = R
Halbkreis, Halbgerade
Y (0) =
Y ( −ω ) = Y (ω ) *
a0 = 1
1
R
reell!
Mittelpunkt
Radius 1 2 R
Kreis sym. zur re. Achse
a1 = 0
2R
,
Funktion Z sei darstellbar Z = Z 1 + Z 2
Dann OK zu Z : Geometrische Addition der OKn zu Z 1 & Z 2
Achtung! Punkte, die zum selben Wert des Parameters ( z.B. ω ) gehören, müssen addiert werden.
i (t ) =
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
U = U e jϕ
I =
(ii)
Zeiger der gesuchten Reaktion (U , I ) berechnen
(ii) & (iii) für alle anderen Quellen wiederholen
Zeiger der Reaktionen summieren
Zur Zeitfunktion ( u ( t ) , i ( t ) ) übergehen
Nur eine Quelle wirken lassen
Spannungsq. zu Kurzschluss und Stromq. zu Lerrlauf
(i)
Nur eine Quelle wirken lassen
(iv) Zugehörige Zeitfunktion berechnen
(ii)
Zeiger dazu berechnen
(v)
(i) … (iv) für alle anderen Quellen wiederholen
(iii) Zeiger der Reaktion berechnen
(vi) Zeitfunktionen summieren
Periodische Funktionen ( Periode T ) können in FOURIER-Reihen entwickelt werden:
∞
c cos ( ω 0 t + ϕ
)
2
T
=0
c , ϕ : Amplituden, Phasen der Teilschwingungen. "Fourier-Koeffizienten"
ω0 =
Bestimmung der c , ϕ :
FOURIER - Reihen
1
Einschränkung ω ≥ 0 :
R − jω L
Y= 2
Im Y < 0 für ω > 0
2
R + (ω L )
a1 = 0
Kreis durch Ur.
es ist der untere Halbkreis
b1 = j L
Impedanz / Admittanz von passivem (keine Quellen) Zweipol
OK verläuft in der abgeschlossenen (imag. Achse enthalten) rechten Halbebene
Impedanz von induktiven / Admittanz von kapazitivem passiven Zweipol
OK verläuft im 1. Quadranten
Impedanz von kapazitivem / Admittanz von induktivem passivem Zweipol
OK verläuft im 4. Quadranten
1
→ Y = bzw. umgekehrt
Z
ϕ
ψ = −ϕ
∗ Gerade durch Ursprung
Gerade durch Ursprung
Z =0
Y →∞
∗ Gerade nicht durch Ursprung
Kreis durch Ursprung. Und umgekehrt.
Z →∞
Y =0
∗ Kreis nicht durch Ursprung
Kreis durch Ursprung
f (t ) =
c0 =
1
T
T
f ( t ) dt = f
b =
k=
− arctan
b
a
a >0
− arctan
b
+
a
a <0
0
c = a 2 +b 2
a =
Klirrfaktor
- z = 0 ist Elem der OK
- Re z ≥ 0 ∀x
Imag. Achse ist in z = 0
Tangente an den Kreis
es genügt ein Punkt
In der Praxis häufig:
z nur für x ≥ 0 gefragt ( z.B. Z ( ω ) )
Kreis durch Ursprung
Kreis durch Ursprung
Kreis entartet zur Geraden
keine gebrochene Funktion, Gerade
ÜBERLAGERUNGSPRINZIP
(i)
Zeiger zu jeder Quelle berechnen
u ( t ) = 2 U cos (ω t + ϕ )
Quellen einer Frequenz
z (−x) = z ( x) *
3 Punkte ergeben einen Kreis
-
Quellen
unter. Freq
Tricks
2
T
T
2
T
T
f ( t ) ⋅ cos ( ω0 t ) dt
0
f ( t ) ⋅ sin ( ω0 t ) dt
0
Effektivwert der Oberschwingungen
Effektivwert des Gesamtsignals
ϕ =
−
2
2
a = 0, b > 0
a = 0, b < 0
EGRU
Seite 8
VIERPOLTHEORIE (ZWEITORTHEORIE)
Betrachte Ströme als Ursachen, Spannungen als Wirkung.
Admittanzmatrix
Impedannzmatrix
U 1 = z11 I 1 + z 12 I 2
U1
z 11 =
U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2
z 12 =
I1
U1
z 11
=
U2
z 21
z 12
z 22
z 22 =
I1
I2
U2
I2
z 21 =
Bei passiven Zweitoren gilt
Betrachte Spannungen als Ursachen, Ströme als Wirkung.
I 1 = y 11 U 1 + y 12 U 2
Bestimmung der y µν
z 12 = z 21
y 11 =
U1
y 12
y 22 =
U1
U2
y 22
y 12 =
U 2 =0
I2
U2
I1 =0
U2
I1
I 2 =0
( Z symmetrisch )
I1
In Matrixschreibweise:
y 11
I1
=
I2
y 21
I2
I1 =0
oder
U = Z⋅ I
I 2 = y 21 U 2 + y 22 U 2
U1
I 2 =0
In Matrixschreibweise:
I1
U2
y 21 =
U 1 =0
U 1 =0
I2
U1
U 2 =0
Bei passiven Zweitoren gilt
oder
I = Y⋅U
(Y
y 12 = y 21
symmetrisch )
Bestimmung der a µν
Fasse Strom & Spannung an je einem Tor zusammen
U 1 = a11 U 2 + a12 I 2′
a11 =
I 1 = a 21 U 2 + a 22 I 2′
Kettenmatrix
Bestimmung der z µν
U1
U2
= A⋅
I1
I 2′
a12 =
Man sieht:
U1
U2
a 21 =
I 2′ = 0
U1
I 2′
a 22 =
U 2 =0
I1
U2
I 2′ = 0
I1
I 2′
U 2 =0
Bei passiven Zweitoren gilt
det A = 1
a11 = a 22 = 1
a12 = Ω
a 21 = S
Zusammenschaltungen
Hypridmatrix
U 1 = h11 I 1 + h12 U 2
h12 = h 21 = 1
I 2 = h 21 I 1 + h 22 U 2
U1
h11
=
I2
h 21
h12
h 22
h11 = Ω
I1
U2
h 22 = S
Reihenschaltung von Zweitoren
U1
I1
= Z1 + Z 2
U2
I2
(
)
Z = Z1 + Z 2
Parallelschaltungen von Zweitoren
I1
U1
= Y1 + Y 2
I2
U2
(
)
Kettenschaltung von Zweitoren
U1
U2
= A1 ⋅ A2 ⋅
I1
I 2′
Y = Y1 + Y 2
A = A1 ⋅ A 2
Beachte! Im Allgemeine ist
A1 ⋅ A 2 ≠ A 2 ⋅ A1
Zusammenhang
zwischen Y & Z
Zusammenhänge
Y⋅ Z = E
Y= Z
−1
Z= Y
−1
Zusammenhang zwischen A & Z
a11 =
z11
Inversion einer 2 × 2 - Matrix
A=
z 21
a12 = −
z11 z 22 − z 12 z 21
1
=
y 21
z 21
a 21 =
1
z 21
a 22 =
z 22
z 21
−1
A =
a11
a21
a12
a22
a22
1
det A −a21
− a12
a11
det A = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
EGRU
Seite 9
∗ gleiche Amplitude
∗ gleiche Frequenz
(120° ) phasenverschoben
3
U1 = U U = U
U2 = UV = U e
−j
U3 = U W = U e
2
3
j
2
3
2
3
(
1
−1 + j 3
2
U U = U 0° = U
a := e
Schreibweisen
2
j
=
U V = U −120° = U a
U12 + U 23 + U 31 = 0
Voraussetzung
∗ um je
Dreieckschaltung
Sternschaltung
Erzeugung
DREHSTROMTECHNIK
In den Ständerwicklungen ( U, V, W ) werden Spannungen induziert
u12 + u23 + u31 = 0
)
U2 = U e
−j
2
3
uU ( t ) = 2 U cos (ω t )
uV ( t ) = 2 U cos ω t −
2
3
uW ( t ) = 2 U cos ω t +
2
3
∗ alle Effektivwerte gleich
∗ Phasendifferenz 2 3
Symmetrische Drehstromquelle
verkettete Spannungen
U 12 = 400V 30°
= U −120°
Analog für Ströme, Impedanzen,
U 23 = 400V −90°
U 31 = 400V 150°
2
U W = U 120° = U a
a2 + a +1 = 0
symm. Last an symm. Quelle
Ohmsche Last in Sternschaltung
U U
I 1S = 1 =
R R
U 2
I 2S = a
R
U
I 3S = a
R
U12 = 3 U
Effektivwerte:
Strangströme in ∆-Schaltung
3U
= 3 I1S = I 23 = I 31
R
Außenleiterströme in Dreieckschaltung:
I 1D = I 12 − I 31
I12 =
I 2D = I 23 − I 12
I1D = 3 I12 = 3 I1S = I 2D = I 3D
Phasenlagen:
I 1D in Phase mit U 1
I 2D
Reaktive Last in Sternschaltung
Z = Z e jϕ
I 1S =
U 1 U − jϕ
=
e
Z
Z
I 2S =
U 2 − jϕ
a e
Z
I 3S =
U
a e − jϕ
Z
IN ≤ I
I 1S = I 2S = I 3S =
U
Z
I12 = 3 I1S
I1D = 3 I1S
I 1D =
3U − jϕ
e
Z
Ohmsche Last in Sternschaltung
ohne Nullleiter
I 1 R 1 − I 2 R 2 = U1 − U 2
I 2 R2 − I 3 R3 = U2 −U3
I1 + I 2 + I 3 = 0
Verschiebung des Sternpunktes:
U N = U 1 − I 1 R1
U
a
R3
IN =U
Effektivwerte:
Dreieckschaltung: ganz analog
U 2
I2 =
a
R2
I3 =
U
R
U 2
=3 a
R
U
=3 a
R
I 1D = 3
I 2D
I 3D = I 31 − I 23
Ohmsche Last in Sternschaltung
mit Nullleiter
U
I1 =
R1
unsymm. Last an symm. Quelle
Ohmsche Last in Dreieckschaltung
2
=
U 1 R 2 R 3 + U 2 R1 R 3 + U 3 R1 R 2
1 a
a
+
+
R1 R 2 R 3
max
Reaktive Last in Sternschaltung mit Nullleiter
U
I1 =
U
I3 =
a
Z1
Z3
U 2
I2 =
a
I N = I1 + I 2 + I 3
Z2
R1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1
Ohmsche Last in Dreieckschaltung
U 1 −U 2
I 12 =
R12
I1 =
U 1 −U 2
R12
−
U 3 −U 1
R 31
EGRU
Seite 10
LEISTUNG IM DREHSTROMSYSTEM
P = U1 I1 + U 2 I 2 + U 3 I 3
gilt für:
∗ Zeitfunktion / Zeiger
∗ Augenblicksleistung / komplexe Leistung
∗ Wirk- / Blind- / Scheinleistung
P = (U1 − U 2 ) I12 + (U 2 − U 3 ) I 23 + (U 3 − U1 ) I 31
Berechnung der Leistung
Augenblicksleistung im symmetrischen System
p ( t ) = u1 i1 + u2 i2 + u3 i3
= 2U I cos ω t ⋅ cos (ω t − ϕ ) + cos ω t −
2
2
⋅ cos ω t − ϕ −
+ cos ω t +
2
2
⋅ cos ω t − ϕ +
2
2
cos α ⋅ cos β = 0,5 cos (α + β ) + cos (α − β )
= U I cos ( 2 ω t − ϕ ) + cos ϕ + cos 2 ω t −
4
4
− ϕ + cos ϕ + cos 2 ω t −
− ϕ + cos ϕ
3
3
= 3U I cos ϕ = PW = konstant für alle symmetrischen Belastungen
P = U I e jϕ + U a 2 ⋅ I ( a 2 ) e jϕ + U a ⋅ I a * e jϕ
*
P =U I* =
= 3U I e jϕ
Blindleistungskompensation
2
2
PS = 3U I = P
PS = VA
PW = 3U I cos ϕ = Re ( P )
PW = W
PB = 3U I sin ϕ = Im ( P )
PB = var
Reaktiver Verbraucher, der
Blindleistung umgekehrten
Vorzeichens aufnimmt,
wird parallel geschaltet.
P = U I 1D ⋅ e
tan ϕ =
PB
PW
∆ϕ 1
+ I 2D ⋅ e
∆ϕ 1 = ϕ U 1 − ϕ I 1D
PS2 = PW 2 + PB 2
PB neu = PB ⋅ tan ϕ neu
∆PB = PB neu − PB
unsymmetrische Last
U2
=U2 Y*
Z*
cos ϕ =
PB
PW
∆ϕ 2 = ϕ U 2 − ϕ I 2D
∆ϕ 3 = ϕ U 3 − ϕ I 3D
∆ϕ 2
+ I 3D ⋅ e
∆ϕ 3