Errata zu Goebbels, Ritter: Mathematik verstehen und

1
Errata zu Goebbels, Ritter: Mathematik verstehen
und anwenden
Stand 20. Februar 2013
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gedruckt
korrekt
36
Beispiel 1.26
= 0,22+
= 0,12+
43
Definition 1.12
siehe Anhang 1 im
Anschluss an die Tabelle
47
zweiter Satz
In der Mathematik nennt man
eine annähernde Berechnung
eine Approximation.
49
Tabelle 1.5
77
Definition 1.28
101
Zeile 3
108
Abb. 1.32
Griechische Buch-
Ausgewählte griechische
staben
Buchstaben
k∈Z
k∈N
tan y
− tan y, der Wert ist
h(0,8)
h(0,65)
positiv, da Quotient zweier
negativer Strecken
170
nach erster
Dieser Ansatz klappt, wenn
Formelzeile
man zu Zeilen ausschließlich
Vielfache von vorangehenden
Zeilen addiert. Addiert man
nachfolgende Zeilen oder vertauscht man Zeilen, erhält
man keine linke Dreiecksmatrix. Zu jeder Matrix gibt es
eine Umsortierung der Zeilen,
für die der Algorithmus
171
Zeile 4
9 9 17
4 , 16 , 8
funktioniert.
9
1 17
4, −8, 8
2
230
letzte Zeile
∞
P
k=1
239
244
245
1
k2
=1+
∞
P
k=2
1
k2
n
P
k=1
1
k2
=1+
n
P
k=2
1
k2
Kasten
besitzt ein größtes
besitzt ein größtes
Zeile 1
nk , so dass
S
1
1
/ m
k=1 ] nk ,1[
nk +1 ∈
|x| < π/2
n0 ∈ {n1 , . . . , nm },
S
1
so dass n01+1 ∈
/ m
k=1 ] nk ,1[
]x0 − δ, x0 [
]x0 − δ0 , x0 [ und die
Zeile 25
0 < x < π/2
(für −π/2 < x < 0 analog)
Bedingung |x − x0 | < δ
durch 0 < x0 − x < δ
ersetzt
245
Zeile 32
]x0 , x0 + δ0 [
]x0 , x0 + δ0 [ und die
Bedingung |x − x0 | < δ
durch 0 < x − x0 < δ
ersetzt
248
Zeile 14
262
Zeile 11
281
Zeile 16
Zeile 18
xn ∈ D
xn ∈ D \ {x0 }
für y0 = a oder
in Randpunkten
y0 = b einseitige
einseitige
f (x) 6= 0
f (x) > 0
x 6= kπ
df (dx) f ′ (x0 )·∆x
dx
∆x
x ∈]0, π[
df (dx)
dx
f ′ (x0 )·∆x
∆x
285
Zeile 9
292
Definition 2.25
293
Zeile 5
296
Zeile 2
limx→∞ g(x)
limx→±∞ g(x)
311
Zeile 20
338
Zeile 8
338
vor 2.6.7
Isaac Barrows
R n−1 1
Pn
1
dx
k=2 k2 ≤ 1
x2
1 n−1
1
= − n−1 + 1.
= −x
Pn 1 1 R n+1 1
k=1 k ≥ 2
x dx
= [ln |x|]n+1
= ln n+1
2
2 .
Isaac Barrow
Rn 1
Pn
1
k=2 k2 ≤ 1 x2 dx
n
= − x1 1 = − n1 + 1.
Pn 1 R n+1 1
k=1 k ≥ 1
x dx
=
x1 6= x2
(k > 1)
1
6
= [ln |x|]n+1
= ln(n + 1).
1
Zeile 10
=
341
Zeile 18
Mantelflächen
angenäherte Mantelflächen
343
Satz 2.50
x ∈ [a, b]
x ∈]a, b[
349
Beweis c)
f
(m)
(ξ(x ± h)) > 0
f (m) (ξ(x ± h)) < 0
=
2
6
339
f (m) (ξ(x0 ± h)) > 0
f (m) (ξ(x0 ± h)) < 0
3
371
vorletzte Zeile
für x0 = 0
für x0 = x
372
Zeile 1
b) Sei 0 < r < 1
402
Zeile 12
406
vorletzte Zeile
~ei × ~ei = 0
b) Sei 0 < r < ∞
~ei × ~ei = ~0
436
Zeile 9
438
Zeile 24
450
Zeile 17
~a × ~c = (0, 1, −1)⊤
~a × ~c = (0, −1, −1)⊤
(R, +; R, ·)
(Rn , +; R, ·)
k>2
Jetzt zeigen wir. . .
k≥2
siehe Anhang 3 im
Anschluss an die Tabelle
459
Zeile 3
462
Zeile 10
496
letzte Zeile
499
letzte Zeile
~x lineare
2
L:R →R
lineare
3
1
1
b1 , . . . ,!bn
a0
,
a1
L : R2 → R2
0
1
!
1
, d1n
d1 , . . . !
a1
a0
,
1
0
!
siehe Anhang 2 im
Anschluss an die Tabelle
509
Definition 4.3
aber f muss in einer
aber f muss in einer
(Klammer)
vollständigen Umgebung
vollständigen Umgebung
von ~
x0 erklärt sein
von ~
x0 mit Ausnahme der
Stelle ~
x0 erklärt sein
518
Definition 4.8ff
Jakobi
Jacobi
518
Definition 4.8
Jakobi-Matrix von f
Jacobi-Matrix von f~
520
Zeile 14
(grad f )(g(t))
(grad f )(~g(t))
544
Zeile 18
[x2,l−1 , x1,l ]
[x2,l−1 , x2,l ]
548
Zeile 2
= 2e
549
Satz 13
= 2(e − 1)
Zusätzlich müssen die
Integranden die Voraussetzungen von Satz 4.12
erfüllen.
558
Zeile 17
Viertelkugel
Achtelkugel
566
Definition 4.25
V2 (~
x) dx1
V2 (~
x) dx2
G⊂R
2
G ⊂ Rn
567
Definition 4.26
569
Zeile 4
Gebiet beweist man
Gebiet des R3 beweist man
569
Lemma 4.5
572
Zeile 13
Gebiet
~ (x, y) = (V1 (x), V2 (y))
V
Gebiet G ⊂ R3
~ (x, y) = (V1 (x, y),
V
4
V2 (x, y))
573
Beispiel 4.39
E := [0, 1] × [0, 1]
E :=]0, 1[×]0, 1[
∂f
∂y f (x, y)
∂
∂y f (x, y)
597
Zeile 1
625
Zeile 10
=⇒ µ(u) = u−2
=⇒ µ(u) = cu−2
636
Zeile 8
= A [~
y1 (x) . . . ~
y1 (x)]
= A [~
y1 (x) . . . ~
yn (x)]
640
Zeile 3
Zeile 9
−x
+(a2 − 3b2 )e−x
−(a2 + 3b2 )e
a2 + 3b2 = 0
a2 − 3b2 = 0
Zeile 10
b2 =
Zeilen 12/14
− 38 − 21 x + 16 e−x
657-
b2 = − 61
1
6
− 83 − 12 x − 16 e−x
Sowohl Polynomgrad als
659
auch Ordnung der
Differenzialgleichung
werden mit n bezeichnet,
können aber verschieden
sein.
665
675
Zeile 15/16
Zeile 22
Gegenkathete . . .
Ankathete . . .
Ankathete
Gegenkathete
Eine Periode ist dann
Eine Periode ist dann
gleich ω1 · q = ω2 · p
gleich
Orthogonalbbasis
P∞
Orthogonalbasis
Pn
multipliziert man
681
Zeile 15
688
Zeile 10
707
(6.19)
712
Definition 6.3
724
Zeile 22
725
Zeile 1
faltet man
733
Zeile 20
M exp((s0 − s)r)

1
1
1
1

 1 −j −1 +j


1 −1
 1 −1
754
Formel (6.43)
(ψk =
+j
−1
−j
·q
k=1
k=1
und |f (t)| auf
R∞
= 2π −∞ f (t)g(t)
ej[−ω]t dt
1
2π
2π
ω1 · p = ω2
π
2 − ϕk )
und f (t) auf
R∞
= −∞ f (t)g(t)ej[−ω]t dt






M exp([s0 − Re(s)]r)

1
1
1
1


−j −1 +j
1  1
4 
1 −1
 1 −1
1
+j
−1
−j






5
756
Zeile 2
762
Zeile 6
792
Beispiel 6.44
810
810

1
−1

 −1


 1
−1
1
−j
1
1
1
+j
1
−1


+j 


1 
−j
1
4

1

 −1


 1
−1
−1
1
−j
1
1
1
+j
1
−1


+j 


1 
−j
Zeile 3
= y−3 = y6 = · · · = 6
Pn−1 l 1
l=0 f fa ·
n
· exp −j2πk fla
= y−3 = y6 = · · · = 1
Pn−1 l 1
fa
l=0 f fa ·
· exp −j2πk nl
quater
quarter
Zeile 9
bei zwei Modalwerten
bei zwei deutlichen
(spricht man von)
Verteilungsgipfeln, die
einer bimodalen
nicht gleich groß sein
Verteilung
müssen, spricht man von
einer bimodalen Verteilung
819
830
Zeile 18
Zeile 24
gibt es in jedem Fall
kann es ein (globales)
ein (globales) Minimum
Minimum geben
|{(xi1 , . . . , xim ) :
|{(x1 , . . . , xm ) ∈
i1 ≤ i2 ≤ · · · ≤ im }|
{1, 2, . . . , n}m :
x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xm }|
837
Zeile 19
nur, falls E2 eintritt
nur, falls F2 eintritt
866
unten
stochastischer
stochastischer
Konvergenz oder
Konvergenz
schwacher Konvergenz
869
Zeile 5
Standardnormal-
Normalverteilung
verteilung
871
872
Zeile 4
√σ Yn
n
+µ≤x
x−µ
√σ Yn (ω)
n
Yn (ω) ≤
+µ≤x
x−µ
Zeile 5
Yn ≤
Beispiel 7.49
nicht mehr als ein
weniger als ein
vorgegebenes ε von π
vorgegebenes ε von π
abweicht, kleiner als
abweicht, größer als
0,001 ist
0,999 ist
Φ(x) ≥ 0,9995
Φ(x) > 0,9995
873
Zeile 4
875
unten
σ
√
n
σ
√
n
Eine Schätzfunktion θ̂
Eine erwartungstreue
heißt konsistent
Schätzfunktion θ̂
6
882
Zeile 12
895
Zeile 17
q
0,05−2,5758 0,05·0,95
2 000
Hachenbacher
heißt konsistent
q
0,05+2,5758 0,05·0,95
2 000
Hachenberger
Anhang
1. Präzisierung der Definition 1.12 (S. 43), mit der reelle Zahlen
axiomatisch eingeführt werden
Ein Körper K, der als Menge total geordnet ist und für den die Ordnung verträglich
mit Addition und Multiplikation ist, d. h. für alle a, b, c ∈ K gilt
a>b
=⇒
a + c > b + c,
a>0∧b>0
=⇒
a · b > 0,
und für den das sogenannte Vollständigkeitsaxiom gilt, heißt ein ordnungsvollständiger geordneter Körper.
Vollständigkeitsaxiom:
Jede nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge E ⊂ K
hat ein Supremum in K.
Man kann zeigen, dass die reellen Zahlen R dadurch charakterisiert sind, dass
sie einen ordnungsvollständigen geordneten Körper bilden. Sie sind durch diese Eigenschaft im Wesentlichen (bis auf Umbenennung der Zahlen) eindeutig definiert. Es gibt
also in diesem Sinne genau eine Zahlenmenge, die ein ordnungsvollständiger geordneter
Körper ist, die vorangehenden Axiome legen das Zahlensystem R fest und beschreiben
es komplett. Man kann außerdem zeigen, dass der Körper Q in diesem Zahlensystem
enthalten ist.
7
2. Korrektur der Rechnung von Seite 499/500
an
an−1
!
"
=
X
=
1
√
5
"
1
√
5
"
1
√
5
"
=
1
1
1
0
Φn−1
=
=
"
Φ
1
Φ
1
Φ
1
#n−1
a1
a0
#
!
"
= X
"
Φ
0
0
1
−Φ
!
1
0
−1
1 n−1 X
0
0 −Φ
#"
1
Φn−1
0
−Φ
1 n−1
1
0 −Φ
#"
1
Φn−1
0
−Φ
1 n−1
1
0 −Φ
#
!
1
Φn−1
−Φ
=
1 n−1
1
− −Φ
#"
#
#
1
1
Φ
−1
Φ
!
1
−1
1
√
5
−1
X
#n−1
#
1
0
1
0
!
!
!
1 n
Φn − − Φ
.
1 n−1
Φn−1 − − Φ
Dies ist die Binet-Formel für die Fibonacci-Folge. Damit ist aber
1 n
Φn − − Φ
an
= lim
= Φ,
lim
n→∞ Φn−1 − − 1 n−1
n→∞ an−1
Φ
1 n−1
1 n
1
denn wegen 0 < Φ
= limn→∞ − Φ
= 0. Damit strebt die
< 1 ist limn→∞ − Φ
n
tatsächlich gegen den goldenen Schnitt Φ.
Folge der Quotienten aan−1
3. Verdeutlichung des Beweises von Seite 450, ab Zeile 17
Jetzt zeigen wir, dass p
~ der eindeutige Vektor aus U ist, der einen minimalen Abstand
zu ~a hat (so dass die vorangehende Definition sinnvoll ist). Dazu sei ~
q ∈ U beliebig
gewählt:
|~a − ~
q |2
=
=
|(~a − p
~) + (~
p−~
q)|2 = ((~a − ~
p) + (~
p−~
q )) · ((~a − ~
p) + (~
p−~
q ))
|~a − p
~|2 + |~
p−~
q|2 + 2(~a − p
~) · (~
p−~
q ),
wobei der letzte Summand wegen p
~−~
q ∈ U und ~a − p
~ ⊥ U verschwindet. Damit ist
|~a − ~
p|2 + |~
p−~
q |2 = |~a − ~
q |2 ,
| {z }
≥0
und wir erhalten |~a − p
~| ≤ |~a − ~
q |. Da für p
~ 6= ~
q sogar |~a − p
~| < |~a − ~
q| gilt, haben wir
auch die Eindeutigkeit des Minimums p
~ gezeigt.
http://www.springer.com/978-3-8274-3007-6