Grundwissen Jahrgangsstufe 5 - Gymnasiums Ernestinum Coburg

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GRUNDWISSEN
MATHEMATIK
Gymnasium Ernestinum Coburg
Fachschaft Mathematik
Grundwissen Jahrgangsstufe 5
GM 5.1 Zahlen und Mengen
Mengen werden in der Mathematik mit geschweiften Klammern geschrieben:
ℕ = {1; 2; 3; ...}
•
Menge der natürlichen Zahlen:
•
Menge der natürlichen Zahlen und der Zahl Null:
ℕ0 = {0; 1; 2; 3; ...}
•
Menge der ganzen Zahlen:
ℤ = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
Die Zahl -2 ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl.
Man schreibt: -2 ∈ ℤ, -2 ∉ ℕ
Man spricht: Die Zahl -2 ist ein Element der Menge der ganzen Zahlen, die Zahl -2 ist kein
Element der Menge der natürlichen Zahlen.
Zahlen mit besonderen Eigenschaften:
• Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, z.B. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 usw.
Die Zahl 1 ist keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler.
• Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst
multipliziert, z.B. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 usw.
Anordnung der ganzen Zahlen:
Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige kleiner, die auf der Zahlengerade weiter links liegt.
Man schreibt: -4 < -1 („-4 ist kleiner als -1“)
3 > 0 („3 ist größer als 0“)
Betrag einer Zahl:
Die Entfernung einer Zahl vom Nullpunkt der Zahlengeraden heißt Betrag der Zahl. Die Zahl
+4 hat den Betrag 4, die Zahl -6 hat den Betrag 6. Die Zahlen -5 und +5 haben beide den
gleichen Betrag. Sie unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen. Solche Zahlen heißen
Gegenzahlen.
2
GM 5.2 Rechnen mit ganzen Zahlen
Terme sind Rechenausdrücke. Man unterscheidet vier Rechenarten und somit auch vier Termarten:
• Addition
12 + 4 = 16
Der Term 12 + 4 ist eine Summe.
12 heißt 1. Summand, 4 heißt 2. Summand, 16 heißt Wert der Summe.
•
Subtraktion
12 – 4 = 8
Der Term 12 – 4 ist eine Differenz.
12 heißt Minuend, 4 heißt Subtrahend, 8 heißt Wert der Differenz.
•
Multiplikation
12 ⋅ 4 = 48
Der Term 12 ⋅ 4 ist ein Produkt.
12 heißt 1. Faktor, 4 heißt 2. Faktor, 48 heißt Wert des Produkts.
•
Division
12 : 4 = 3
Der Term 12 : 4 ist ein Quotient.
12 heißt Dividend, 4 heißt Divisor, 3 heißt Wert des Quotienten.
Addieren ganzer Zahlen:
• Haben beide Summanden das gleiche Vorzeichen, so wird das gemeinsame Vorzeichen
beibehalten und die Beträge der Summanden addiert.
(+3) + (+8) = + (3 + 8) = +11
(–5) + (–7) = – (5 + 7) = –12
• Haben die zwei Summanden verschiedene Vorzeichen, so übernimmt man das Vorzeichen des
Summanden mit dem größeren Betrag und bildet die Differenz aus dem größeren und dem
kleineren Betrag.
(+3) + (–8) = – (8 – 3) = –5
(–11) + (+6) = – (11 – 6) = –5
Subtrahieren ganzer Zahlen:
Eine Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert.
(+5) – (+8) = (+5) + (–8) = – (8 – 5) = –3
(+3) – (–11) = (+3) + (+11) = + (3 + 11) = +14
Kurzschreibweise beim Addieren und Subtrahieren:
Schreibt man einen Term so, dass als Rechenzeichen nur das Pluszeichen auftritt, dann kann
man alle Rechenzeichen und alle Zahlenklammern weglassen. Außerdem kann man beim ersten
Summanden das Vorzeichen weglassen, falls es sich um ein Pluszeichen handelt.
(+5) + (–3) – (–8) – (+7) = (+5) + (–3) + (+8) + (–7) = 5 – 3 + 8 – 7
Multiplizieren ganzer Zahlen:
• Haben beide Faktoren das gleiche Vorzeichen, so ist der Produktwert positiv.
(+3) ⋅ (+8) = + (3 ⋅ 8) = +24
(–5) ⋅ (–7) = + (5 ⋅ 7) = +35
• Haben die beiden Faktoren verschiedene Vorzeichen, so ist der Produktwert negativ.
(+3) ⋅ (–8) = – (8 ⋅ 3) = –24
(–11) ⋅ (+6) = – (11 ⋅ 6) = –66
Dividieren ganzer Zahlen:
• Haben Dividend und Divisor das gleiche Vorzeichen, so ist der Quotientwert positiv.
(+18) : (+6) = + (18 : 6) = +3
(–18) : (–6) = + (18 : 6) = + 3
• Haben Dividend und Divisor verschiedene Vorzeichen, so ist der Quotientwert negativ.
(+18) : (–6) = – (18 : 6) = –3
(–18) : (+6) = – (18 : 6) = –3
3
Rechengesetze:
• Kommutativgesetz der Addition (Multiplikation)
Innerhalb einer Summe (eines Produkts) darf man die Summanden (Faktoren) beliebig
vertauschen.
144 + 213 + 56 = 144 + 56 + 213 = 200 + 213 = 413
25 ⋅ 13 ⋅ 8 = 25 ⋅ 8 ⋅ 13 = 200 ⋅ 13 = 2600
Dies gilt nicht für die Subtraktion und die Division!
•
Assoziativgesetz der Addition (Multiplikation)
Innerhalb einer Summe (eines Produkts) darf man Klammern beliebig setzen oder weglassen
(267 + 173) + 27 = 267 + 173 + 27 = 267 + (173 + 27) = 267 + 200 = 467
(72 ⋅ 25) ⋅ 4 = 72 ⋅ 25 ⋅ 4 = 72 ⋅ (25 ⋅ 4) = 72 ⋅ 100 = 7200
Rechenregeln:
• Punkt vor Strich: Punktrechnungen werden vor Strichrechnungen ausgeführt.
f a l s c h:
329 – 29 ⋅ 4 = 300 ⋅ 4 = 1200
r i c h t i g:
329 – 29 ⋅ 4 = 329 – 116 = 213
•
Klammern zuerst: Terme, die in Klammern stehen, werden zuerst berechnet.
f a l s c h:
(53 – 8) ⋅ 6 = 53 – 8 ⋅ 6 = 53 – 48 = 5
r i c h t i g:
(53 – 8) ⋅ 6 = 45 ⋅ 6 = 270
•
Die Rechenregeln legen die Reihenfolge fest, in der die einzelnen Rechenoperation eines Term
ausgeführt werden. Die Rechenoperation, die als letzte ausgeführt wird, legt den Termnamen
fest.
Der Term 329 – 29 ⋅ 4 ist eine Differenz.
Der Term (53 – 8) ⋅ 6 ist ein Produkt.
•
Was noch nicht zum Rechnen dran, schreibt man unverändert an: Nach einem Gleichheitszeichen dürfen weder Termbestandteile weggelassen noch hinzugefügt werden.
f a l s c h:
127 ⋅ 2 + 17 + 46 ⋅ 3 = 254 + 17 = 271 + 138 = 409
r i c h t i g:
127 ⋅ 2 + 17 + 46 ⋅ 3 = 254 + 17 + 138 = 271 + 138 = 409
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GM 5.3 Größen und ihre Einheiten
Größen bestehen aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit. Größen der gleichen Art kann man auch in
unterschiedlichen Einheiten oder mehrfach benannt angeben.
Bei der Größe 250 cm ist 250 die Maßzahl und cm die Maßeinheit.
Statt 250 cm kann man auch 25 dm oder 2,5 m schreiben. Schreibt man 2 m 50 cm, so
hat man die Größe mehrfach benannt bzw. in „gemischten Einheiten“ angegeben.
Längen werden zumeist in den Einheiten Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Dezimeter (dm),
Meter (m) und Kilometer (km) angegeben.
Die Umrechnungszahl zwischen benachbarten Einheiten ist 10.
1 km
=
1000 m
1m
=
10 dm
1 dm
=
=
100 cm
10 cm
1 cm
=
=
=
1000 mm
100 mm
10 mm
1 mm
=
0,1 cm
1 cm
=
=
0,01 dm
0,1 dm
1 dm
=
=
=
0,001 m
0,01 m
0,1 m
1m
=
0,001 km
Flächen werden zumeist in den Einheiten Quadratmillimeter (mm²), Quadratzentimeter (cm²),
Quadratdezimeter (dm²), Quadratmeter (m²), Ar (a), Hektar (ha) und Quadratkilometer (km²)
angegeben.
Die Umrechnungszahl zwischen benachbarten Einheiten ist 100.
1 km²
=
100 ha
1 ha
=
=
10000 a
100 a
1a
=
=
=
1000000 m²
10000 m²
100 m²
1 m²
=
100 dm²
1 dm²
=
=
10000 cm²
100 cm²
1 cm²
=
=
=
1000000 mm²
10000 mm²
100 mm²
Massen werden zumeist in den Einheiten Tonnen (t), Kilogramm (kg), Gramm (g) und Milligramm
(mg) angegeben.
1t
1 mg
=
=
1000 kg
1 kg
=
1000 g
1g
=
1000 mg
0,001 g
1g
=
0,001 kg
1 kg
=
0,001 t
Zeiten werden zumeist in den Einheiten Tage (d), Stunden (h), Minuten (min) und Sekunden (s)
angegeben.
1d
=
24 h
1h
=
60 min
1 min
5
=
=
3600 s
60 s
GM 5.4 Rechnen mit Größen
Addieren von Größen:
Größen kann man addieren (subtrahieren), indem man sie in der gleichen Maßeinheit angibt
und dann ihre Maßzahlen addiert (subtrahiert).
1,3 m + 52 dm + 18 cm = 130 cm + 520 cm + 18 cm = 668 cm
Multiplikation und Division:
• Eine Größe wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man die Maßzahl mit der
natürlichen Zahl multipliziert und die Einheit beibehält.
125 g ⋅ 4 = 500 g
1 m 40 cm ⋅ 7 = 140 cm ⋅ 7 = 980 cm = 9 m 80 cm
•
Eine Größe wird durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man die Maßzahl durch die
natürliche Zahl dividiert und die Einheit beibehält. Bei der Division einer Größe durch eine
Zahl ergibt sich wieder eine Größe.
620 cm² : 20 = 31 cm²
3 m : 12 = 300 cm : 12 = 25 cm
•
Eine Größe wird durch eine andere Größe dividiert, indem man gleiche Einheiten herstellt und
dann die Maßzahlen dividiert. Man erhält eine Zahl (ohne Einheit).
12 m : 30 cm = 1200 m : 30 cm = 40
oder
12 m : 30 cm = 120 dm : 3 dm = 40
8 min : 24 s = 480 s : 24 s = 20
6
GM 5.5 Geometrische Grundbegriffe
Strecke, Halbgerade, Gerade
• Eine Strecke ist die gerade Verbindungslinie zweier
Punkte A und B.
Schreibweise: [AB]
Schreibweise für die Länge einer Strecke: AB = 4cm
•
B
Eine Halbgerade entsteht durch Verlängerung einer Strecke über einen Endpunkt hinaus.
Schreibweise: [AB
Schreibweise: AB]
A
•
A
B
A
B
Eine Gerade entsteht durch Verlängerung einer Strecke über beide Endpunkte hinaus.
Schreibweise: AB
A
B
Winkel entstehen durch Drehung einer Halbgeraden um ihren Anfangspunkt.
• Der Punkt S ist der Scheitel, die Halbgerade [SA
der erste Schenkel, die Halbgerade [SB der zweite
Schenkel des Winkels. Man schreibt auch ∡ASB.
α
S
B
•
Winkel werden meist mit kleinen griechischen
Buchstaben benannt: α (alpha), β (beta), γ (gamma),
δ (delta), ε (epsilon), ϕ (phi), τ (tau) u.a.
A
•
Die Größe eines Winkels wird in Grad gemessen.
Dabei misst eine volle Umdrehung 360°. Ein
Winkel der Größe 180° ist ein gestreckter Winkel.
Ein Winkel der Größe 90° wird als rechter Winkel
bezeichnet.
β = 90°
Lagebeziehungen zweier Geraden
• Geraden, die miteinander einen rechten Winkel
bilden, stehen aufeinander senkrecht.
Schreibweise: k ⊥ g, k ⊥ h
•
•
Zwei Geraden g und h (in der Zeichenebene) heißen
zueinander parallel, wenn es eine dritte Gerade k
gibt, die auf jeder der beiden senkrecht steht.
Schreibweise: g h
Die Länge der Strecke [AB] auf dem gemeinsamen
Lot k heißt Abstand der Geraden g und h.
Schreibweise: d = AB
7
β
g
A
h
B
k
GM 5.6 Figuren und Körper
Geometrische Grundfiguren
Quadrat
Rechteck
Dreieck
•
•
•
•
•
Raute
Kreis
Sechseck
Trapez
Parallelogramm
Ein Viereck, das zwei parallele Seiten besitzt, heißt Trapez.
Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils zueinander parallel sind, heißt
Parallelogramm.
Ein Viereck mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck.
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten heißt Raute.
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln heißt Quadrat.
Quadrat und Rechteck
• Im Quadrat ABCD sind A, B, C und D die Eckpunkte.
[AB] ist eine Seite. Die Seitenlänge ist mit a benannt.
Umfangslänge des Quadrats: U = 4 ⋅ a
Flächeninhalt des Quadrats: A = a ⋅ a = a²
Die Strecke [AC] ist eine Diagonale des Quadrats.
• Im Rechteck PQRS sind die Seitenlängen a und b
eingetragen.
Umfangslänge des Rechtecks: U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
Flächeninhalt des Rechtecks: A = a ⋅ b
D
C
a
a
a
a
A
S
B
R
a
b
P
Kreis
• Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt
M des Kreises die gleiche Entfernung. Diese
Entfernung heißt Radius r des Kreises.
• Verbindet man zwei Punkte der Kreislinie so
miteinander, dass die Verbindungslinie durch den
Mittelpunkt verläuft, so erhält man den Durchmesser
d des Kreises. Dabei gilt: d = 2 ⋅ r
b
a
Q
M
r
d
Geometrische Grundkörper
Kugel
Kegel
Zylinder
•
•
•
Prisma
(dreiseitig, liegend)
Pyramide
Quader
Prisma
(sechsseitig, stehend)
Würfel
Ein Würfel besitzt 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
Ein Würfel der Kantenlänge a hat den Oberflächeninhalt O = 6 ⋅ a².
Ein Quader mit den Kantenlängen l, b und h hat den Oberflächeninhalt O = 2⋅l⋅b + 2⋅l⋅h + 2⋅b⋅h.
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