Statistik 1

Statistik 1
A
2. Klausur
Wintersemester 2013/2014
Hamburg, 18.03.2014
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fachsemester:
Art der Anmeldung:
STiNE
Zulassung unter Vorbehalt
Sonstiges
Mit Ihrer nachfolgenden Unterschrift bestätigen Sie die Klausur auf Vollständigkeit überprüft zu haben. Diese Klausur besteht aus 7 Aufgaben und aus 11 Seiten.
Unterschrift der/des Studierenden:
Bemerkungen:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
Summe
max. Pkt. err. Pkt.
24
9
15
12
15
12
13
100
Klausur Statistik 1
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Lösungstabelle für Aufgabe 1
Hinweise für die Aufgaben 1.1 bis 1.8:
• Es ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt.
• Zur Punktevergabe:
(a) Wird ausschließlich die korrekte Antwort angekreuzt, so erhält man die volle
Punktezahl.
(b) In allen anderen Fällen – außer der in (a) beschriebenen Situation – erhält man
0 Punkte.
Allgemeiner Hinweis: Falls Sie Ihre bereits gewählte Antwort revidieren möchten, so kreuzen
Sie alle Felder der entsprechenden Zeile an und schreiben die korrekte Antwort neben die
entsprechende Tabellenzeile.
Aufgabe
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
(a) (b) (c) (d)
×
×
×
×
×
×
×
×
-2-
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Aufgabe 1 (24 Punkte)
Hinweise:
• In den Aufgaben 1.1 bis 1.8 ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt.
• Markieren Sie die korrekte Antwort durch ein Kreuz in der „Lösungstabelle für
Aufgabe 1“ auf Seite 2.
Aufgabe 1.1 (3 Punkte)
Gegeben seien zwei metrisch skalierte Merkmale X und Y mit dazugehörigen Merkmalsausprägungen xi und yi (i = 1, . . . , n). Welche der nachfolgenden Aussagen die Kovarianz
bzw. die einzelnen Varianzen betreffend ist korrekt?
(a) Es gilt immer: sx,y > s2x und sx,y > s2y
(b) Es gilt immer: sx,y < sx und sx,y < sy
(c) Es gilt immer: sx,y ≤ sx · sy
(d) Keine der obigen Aussagen ist korrekt.
Aufgabe 1.2 (3 Punkte)
Welchen Grad k ∈ N muss ein angepasstes Polynom besitzen, damit bei jeder möglichen
Zeitreihe der Größe n = 123 das Bestimmtheitsmaß R2 = 1 resultiert?
(a) Grad k = 122.
(b) Grad k = 123.
(c) Grad k = 124.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Aufgabe 1.3 (3 Punkte)
Gegeben sei die Funktion g mit:
g : R → [0, 1],



x
x 7→ 1


0
für x ∈ [0, 1]
für x ∈ (1, 1.5]
sonst
Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt?
(a) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.
(b) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Dichtefunktion.
(c) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Dateipfad: mc/aufgabe1.tex
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Aufgabe 1.4 (3 Punkte)
Welche der nachfolgenden Aussagen, ein Quantil zp einer beliebigen Normalverteilung
betreffend, ist korrekt?
(a) zp kann nur Werte zwischen Null und Eins annehmen, d.h. 0 ≤ zp ≤ 1.
(b) zp kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen, d.h. zp ∈ R.
(c) Für eine beliebige Normalverteilung existieren nicht alle p-Quantile (mit 0 < p < 1).
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Aufgabe 1.5 (3 Punkte)
Welche der nachfolgenden Aussagen, gleitende Durchschnitte betreffend, ist korrekt?
(a) Je größer der Ordnungsparameter gewählt wird, desto stärker ist die glättende
Wirkung.
(b) Je größer der Ordnungsparameter gewählt wird, desto geringer ist die glättende
Wirkung.
(c) Je größer der Ordnungsparameter gewählt wird, desto mehr geglättete Werte können
berechnet werden.
(d) Gleitende Durchschnitte besitzen keinen Ordnungsparameter.
Aufgabe 1.6 (3 Punkte)
Gegeben sei die Funktion g mit:
x 7→ 1 − e−x
g : R → R,
Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt?
(a) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.
(b) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Dichtefunktion.
(c) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Dateipfad: mc/aufgabe1.tex
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Aufgabe 1.7 (3 Punkte)
Betrachtet werden Preis- und Mengenindizes von Laspeyres und Paasche. Welche der
nachfolgenden Aussagen ist korrekt?
Pa
Las
(a) Es gilt P0,t
= Pt,0
.
Pa
(b) Es gilt P0,t
=
1
Las .
Pt,0
Las
(c) Es gilt QPa
0,t = Pt,0 .
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Aufgabe 1.8 (3 Punkte)
Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X. Welche der nachfolgenden Aussagen ist
korrekt?
(a) Gilt E(X) = V ar(X), so kann X binomial-verteilt sein.
(b) Gilt E(X) = 0.5, so kann X geometrisch-verteilt sein.
(c) Gilt E(X) = V ar(X), so kann X poisson-verteilt sein.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Dateipfad: mc/aufgabe1.tex
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Aufgabe 2 (9 Punkte)
Gegeben sei nachfolgender Datensatz:
i
xi
1
5
2
3
3
6
4
5
5
1
6
7
7
8
8
9
(a) Geben sie die Werte der empirischen Verteilungsfunktion F̂ an den Stellen xi (i =
1, . . . , 8) an.
(b) Geben Sie das 25%-Quantil, sowie das 60%-Quantil des Datensatzes an.
(c) Ist die empirische Verteilungsfunktion F̂ an der Stelle x = 5.5 stetig? Begründen Sie
Ihre Antwort kurz (max. drei Sätze).
Lösung von Aufgabe 2
(a) F̂ (1) = 18 , F̂ (3) = 14 , F̂ (5) = 21 , F̂ (6) = 58 , F̂ (7) = 34 , F̂ (8) = 78 , F̂ (9) = 1.
(b) z0.25 = 3, z0.6 = 6.
(c) ja.
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe1.tex
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Aufgabe 3 (15 Punkte)
Gegeben sei nachfolgender, in Klassen eingeteilter, Datensatz (x∗k bezeichnet die Klassenobergrenze der k-ten Klasse):
k
x∗k
nk
x̄k
s2k
0
0
1 2 3 4
5
20 30 35 50 100
8 13 17 7
5
8 27 33 42
25 36 30
225
Weiterhin sei bekannt, dass gilt: x̄ = 31.6 und s2 = 262.9.
(a) Berechnen Sie den fehlenden Wert x̄5 .
(b) Berechnen Sie den fehlenden Wert s24 .
Lösung von Aufgabe 3
(a) Es ist:
K
1X
x̄ =
nk · x̄k
n k=1
Daraus folgt:
nx̄ =
⇔
nx̄ =
K
X
k=1
4
X
nk x̄k
nk x̄k + n5 x̄5
k=1
nx̄ −
⇔
4
P
nk x̄k
k=1
x̄5 =
n5
=
50 · 31.6 − 1270
= 62
5
(b) Es ist:
s2 =
K
K
1X
1X
nk · s2k +
nk (x̄k − x̄)2
n k=1
n k=1
Daraus folgt:
5
5
X
1X
n s −
nk (x̄k − x̄)2 =
nk · s2k
n k=1
k=1
!
2
n s2 −
⇔
s24 =
=
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe2.tex
1
n
5
P
k=1
50 262.9 −
10142
50
7
-7-
nk (x̄k − x̄)2 −
P
k∈{1,2,3,5}
n4
− 2303
= 100
nk · s2k
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Aufgabe 4 (12 Punkte)
Für einen Datensatz mit n = 100 Werten sei folgendes bekannt:
100
X
100
X
xi = 40
i=1
100
X
i=1
100
X
xi yi = 540
i=1
yi = 90
yi2 = 750
i=1
s2x
= 160
(a) Berechnen Sie den Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient rx,y .
(b) Berechnen Sie die lineare Regressionsgerade, bei der x die unabhängige Variable und
y die abhängige Variable ist.
(c) Berechnen Sie die lineare Regressionsgerade, bei der y die unabhängige Variable und
x die abhängige Variable ist.
Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen.
Lösung von Aufgabe 4
Man berechnet:
x̄ = 0.4
s2y = 6.69
(a) rx,y =
sx,y
sx · sy
ȳ = 0.9
sx,y = 5.04
= 0.1540
(b) ŷ = 0.8874 + 0.0315x
(c) x̂ = −0.2780 + 0.7534y
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe3.tex
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Aufgabe 5 (15 Punkte)
Gegeben sei nachfolgende Wahrscheinlichkeitsfunktion
X:

x+4


0.5
fX : R → [0, 1],
x 7→ fX (x) := 0.0625



0
fX einer diskreten Zufallsvariablen
für x ∈ {−3, −2, −1, 0}
für x = 1
sonst
(a) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion (inkl. Achsenbeschriftungen).
(b) Geben Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X an.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X.
(d) Berechnen Sie die Varianz V ar(X) der Zufallsvariablen X.
(e) Berechnen Sie P (−4 ≤ X ≤ −2).
Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen.
Lösung von Aufgabe 5
(b)


0






0.5




0.75
für
für
für
FX (x) = 

0.875 für





0.9375 für




1
für
x < −3
− 3 ≤ x < −2
− 2 ≤ x < −1
−1≤x<0
0≤x<1
x≥1
(c) E(X) = −3 · 0.5 − 2 · 0.25 − 1 · 0.125 + 0 · 0.0625 + 1 · 0.0625 = −2.0625
(d)
V ar(X) = (−3)2 · 0.5 + (−2)2 · 0.25 + (−1)2 · 0.125
+ 02 · 0.0625 + 12 · 0.0625 − (−2.0625)2
= 1.43359375
(e) P (−4 ≤ X ≤ −2) = FX (−2) = 0.75
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe4.tex
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Aufgabe 6 (12 Punkte)
Gegeben sei eine hypergeometrisch-verteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n = 6,
M = 4 und N = 15.
(a) Geben Sie die Werte x ∈ R an, welche mit echt positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden können.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(X) der Zufallsvariablen X.
(c) Berechnen Sie P (X > 4), P (1.5 < X < 5.1) und FX (0.9).
Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen.
Lösung von Aufgabe 6
(a) {xmin , . . . , xmax } mit xmin = max{0, n − (N − M )} = max{0, 6 − (15 − 4)} =
max{0, −5} = 0 und xmax = min{n, M } = min{6, 4} = 4. Somit können Werte aus
der Menge {0, 1, 2, 3, 4} mit echt positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden.
(b) E(X) = n M
= 6·
N
132
≈ 0.7543
175
4
15
1−
= 1.6, V ar(X) = n M
N
M
N
N −n
N −1
= 6·
4
15
1−
(c)
P (X > 4) = 0
P (1.5 < X < 5.1) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)
=
=
4
2
11
6−2
15
6
+
4
3
11
6−3
15
6
+
4
4
11
6−4
15
6
6 · 330 4 · 165 1 · 55
+
+
≈ 0.5385
5005
5005
5005
FX (0.9) = P (X = 0) =
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe5.tex
-10-
4
0
11
6
15
6
=
1 · 462
≈ 0.0923
5005
4
15
15−6
15−1
=
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Aufgabe 7 (13 Punkte)
Gegeben sei nachfolgende Dichtefunktion fX der Zufallsvariablen X:

2e−2(x+2)
fX (x) = 
0
für x ≥ −2
sonst
Geben Sie die momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen X an.
Lösung von Aufgabe 7
Für t < 2 erhält man:
MX (t) =
Z ∞
2etx e−2(x+2) dx = 2
−2
=2
1 x(t−2)−4
e
t−2
Z ∞
ex(t−2)−4 dx
−2
∞
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe6.tex
=2 0−
−2
-11-
1 −2t
2 −2t
e
=−
e
t−2
t−2