Statistik 1

Statistik 1
A
1. Klausur
Wintersemester 2013/2014
Hamburg, 12.02.2014
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fachsemester:
Art der Anmeldung:
STiNE
Zulassung unter Vorbehalt
Sonstiges
Mit Ihrer nachfolgenden Unterschrift bestätigen Sie die Klausur auf Vollständigkeit überprüft zu haben. Diese Klausur besteht aus 7 Aufgaben und aus 12 Seiten.
Unterschrift der/des Studierenden:
Bemerkungen:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
Summe
max. Pkt. err. Pkt.
24
10
10
15
15
13
13
100
Klausur Statistik 1
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Lösungstabelle für Aufgabe 1
Hinweise für die Aufgaben 1.1 bis 1.8:
• Es ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt.
• Zur Punktevergabe:
(a) Wird ausschließlich die korrekte Antwort angekreuzt, so erhält man die volle
Punktezahl.
(b) In allen anderen Fällen – außer der in (a) beschriebenen Situation – erhält man
0 Punkte.
Allgemeiner Hinweis: Falls Sie Ihre bereits gewählte Antwort revidieren möchten, so kreuzen
Sie alle Felder der entsprechenden Zeile an und schreiben die korrekte Antwort neben die
entsprechende Tabellenzeile.
Aufgabe
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
(a) (b) (c) (d)
×
×
×
×
×
×
×
×
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Aufgabe 1 (24 Punkte)
Hinweise:
• In den Aufgaben 1.1 bis 1.8 ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt.
• Markieren Sie die korrekte Antwort durch ein Kreuz in der „Lösungstabelle für
Aufgabe 1“ auf Seite 2.
Aufgabe 1.1 (3 Punkte)
Welche der nachfolgenden Aussagen die Merkmalsart bzw. die Skalenart betreffend ist
richtig?
(a) Da das Merkmal „Geschlecht“ ein diskretes Merkmal ist, können die einzelnen
Merkmalsausprägungen abgezählt werden.
(b) Da es weltweit mittlerweile sehr viele verschiedene Berufe gibt, lassen sich diese nicht
abzählen. Somit ist das Merkmal „Beruf“ ein stetiges Merkmal.
(c) Jedes ordinalskalierte Merkmal erfüllt alle Eigenschaften eines intervallskalierten
Merkmals.
(d) Das Merkmal „Alter (in ganzen Jahren)“ kann man nicht abzählen, da es unendlich
viele mögliche Merkmalsausprägungen gibt.
Aufgabe 1.2 (3 Punkte)
Gegeben sei nachfolgender Datensatz:
i
xi
1
0
2
5
3
8
Welche der nachfolgenden Größen lässt sich mit diesem Datensatz nicht berechnen?
(a) Das geometrische Mittel x̄Geo .
(b) Das harmonische Mittel x̄Har .
(c) Der Variationskoeffizient v.
(d) Die Varianz s2 .
Dateipfad: mc/aufgabe1.tex
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Aufgabe 1.3 (3 Punkte)
Gegeben sei die Funktion g mit
g : R → {0, 1}

1
x 7→ 
für x = −1
.
0 sonst
Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt?
(a) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.
(b) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Dichtefunktion.
(c) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Aufgabe 1.4 (3 Punkte)
Gegeben sei eine Kontingenztabelle mit 4 Zeilen und 3 Spalten. Welche der nachfolgenden
Aussagen ist korrekt?
(a) Gilt lediglich für einen einzigen Eintrag in der Kontingenztabelle nk,l =
sind die beiden Merkmale statistisch unabhängig.
(b) Gilt für alle Einträge in der Kontingenztabelle nk,l =
Merkmale statistisch unabhängig.
nk,• · n•,l
,
n
(c) Gilt für die Hälfte der Einträge in der Kontingenztabelle nk,l =
beiden Merkmale statistisch unabhängig.
(d) Gilt für einen Eintrag in der Kontingenztabelle nk,l 6=
Merkmale statistisch unabhängig.
nk,• · n•,l
,
n
nk,• · n•,l
,
n
so sind die beiden
nk,• · n•,l
,
n
so sind die
so sind die beiden
Aufgabe 1.5 (3 Punkte)
Gegeben sei die Funktion g mit
g : R → [0, 1]

0
x 7→ 
1 − e−x
für x < 0
.
sonst
Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt?
(a) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.
(b) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Dichtefunktion.
(c) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Dateipfad: mc/aufgabe1.tex
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so
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Aufgabe 1.6 (3 Punkte)
Gegeben sei eine normalverteilte Zufallsvariable X mit X ∼ N (8, 16). Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt?
(a) E(X) = V ar(X).
(b) Die Zufallsvariable X ist lediglich für positive reelle Zahlen definiert.
(c) Das 50%-Quantil obig genannter Normalverteilung ist z0.5 = 16.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Aufgabe 1.7 (3 Punkte)
Welche der nachfolgenden Aussagen eine beliebige Normalverteilung mit Parametern µ
und σ 2 betreffend ist korrekt?
(a) Das 50%-Quantil einer Normalverteilung und der Erwartungswert der zugehörigen
normalverteilten Zufallsvariablen fallen immer zusammen.
(b) Bei einer normalverteilten Zufallsvariablen ist die Varianz immer größer als der
Erwartungswert.
(c) Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist achsensymmetrisch zur Achse
x = µ.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Aufgabe 1.8 (3 Punkte)
Welche der nachfolgenden Aussagen das Phasendurchschnittsverfahren betreffend ist
korrekt?
(a) Beim Phasendurchschnittsverfahren spielt die lineare Regressionsgerade eine zentrale
Rolle.
(b) Das Phasendurchschnittsverfahren kann nur auf eine gerade Anzahl an Saisonfiguren
angewendet werden.
(c) Das Phasendurchschnittsverfahren kann nur auf eine ungerade Anzahl an Saisonfiguren angewendet werden.
(d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt.
Dateipfad: mc/aufgabe1.tex
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Aufgabe 2 (10 Punkte)
Gegeben sei nachfolgender Datensatz:
i
xi
1
5
2
5
3
5
4
6
5
6
6
9
(a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel x̄, die Varianz s2 sowie den Variationskoeffizienten v.
(b) Nehmen Sie an, dass Sie den bisherigen Wert x6 = 9 beliebig verändern können.
Welchen Wert kann der Median minimal bzw. maximal durch diese Änderung annehmen?
Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen.
Lösung von Aufgabe 2
(a)
x̄ =
6
1X
36
xi =
=6
6 i=1
6
6
1X
228
x2i − x̄2 =
− 62 = 2
6 i=1
6
√
s
2
v= =
≈ 0.2357
x̄
6
s2 =
Med
(b) x̄Med
min = 5, x̄max = 5.5.
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe1.tex
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Aufgabe 3 (10 Punkte)
Für n = 6 Personen sind in nachfolgender Tabelle Jahreseinkommen xk (in tausend EUR)
gegeben.
k
1
2
3
4
5
6
xk
130
120
85
60
60
45
(a) Berechnen Sie die Konzentrationsraten CRk für k = 1, . . . , 6.
(b) Berechnen Sie den Herfindahl-Index.
Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 3 Nachkommastellen.
Lösung von Aufgabe 3
(a)
k
1
2
3
4
5
6
xk cn−k+1
130 0.26
120 0.24
85 0.17
60 0.12
60 0.12
45 0.09
CRk
0.26
0.50
0.67
0.79
0.91
1.00
(b) H = 0.262 + 0.242 + 0.172 + 0.122 + 0.122 + 0.092 = 0.191
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe2.tex
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Aufgabe 4 (15 Punkte)
Gegeben sei nachfolgende unvollständige Kontingenztabelle:
y1
13
11
11
nk,l
x1
x2
x3
P
y2
y3
8 31
14 10
34
33
P
(a) Stellen Sie eine vollständige Kontingenztabelle, d.h. inkl. fehlender Werte, auf.
(b) Geben Sie den Wertebereich des χ2 -Koeffizienten an.
(c) Berechnen Sie den Kontingenzkoeffizienten C sowie den normierten Kontingenzkoeffizienten C ∗ .
(d) Welchen Wert nimmt der χ2 -Koeffizient bzw. der Kontingenzkoeffizient C an, wenn
alle beobachteten absoluten Häufigkeiten verdoppelt werden?
Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen.
Lösung von Aufgabe 4
(a)
nk,l
x1
x2
x3
P
y1
13
11
11
35
y2
10
14
8
32
P
y3
8 31
10 35
15 34
33 100
(b) 0 ≤ χ2 ≤ 100 · (min{3, 3} − 1) = 200
(c)
ñk,l
x1
x2
x3
P
χ2 =
3 X
3
X
k=1 l=1
P
y1
10.85
12.25
11.90
35
y2
y3
9.92 10.23 31
11.20 11.55 35
10.88 11.22 34
32
33
100
(nk,l − ñk,l )2
(13 − 10.85)2
(15 − 11.22)2
=
+ ... +
= 4.0522
ñk,l
10.85
11.22
s
C=
C∗ = r
χ2
=
χ2 + n
C
min{K,L}−1
min{K,L}
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe3.tex
s
4.0522
= 0.1973
4.0522 + 100
0.1973
= q
= 0.2417
-8-
3−1
3
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(d)
χ2neu = 2 · χ2alt ≈ 8.1045
Cneu =
v
u
u
t
v
u
u
χ2neu
2 · χ2alt
t
=
= Calt ≈ 0.1973
χ2neu + nneu
2 · (χ2alt + nalt )
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe3.tex
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Aufgabe 5 (15 Punkte)
Gegeben sei nachfolgende Verteilungsfunktion FX einer stetigen Zufallsvariablen X.
FX : R → [0, 1],

0
x 7→ FX (x) := 
1 − e−2(x+2)
für x < −2
für x ≥ −2
(a) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion (inkl. Achsenbeschriftungen).
(b) Geben Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X an.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X.
(d) Berechnen Sie P (−3 < X ≤ −1).
Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen.
Lösung von Aufgabe 5
(a) Um 2 nach links verschobene Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung mit
Parameter λ = 2.
(b)
fX (x) =

2e−2(x+2)
0
für x ≥ −2
sonst
(c) Entweder partielle Integration, oder den Wert 2 vom Erwartungswert einer exponential-verteilten Zufallsvariablen mit Parameter λ = 2 abziehen, d.h. E(X) =
1
− 2 = − 32 = −1.5.
2
(d) P (−3 < X ≤ −1) = P (X ≤ −1) = FX (−1) = 1 − e−2(−1+2) = 1 − e−2 ≈ 0.8647
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe4.tex
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Aufgabe 6 (13 Punkte)
Gegeben seien die Zufallsvariablen U, V, W und X mit U ∼ χ2 (27), V ∼ t(21), W ∼
F (13, 11) und X ∼ N (−5, 30.25). Berechnen Sie bzw. lesen Sie aus geeigneten Tabellen
ab:
(a) P (X ≥ −5) und FX (6).
(b) Das 50%-Quantil der zu U gehörenden Verteilung.
(c) P (U > 11.808).
(d) P (2.08 ≤ V < 3.527)
(e) Das 97.5%-Quantil der zu W gehörenden Verteilung.
(f) P (0.3125 < W ≤ 3.39).
Lösung von Aufgabe 6
(a) Sei Z ∼ N (0, 1). Es gilt: P (X ≥ −5) = 0.5, FX (6) = FZ
6−(−5)
√
30.25
= FZ (2) ≈ 0.9772
(b) z0.5 = 26.336
(c) P (U > 11.808) = 1 − P (U ≤ 11.808) = 1 − 0.005 = 0.995
(d) P (2.08 ≤ V < 3.527) = 0.999 − 0.975 = 0.024
(e) z0.975 = 3.39
(f) Sei Y ∼
Esgilt: P (0.3125 < W ≤ 3.39) = FW (3.39) − FW (0.3125) =
F (11, 13).
1
0.975− 1 − FY 0.3125 = 0.975−(1−FY (3.2)) = 0.975−(1−0.975) = 2 · 0.975−1 =
0.95
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe5.tex
-11-
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Aufgabe 7 (13 Punkte)
Gegeben sei ein gemischt-linearer Kongruenzgenerator mit Parametern a = 3, b = 1 und
m = 11.
(a) Gehen Sie von dem Startwert x1 = 0 aus und berechnen Sie die nächsten 5 (Pseudo-)
Zufallswerte.
(b) Prüfen Sie nach, ob der gemischt-lineare Kongruenzgenerator einen Zyklus maximaler
Länge erzeugt. Falls dies nicht der Fall ist, so geben an, welche Bedingung verletzt
ist und wodurch diese Bedingung verletzt ist.
(c) Nehmen Sie an, dass Sie den Parameter m verändern können. Geben Sie das kleinstmögliche m ∈ N an, so dass obiger gemischt-lineare Kongruenzgenerator einen Zyklus
maximaler Länge erzeugt.
Lösung von Aufgabe 7
(a) 1, 4, 2, 7, 0
(b) Kein Zyklus maximaler Länge, da (a − 1) mod p für a = 3 und p = 11 ungleich Null
ist, d.h. 2 mod 11 = 2 6= 0 (2. Bedingung des Satzes 9.47 ist verletzt).
(c) m = 1
Dateipfad: rechenaufg/aufgabe6.tex
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