11. Ergänzung/Übung zur Vorlesung MEET I

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Department Werkstoffwissenschaften
Materials for Electronics and Energy Technology (I-MEET)
11. Ergänzung/Übung zur Vorlesung MEET I
PD Dr. Matthias Bickermann – 24. Januar 2011
1. Vierspitzenmessung
Den spezifischen Widerstand von Proben misst
man meist in einer linearen Anordnung von vier
Kontaktspitzen (Abstand zwischen zwei Spitzen s),
siehe Bild.
a) Was ist der Vorteil der Vierspitzenmessung
gegenüber einer Zweispitzenmessung, bei der
Stromführung und Spannungsmessung durch
die gleichen zwei Spitzen erfolgen?
b) Auf der Probenoberfläche ist das Potential im Abstand r einer mit dem Strom
ρ ⋅I
durchflossenen Spitze gegeben durch V =
(Strom in die Probe wird positiv,
2π r
Strom aus der Probe negativ gewertet). Berechnen Sie die Potentiale an den
Spannungsmessspitzen 2 und 3 sowie aus V2–V3 den spezifischen Widerstand ρ
in Abhängigkeit von s.
c) Wie muss s gewählt werden, damit ρ = 1 U[V]/I[A] Ω⋅cm wird?
d) Für dünne Proben (Dicke t) muss man das Ergebnis mit einem Korrekturfaktor
F=
t
2s
multipliziert werden.
⎛ sinh t s ⎞
⎟⎟
ln ⎜⎜
⎝ sinh t 2s ⎠
Berechnen Sie ρ für einen Wafer mit t = 500 µm mit U = 1 V, I = 1 mA und dem
Spitzenabstand s aus Aufgabe c).
e) Für s >> t (sehr dünne Proben) kann man sinh x ≈ ½ (ex – e–x) nähern. Wie nähert man ex bzw. e–x? Leiten Sie daraus eine Näherungsformel für F und ρ ab.
Berechnen Sie damit wiederum ρ für den Wafer aus Aufgabe d).
2. Halleffekt
An einer Halbleiterprobe der Länge s = 2
mm, Breite b = 1 cm und Dicke d = 0,5 mm
wird eine Hallmessung bei B = 5 T und I =
0,6 A durchgeführt. Man findet U = 10 V
und UH = – 3,74 V.
a) Berechnen Sie Konzentration und Beweglichkeit der Ladungsträger. Um welches Halbleitermaterial könnte es sich
handeln?
b) Würde statt des Halbleitermaterials Kupfer verwendet (Landungsträgerkonzentration n = 1⋅1023 cm–3, Beweglichkeit 35 cm²/Vs), welche Hallspannung würde bei B
= 5 T und I = 0,6 A erzeugt? Welche Spannung U würde abfallen (spez. Widerstand von Kupfer: ρ = 1,78 µΩ⋅cm)?
c) Wie lange brauchen die Elektronen im Halbleiter bzw. im Metall, um die Probe zu
durchqueren?
3. Fermi Gas-Mott-Übergang
Die Bedingung für den Mott-Übergang zu delokalisierten Elektronen ist, dass die sog.
Thomas-Fermi-Abschirmlänge rTF geringer ist als der Bohr-Radius r0. Denn dann
werden Ladungen durch das Elektronengas abgeschirmt und somit beweglich (wie
z.B. Elektronenzustände nahe der Fermikante in Metallen oder oberhalb der Beweglichkeitskante in amorphen Halbleitern). Dabei ist:
rTF
⎡e2
⎤
= ⎢ D(E F )⎥
⎣ε0
⎦
−
1
2
1⎛ r 3
≈ ⎜⎜ 0
2⎝ n
1
⎞6
⎟
⎟
⎠
a) Zeigen Sie, dass aus der obigen Gleichung die Bedingung n–1/3 < 4 r0 geschlossen werden kann und erklären Sie, was n–1/3 physikalisch bedeutet!
b) Wie hoch wäre die Ladungsträgerkonzentration für einen Mott-Übergang ("degenerierter Halbleiter") in Si (r0 = 31,54 Å lt. Bohr'schem Modell aus Übung 10)?