Monotoniemethoden in der Analysis

Monotoniemethoden
in der Analysis
(Gerd Herzog, SS 09)
1
1
Fixpunktsätze in geordneten Mengen
Sei Ω 6= ∅ eine geordnete Menge, d.h. in Ω ist eine Relation “≤”
gegeben mit
1.) x ≤ x (x ∈ Ω)
Reflexivität
2.) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
Antisymmetrie
3.) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
Transitivität
Sei M ⊆ Ω, M 6= ∅.
b ∈ Ω heißt obere [untere] Schranke von M , falls
x ≤ b (x ∈ M ) [x ≥ b (x ∈ M )].
b ∈ Ω heißt kleinste obere Schranke oder Supremum [größte
untere Schranke oder Infimum] von M , wenn gilt:
1.) b ist obere Schranke von M .
2.) Ist c ∈ Ω obere Schranke von M , so ist c ≥ b.
[ 1.) b ist untere Schranke von M .
2.) Ist c ∈ Ω untere Schranke von M , so ist c ≤ b.]
Schreibweise: b = sup M
[b = inf M ]
Gilt b = sup M ∈ M [b = inf M ∈ M ], so heißt b Maximum
[Minimum] von M .
Schreibweise: b = max M [b = min M ].
Bemerkung: M besitzt höchstens ein Supremum bzw. Infimum.
b ∈ M heißt maximales [minimales] Element von M , wenn gilt:
c∈M ∧c≥b⇒c=b
[ c∈M ∧c≤b⇒c=b ]
Bemerkung: Ist b = max M , so ist b ein maximales Element von
M , und zwar das einzige.
Beispiele für geordnete Mengen:
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1.) C eine Menge, Ω = P(C), A ≤ B :⇔ A ⊆ B.
2.) Ω = Rn , x = (x1 , . . . , xn ) ≤ y = (y1 , . . . , yn ) :⇔
xj ≤ yj (j = 1, . . . n).
3.) Ω = C([a, b], R), f ≤ g :⇔ f (t) ≤ g(t) (t ∈ [a, b]).
Betrachte z.B. Ω = P(N), M = {A ⊆ N : |A| ≤ 3}.
Dann gilt: Jede 3-elementige Menge in M ist maximales Element
von M . Weiter ist sup M = N, aber M hat kein Maximum, denn
N∈
/ M.
Betrachte Ω = C([0, 1], R), M = {t, t2 , t3 , . . . }.
Es gilt: 0 = inf M , denn 0 ist untere Schranke und ist g ∈ Ω eine
weitere untere Schranke, so gilt g(t) ≤ tn (t ∈ [0, 1], n ∈ N),
also g(t) ≤ 0 (t ∈ [0, 1)). Da g auf [0, 1] stetig ist folgt g(1) ≤ 0,
also insgesamt g ≤ 0.
Beachte:
(inf M )(1) = 0 6= 1 = inf f (1).
f ∈M
Betrachte Ω = C([0, 2]), R), M = {t, t2 , t3 , . . . }.
Behauptung: M besitzt kein Infimum in Ω.
Angenommen: g = inf M . Da 0 untere Schranke von M ist folgt
g ≥ 0. Wie oben folgt g(t) = 0 für t ∈ [0, 1].
Auf [1, 2] gilt t ≤ t2 ≤ t3 ≤ . . . . Wäre
g(t0 ) < t0 für ein t0 ∈ (1, 2],
so wäre g nicht das Infimum von M .
Also gilt g(t) = t (t ∈ (1, 2]) und da g stetig ist folgt g(1) = 1,
im Widerspruch zu g(1) = 0.
¤
Sprechweise: Ω heißt Verband, falls für x, y ∈ Ω stets sup{x, y},
und inf{x, y} existieren, und Ω heißt vollständiger Verband,
wenn für ∅ =
6 M ⊆ Ω stets sup M und inf M existieren.
3
∅=
6 M ⊆ Ω heißt Kette (oder linear geordnet) wenn gilt:
∀x, y ∈ M : x ≤ y ∨ y ≤ x.
Satz 1 (Lemma von Zorn):
Besitzt jede Kette M ⊆ Ω eine obere Schranke, so existiert ein
maximales Element von Ω.
Eine Abbildung f : Ω → Ω heißt wachsend [fallend], falls
x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y) [f (x) ≥ f (y)].
Satz 2 (Fixpunktsatz von Knaster-Tarski):
f : Ω → Ω sei wachsend, es existiere ein a ∈ Ω mit a ≤ f (a) und
jede Kette M ⊆ Ω besitze ein Supremum. Dann ist die Menge
Fix (f ) = {x ∈ Ω : f (x) = x}
nicht leer und besitzt ein maximales Element x0 ≥ a.
Zusatz nach Markowsky: Unter den Voraussetzungen von Satz 2
gilt: Die Menge
Fix a (f ) := {x ∈ Fix (f ) : a ≤ x}
hat ein Minimum.
Zusatz für vollständige Verbände:
Besitzt jede nichtleere Teilmenge von Ω ein Supremum, so existiert das Maximum von Fix (f ) und
max(Fix (f )) ≥ a.
Beweis: Sei P := {x ∈ Ω : a ≤ x ≤ f (x)}.
P 6= ∅ wegen a ∈ P . Ist M ⊆ P eine Kette und b = sup M ∈ Ω,
so gilt
a ≤ x ≤ b (x ∈ M ) ⇒ a ≤ f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) (x ∈ M ).
Insbesondere: x ∈ M ⇒ x ≤ f (x) ≤ f (b). Somit ist f (b) obere
Schranke von M , also a ≤ b ≤ f (b), d.h. b ∈ P .
4
Wir haben gezeigt: Jede Kette M ⊆ P hat eine obere Schranke
in P . Nach dem Zornschen Lemma existiert ein maximales Element x0 von P .
Es gilt a ≤ x0 ≤ f (x0 ). Wegen a ≤ f (x0 ) ≤ f (f (x0 )) gilt
f (x0 ) ∈ P . Da x0 maximal ist, folgt x0 = f (x0 ), also x0 ∈ Fix(f ).
Ist weiter x ∈ Fix (f ) und x0 ≤ x, so gilt x ∈ P und da x0 maximales Element von P ist, folgt x = x0 . Also ist x0 maximales
Element von Fix (f ).
¤
Zum Zusatz von Markowsky (Übung): Betrachte
Pe := {x ∈ Ω : a ≤ x ≤ f (x) ≤ y (y ∈ Fix a (f ))}.
Beweis des Zusatzes für vollständige Verbände: Ist Ω zusätzlich
wie beschrieben, so existiert
b = sup(Fix (f )) ≥ a.
Nun gilt:
x = f (x) ≤ f (b) (x ∈ Fix (f )),
also a ≤ b ≤ f (b).
Also ist b ∈ P und aus x0 ≤ b folgt x0 = b.
¤
Beispiel:
1.) Jede wachsende Abbildung f : [0, 1] → [0, 1] besitzt einen
Fixpunkt. Beachte: [0, 1] ist ein vollständiger Verband.
2.) f : R → R, f (x) = x + 1 besitzt keinen Fixpunkt (obwohl
f wachsend ist).
3.) f : [0, 1] → [0, 1] mit
(
f (x) =
1, x ∈ [0, 21 )
0, x ∈ [ 12 , 1]
ist fallend und besitzt keinen Fixpunkt.
5
Eine Anwendung: Es sei A eine Menge, und es sei Ω = P(A). In
Ω besitzt jede Kette ein Supremum, denn Ω ist ein vollständiger
Verband:
Ist
∅=
6 M ⊆ Ω = P(A),
so ist
[
\
C = sup M und
C∈M
C = inf M.
C∈M
Satz 3 (Satz von Schröder-Bernstein):
Es seien A, B Mengen und f : A → B, g : B → A seien injektiv.
Dann existiert eine bijektive Abbildung h : A → B.
Beweis (mit und nach Knaster-Tarski):
Gesucht: C ⊆ A, D ⊆ B mit
1.) A = C ∪ g(D), C ∩ g(D) = ∅;
2.) B = D ∪ f (C), D ∩ f (C) = ∅.
Dann ist h : A → B definiert durch
(
f (x),
x∈C
h(x) =
g −1 (x), x ∈ g(D)
bijektiv.
2.) bedeutet D = B \ f (C), und
1.) bedeutet C = A \ g(D).
Es gilt also notwendig C = A \ g(B \ f (C)).
Betrachte daher:
F : P(A) → P(A),
F (X) = A \ g(B \ f (X)).
F ist wachsend, denn X ⊆ Y ⇒ f (X) ⊆ f (Y )
⇒ B \ f (X) ⊇ B \ f (Y ) ⇒ g(B \ f (X)) ⊇ g(B \ f (Y ))
⇒ F (X) ⊆ F (Y ).
6
Weiter ist ∅ ⊆ F (∅).
Nach dem Fixpunktsatz von Knaster-Tarski existiert ein C ⊆ A
mit F (C) = C. Setzt man D := B \ f (C), so gilt 2.), und wegen
C = F (C) = A \ g(B \ f (C)) = A \ g(D)
gilt 1.).
¤
Es gibt viele Verallgemeinerungen und Varianten des Fixpunktsatzes von Tarski. Folgende Verallgemeinerung ist oft nützlich.
Satz 4 (Fixpunktsatz von Lemmert):
f : Ω → Ω sei wachsend, es existiere a ∈ Ω mit a ≤ f (a)
und jede Kette M ⊆ f (Ω) besitze ein Supremum in Ω. Dann ist
die Menge Fix (f ) nicht leer und besitzt ein maximales Element
y0 ≥ a.
Zusatz: Besitzt jede nichtleere Teilmenge von f (Ω) ein Supremum in Ω, so existiert das Maximum von Fix (f ) und
max(Fix (f )) ≥ a.
Beweis: Sei
P := {f (x) : x ∈ Ω, a ≤ x ≤ f (x)} ⊆ f (Ω).
Wegen f (a) ∈ P ist P 6= ∅. Es gilt f (P ) ⊆ P :
y ∈ P ⇒ y = f (x), a ≤ x ≤ f (x) ⇒ a ≤ f (x) ≤ f (f (x))
⇒ a ≤ y ≤ f (y) ⇒ f (y) ∈ P.
Ist M ⊆ P eine Kette, so existiert nach Voraussetzung
b = sup M ∈ Ω.
Für alle y = f (x) ∈ M gilt y ≤ b, also
a ≤ y ≤ f (y) ≤ f (b).
Somit ist f (b) obere Schranke von M , also b ≤ f (b).
7
Insgesamt gilt: a ≤ b ≤ f (b), d.h. f (b) ∈ P . f (b) ist also obere
Schranke von M in P .
Nach dem Zornschen Lemma existiert ein maximales Element
y0 von P . Für dieses gilt:
y0 = f (x0 ), a ≤ x0 ≤ f (x0 ) = y0 ≤ f (y0 ) ∈ P.
Da y0 maximal ist, folgt: y0 = f (y0 ) ∈ Fix (f ).
Ist y ∈ Fix (f ) mit y0 ≤ y, so gilt
a ≤ y0 ≤ y = f (y) ⇒ f (y) = y ∈ P.
Da y0 maximal in P ist, gilt y = y0 . Also ist y0 maximal in
Fix (f ).
¤
Beweis des Zusatzes:
Wegen Fix (f ) ⊆ f (Ω) existiert b = sup(Fix (f )) ≥ a.
Aus y ≤ b folgt y = f (y) ≤ f (b) (y ∈ Fix (f )), also a ≤ b ≤
f (b). Somit ist f (b) ∈ P und aus y0 ≤ f (b) folgt y0 = f (b).
Insbesondere ist damit f (b) ≤ b, also f (b) = b.
¤
Eine Anwendung:
Wir betrachten
Ω = C([a, b], R), x ≤ y :⇔ x(t) ≤ y(t) (t ∈ [a, b]).
Es sei ∅ =
6 M ⊆ Ω nach oben beschränkt, d.h. für ein α ∈ R gilt
x(t) ≤ α (t ∈ [a, b], x ∈ M ).
Weiter existiere ein L ≥ 0 mit
|x(t) − x(s)| ≤ L|t − s| (t, s ∈ [a, b], x ∈ M ).
Dann existiert sup M :
Da M nach oben beschränkt ist existiert
b(t) := sup{x(t) : x ∈ M } (t ∈ [a, b]).
8
Wegen
x(t) ≤ L|t − s| + x(s) ≤ L|t − s| + b(s) (x ∈ M )
folgt b(t) ≤ L|t − s| + b(s). Vertauschen von t und s liefert
|b(t) − b(s)| ≤ L|t − s|.
Insbesondere ist b ∈ Ω, und b = sup M , denn ist c ∈ Ω eine
weitere obere Schranke, so folgt punktweise b(t) ≤ c(t) (t ∈
[a, b]), also b ≤ c.
Betrachte nun k : [a, b] × [a, b] → [0, ∞), stetig, mit
|k(t, τ ) − k(s, τ )| ≤ L|t − s| (t, s, τ ∈ [a, b]),
sowie f : [a, b] × R → R, stetig, mit
|f (τ, ξ)| ≤ α ((t, ξ) ∈ [a, b] × R)
und ξ 7→ f (τ, ξ) wachsend (τ ∈ [a, b]).
Es sei F : Ω → Ω definiert durch
Z b
(F (x))(t) =
k(t, τ )f (τ, x(τ ))dτ.
a
(Beispiel: k(t, τ ) = sin2 (t − τ ), f (τ, ξ) = arctan(τ + ξ 3 ))
F hat folgende Eigenschaften:
Z b
1.) |F (x)(t) − F (x)(s)| ≤
|k(t, τ ) − k(s, τ )|αdτ
a
≤ αL(b − a)|t − s| (t, s ∈ [a, b], x ∈ Ω).
Z b
2.) F (x)(t) ≤ α
k(t, τ )dτ ≤ β (t ∈ [a, b], x ∈ Ω) für ein
a
β ≥ 0; also ist F (Ω) nach oben beschränkt.
3.) F ist wachsend.
Z
b
4.) Setze a(t) = −α
k(t, τ )dτ (t ∈ [a, b]). Dann gilt:
a
Z b
Z b
(F (a))(t) =
k(t, τ )f (τ, a(τ ))dτ ≥ −α
k(t, τ )dτ =
a
a
a(t) (t ∈ [a, b]).
9
Aus 1.), 2.) folgt, daß jede Teilmenge (insbesondere also jede
Kette) von F (Ω) ein Supremum in Ω besitzt. Aus 4.) folgt: Es
gibt ein a ∈ Ω mit a ≤ F (a).
Nach dem Fixpunktsatz von Lemmert existiert ein x ≥ a mit
F (x) = x, also eine Lösung der (sog. Hammerstein) Integralgleichung
Z
b
x(t) =
k(t, τ )f (τ, x(τ ))dτ.
a
Da jede Teilmenge von F (Ω) ein Supremum besitzt existiert
max(Fix (F )), also eine größte Lösung.
Beispiel:
Z
x(t) =
1
sin2 (t − τ ) arctan(τ + x3 (τ ))dτ
0
besitzt eine größte Lösung in C([0, 1], R).
Beispiel: Randwertprobleme.
Das RWP u00 = g(t, u), u(0) = u(1) = 0 ist äquivalent zur
Integralgleichung
Z1
u(t) = (T u)(t) :=
G(t, τ )g(τ, u(τ ))dτ
0
(
mit G(t, τ ) =
−(1 − t)τ, 0 ≤ τ ≤ t ≤ 1
.
−(1 − τ )t, 0 ≤ t ≤ τ ≤ 1
G : [0, 1]2 → R ist stetig, ≤ 0 und
|G(t, τ ) − G(s, τ )| ≤ L|t − s|.
Ist g stetig und beschränkt und ξ 7→ g(τ, ξ) fallend (τ ∈ [0, 1]),
so besitzt obiges RWP eine größte Lösung.
Ordnungen in metrischen Räumen:
Es sei Ω ein metrischer Raum mit der Metrik d : Ω × Ω → R.
Für eine beliebige Abbildung ϕ : Ω → R kann Ω wie folgt geordnet werden
x ≤ y :⇔ d(x, y) ≤ ϕ(x) − ϕ(y)
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1.) x ≤ x, denn 0 = d(x, x) ≤ ϕ(x) − ϕ(x) = 0.
2.)
x ≤ y,
y≤x
⇒ d(x, y) ≤ ϕ(x) − ϕ(y),
d(x, y) ≤ ϕ(y) − ϕ(x)
⇒ d(x, y) ≤ 0 ⇒ d(x, y) = 0 ⇒ x = y.
3.)
x ≤ y,
y≤z
⇒ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ≤ ϕ(x) − ϕ(y) + ϕ(y) − ϕ(z)
= ϕ(x) − ϕ(z) ⇒ x ≤ z.
Also ist “≤” eine Ordnung auf Ω.
Satz 5 (Fixpunktsatz von Browder-Caristi):
Sei (Ω, d) ein vollständiger metrischer Raum, ϕ : Ω → [0, ∞)
sei unterhalb stetig und f : Ω → Ω genüge
(∗) d(x, f (x)) ≤ ϕ(x) − ϕ(f (x)) (x ∈ Ω).
Dann besitzt f einen Fixpunkt
Bemerkung: 1.) Eine Abbildung ϕ : Ω → R heißt unterhalb
stetig, falls {x ∈ Ω : ϕ(x) ≤ α} abgeschlossen ist für jedes
α ∈ R. Z. B. ist
ϕ : [0, 1] → R,
1
1
ϕ(x) = 1 (x 6= ), ϕ( ) = 0
2
2
unterhalb stetig.
2.) Die Voraussetzung (∗) bedeutet
x ≤ f (x) (x ∈ Ω),
für die durch ϕ gegebene Ordnung.
Beweis: Es sei M ⊆ Ω eine Kette. Sei
γ := inf{ϕ(x) : x ∈ M }.
11
Es existiert eine Folge
(xn )∞
n=1 in M mit ϕ(xn ) → γ (n → ∞),
und ϕ(xn ) ist fallend in n. Seien m, n ∈ N, m > n. Da M eine
Kette ist, gilt xn ≤ xm oder xm ≤ xn , also
d(xn , xm ) ≤ ϕ(xn ) − ϕ(xm ) ∨ d(xm , xn ) ≤ ϕ(xm ) − ϕ(xn ).
Wegen ϕ(xn ) ≥ ϕ(xm ) gilt
d(xn , xm ) ≤ ϕ(xn ) − ϕ(xm ).
Da (ϕ(xn )) eine Cauchy-Folge in R ist, ist (xn ) eine CF in Ω,
konvergiert also gegen ein x0 ∈ Ω. Da ϕ unterhalb stetig ist,
folgt
ϕ(x0 ) ≤ ϕ(xn ) (n ∈ N) ⇒ ϕ(x0 ) ≤ γ.
Ist nun x ∈ M, x 6= x0 fest. Es gilt d(x, x0 ) > 0 und ϕ(x) ≥ γ.
Wieder, weil M eine Kette ist, gilt
xn ≤ x ∨ x ≤ xn (n ∈ N).
Wäre xn ≤ x für unendlich viele n, so wäre für eine Teilfolge
(nk ):
d(xnk , x) ≤ ϕ(xnk ) − ϕ(x).
Für k → ∞ folgt
0 < d(x0 , x) ≤ γ − ϕ(x) ≤ 0,
ein Widerspruch. Also gilt: x ≤ xn (n ≥ n0 (x)). Daher ist
d(x, xn ) ≤ ϕ(x) − ϕ(xn ) (n ≥ n0 (x)).
Für n → ∞ folgt
d(x, x0 ) ≤ ϕ(x) − γ ≤ ϕ(x) − ϕ(x0 ).
Somit ist x ≤ x0 . Also ist x0 obere Schranke von M . Nach dem
Zornschen Lemma existiert ein maximales Element z von Ω. Es
gilt z ≤ f (z) nach Voraussetzung, und da z maximal ist, folgt
f (z) = z.
¤
Spezialfall:
12
Satz 6 (Fixpunktsatz von Banach):
Sei (Ω, d) ein vollständiger metrischer Raum und zu f : Ω → Ω
existiere ein L < 1 mit
d(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y).
Dann besitzt f genau einen Fixpunkt.
Beweis (mit dem Satz von Browder-Caristi):
Daß höchstens ein Fixpunkt existiert folgt aus
d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y) ⇒ d(x, y) = 0.
Zum Nachweis der Existenz betrachten wir
ϕ:Ω→R
definiert durch
ϕ(x) =
d(x, f (x))
1−L
ϕ ist stetig und ≥ 0.
Es gilt:
´
1 ³
d(x, f (x)) − d(f (x), f (f (x)))
ϕ(x) − ϕ(f (x)) =
1−L
≥
1
(d(x, f (x)) − Ld(x, f (x))) = d(x, f (x)) (x ∈ Ω).
1−L
¤
Es sei weiter (Ω, d) ein metrischer Raum, versehen mit einer
beliebigen Ordnung “≤”.
Die Ordnung“≤” heißt abgeschlossen, wenn gilt:
Sind (xn ), (yn ) konvergente Folgen in Ω mit xn ≤ yn (n ∈ N), so
ist
lim xn ≤ lim yn .
n→∞
n→∞
In geordneten metrischen Räumen gilt folgendes Prinzip der monotonen Iteration:
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Ist f : Ω → Ω wachsend und a ≤ f (a) für ein a ∈ Ω, so ist
(vollst. Induktion)
a ≤ f (a) ≤ f 2 (a) ≤ f 3 (a) ≤ . . .
Ist zusätzlich f stetig und (f n (a)) konvergent, so gilt
x0 := lim f n (a) = lim f (f n (a)) = f ( lim f n (a)) = f (x0 ).
n→∞
n→∞
n→∞
Ist zusätzlich “≤” abgeschlossen, so gilt a ≤ x0 . Ist dann x ≥ a
ein weiterer Fixpunkt von f , so gilt x = f n (x) ≥ f n (a) (n ∈ N),
also x0 ≤ x. Damit ist
x0 = min{x ∈ Ω : a ≤ x = f (x)}.
Analog erhält man: Ist a ≥ f (a), so ist (f n (a)) fallend, und
unter den weiteren Voraussetzungen
x0 = lim f n (a) = max{x ∈ Ω : a ≥ x = f (x)}.
n→∞
Es sei nun (Ω, d, ≤) ein geordneter metrischer Raum mit abgeschlossener Ordnung. Dann gilt:
Ist (xn )∞
n=1 eine wachsende Folge in Ω und ist {xn : n ∈ N} relativ kompakt (d.h. hat kompakten Abschluß), so ist (xn ) konvergent und
lim xn = sup{xn : n ∈ N}.
n→∞
Beweis: Sind z, ze Häufungswerte von (xn ), existieren also Teilfolgen (xnk ), (xml ) mit
xnk → z,
xml → ze,
so existiert eine Teilfolge (xnkl ) von (xnk ) mit
xml ≤ xnkl
(l ∈ N),
also ze ≤ z. Analog gilt z ≤ ze, somit ist (xn ) konvergent.
Sei nun z = lim xn . Dann ist z obere Schranke von {xn : n ∈ N}.
n→∞
Ist c ∈ Ω eine weitere obere Schranke, so folgt aus xn ≤ c (n ∈ N)
wieder z ≤ c. Also ist z = sup{xn : n ∈ N}.
Aus diesen Vorüberlegungen erhalten wir:
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Satz 7 Ist (Ω, d, ≤) ein geordneter metrischer Raum mit abgeschlossener Ordnung, f : Ω → Ω stetig, wachsend mit f (Ω)
relativ kompakt und existiert ein a ∈ Ω mit a ≤ f (a), so existiert
x0 := lim f n (a)
n→∞
und
x0 = min{x ∈ Ω : a ≤ x = f (x)}.
(Analog für a ≥ f (a))
Beweis: {f n (a) : n ∈ N} ist als Teilmenge der relativ kompakten
Menge f (Ω) selbst relativ kompakt. Die Behauptung folgt mit
monotoner Iteration.
¤
Beispiel: Ω = R2 , (x, y) ≤ (e
x, ye) :⇔ x ≤ x
e, y ≤ ye.
3
f : Ω → Ω, f (x, y) = (arctan(1 + x + y ), arctan(ex + ey )).
f ist stetig, wachsend,
¤2
¢
¡
¢
¡
£
f (Ω) ⊆ − π2 , π2 und − π2 , − π2 ≤ f − π2 , − π2 .
Der Fixpunktsatz von Banach mit monotoner Iteration (nach
Volkmann: Seminar LV, No.25):
Ist (Ω, d) ein vollständiger metrischer Raum, so ist Ω × R, versehen mit der Metrik d1 ((x, ξ), (y, η)) = max{d(x, y), |ξ − η|} und
der Ordnung
(x, ξ) ≤ (y, η) : ⇐⇒
d(y, x) ≤ η − ξ,
ein vollständiger, geordneter metrischer Raum mit abgeschlossener Ordnung. Ist ((xn , ξn ))∞
n=1 eine wachsende Folge in Ω × R
mit
(xn , ξn ) ≤ (y, η) (n ∈ N),
∞
so ist ((xn , ξn ))∞
n=1 konvergent: Zunächst ist (ξn )n=1 eine wachsende und (durch η) nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen,
somit konvergent. Wegen
d(xm , xn ) ≤ ξm − ξn (m, n ∈ N, m ≥ n)
ist (xn )∞
n=1 eine Cauchyfolge in Ω und somit ebenfalls konvergent.
15
Bemerkung: Es gilt
( lim xn , lim ξn ) = sup{(xn , ξn ) : n ∈ N}.
n→∞
n→∞
Ist nun f : Ω → Ω eine Kontraktion mit Konstante L < 1, so ist
F : Ω × R → Ω × R, F (x, ξ) = (f (x), Lξ)
wachsend: Aus d(y, x) ≤ η − ξ folgt
d(f (y), f (x)) ≤ Ld(y, x) ≤ Lη − Lξ.
Sei a ∈ Ω fest. Dann gilt
(a, α) ≤ F (a, α) ≤ F (a, β) ≤ (a, β)
falls
d(f (a), a) ≤ (L − 1)α und d(a, f (a)) ≤ (1 − L)β.
Wählt man α, β ∈ R so, daß diese Ungleichungen erfüllt sind,
so folgt
(a, α) ≤ F (a, α) ≤ F 2 (a, α) ≤ F 3 (a, α) ≤ · · · ≤ (a, β).
Somit konvergiert
n
n
∞
(F n (a, α))∞
n=0 = ((f (a), L α))n=0
gegen ein Element der Form (x0 , 0) ∈ Ω × R, und (x0 , 0) ist (der
eindeutig bestimmte) Fixpunkt von F . Insbesondere konvergiert
(f n (a))∞
n=0 gegen den Fixpunkt von f .
Setzt man speziell α = d(f (a), a)/(L − 1), so gilt für m ≥ n ≥ 0
d(f m (a), f n (a)) ≤ (Lm − Ln )d(f (a), a)/(L − 1)
und damit (m → ∞)
d(x0 , f n (a)) ≤
Ln
d(f (a), a) (n ∈ N0 ).
1−L
16
2
Geordnete Banachräume
Im folgenden sei stets (E, k · k) ein reeller Banachraum. Wir
wollen in E Ordnungen betrachten, die Verträglichkeitseigenschaften mit den algebraischen Operationen, sowie der Norm
besitzen.
Definition: Eine Teilmenge K ⊆ E heißt Keil, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:
1.) K ist nicht leer und abgeschlossen.
2.) x, y ∈ K ⇒ x + y ∈ K.
3.) x ∈ K, λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ K.
Ein Keil heißt Kegel, wenn zusätzlich gilt:
4.) K ∩ (−K) = {0}.
Bemerkung:
1.) Ist K ein Keil, so gilt stets 0 ∈ K.
2.) K ∩ (−K) ist für jeden Keil ein Untervektorraum von E.
3.) Jeder Keil ist konvex:
x, y ∈ K, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx, (1 − λ)y ∈ K ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ K.
Ist K ein Kegel, so setzt man
x ≤ y :⇐⇒ y − x ∈ K.
Dann ist “≤” eine Ordnung, die von K erzeugte Ordnung.
Nachweis:
x ≤ x (x ∈ E) wegen 0 ∈ K.
x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ y − x ∈ K ∩ (−K) ⇒ x = y.
x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ (y − x) + (z − y) = z − x ∈ K ⇒ x ≤ z.
Weitere Eigenschaften:
1.) x ≤ y ⇒ λx + z ≤ λy + z (z ∈ E, λ ≥ 0).
17
2.) “≤” ist abgeschlossen: Sind (xn ), (yn ) konvergente Folgen in
E, so gilt:
yn − xn ≥ 0 (n ∈ N) ⇒ lim (yn − xn ) ≥ 0
n→∞
⇒ lim xn ≤ lim yn .
n→∞
n→∞
Beispiele:
1.) E = Rn , K = {x = (x1 , . . . , xn ) : xj ≥ 0 (j = 1, . . . , n)}.
K heißt auch der natürliche Kegel in Rn ; Bez.: Knat .
Insbesondere n = 1: Knat = [0, ∞).
q
n
2.) E = R , K = {x : xn ≥ x21 + · · · + x2n−1 }
(Eistütenkegel, Kice )
3.) E = R3 , K = {(x, y, z) : x, y ≥ 0} ist ein Keil, aber kein
Kegel. Hier ist K ∩ (−K) = [(0, 0, 1)].
4.) E = C([a, b], R) mit der Maximum-Norm kxk = max |x(t)|.
t∈[a,b]
K = {x : x(t) ≥ 0 (t ∈ [a, b])}
ist ein Kegel.
5.) Folgenräume (x = (xn )∞
n=1 reelle Folgen):
c0 (N) = {x : lim xn = 0}, kxk = max |xn |;
n→∞
n∈N
c(N) = {x : lim xn existiert}, kxk = sup |xn |;
n→∞
n∈N
l∞ (N) = {x : (xn )∞
n=1 ist beschränkt}, kxk = sup |xn |;
n∈N
lp (N) = {x :
mit p ≥ 1.
∞
P
|xn |p konvergiert}, kxk =
n=1
µ
∞
P
|xn |p
n=1
In all diesen Folgenräumen ist jeweils
K = {x ∈ E : xn ≥ 0 (n ∈ N)}
ein Kegel.
18
¶1/p
,
6.) Ist E geordnet durch einen Kegel K0 , so ist C([a, b], E), versehen mit der Maxmimumnorm kxk∞ = max kx(t)k, ein Bat∈[a,b]
nachraum, und
K = {x ∈ C([a, b], E) : x(t) ≥ 0 (t ∈ [a, b])}
ist ein Kegel.
Definition: Sei K ⊆ E ein Keil.
1.) K heißt total :⇔ K − K = E.
2.) K heißt reproduzierend :⇔ K − K = E.
◦
3.) K heißt körperhaft :⇔ K 6= ∅
Sei K ⊆ E ein Kegel.
4.) K heißt normal :⇔
∃γ ∈ R ∀x, y ∈ E : 0 ≤ x ≤ y ⇒ kxk ≤ γkyk.
Bem.: Notwendigerweise ist γ ≥ 1.
5.) K heißt regulär :⇔ Ist (xn ) eine wachsende, nach oben ordnungsbeschränkte Folge, so ist (xn ) konvergent.
Die Eigenschaften 1.), 2.), 3.) sind Eigenschaften, die die Größe
des Keils beschreiben. Die Eigenschaften 4.), 5.) sind Verträglichkeitseigenschaften der Ordnung mit der Topologie von E.
Satz 8 Sei K ⊆ E ein Keil. Dann gilt: K körperhaft ⇒ K
reproduzierend ⇒ K total.
◦
◦
Beweis: Die 2. Implikation ist trivial. Sei nun K 6= ∅ und p ∈ K.
Es sei x0 ∈ E fest. Es existiert ein r > 0 mit
{x ∈ E : kx − pk < r} ⊆ K.
Wir wählen λ0 > kxr0 k . Dann ist λ0 > 0 und
°µ
°
¶
° x0
° kx0 k
x0
°
°=
+
p
−
p
<
r
⇒
+p∈K
° λ0
°
λ0
λ0
19
⇒ x0 + λ0 p ∈ K.
Also gilt: x0 = (x0 + λ0 p) − λ0 p ∈ K − K.
¤
Beispiel: 1.) E = Rn . Knat ist körperhaft, und
◦
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ K nat ⇔ xj > 0 (j = 1, . . . , n).
Ist z ∈ Rn \ {0} und n ≥ 2, so ist z.B. K = {λz : λ ≥ 0} ein
nicht totaler Kegel.
2.) E = c0 (N), K = {x = (xk ) : xk ≥ 0 (k ∈ N)}.
K ist nicht körperhaft (Übung), aber reproduzierend:
Ist (xk ) ∈ c0 (N), so ist
(max{xk , 0}) eine Nullfolge und ebenso ist
(max{−xk , 0}) eine Nullfolge.
Beide Folgen sind in K und
(xk ) = (max{xk , 0}) − (max{−xk , 0}).
3.) Es sei a ≥ 0 und C([a, b], R) geordnet durch den Kegel
K = {x : x(t) ≥ 0 (t ∈ [a, b]), x wachsend }.
K ist nicht reproduzierend, da es stetige Funktionen gibt, die
nicht von beschränkter Variation sind. Andererseits ist K total:
Bekannt: C 1 ([a, b], R) liegt dicht in C([a, b], R).
Sei x ∈ C 1 ([a, b], R). Betrachte
y(t) := (x(t) + kxk + kx0 kt),
z(t) := (kxk + kx0 kt).
Dann ist x = y − z. Für t ∈ [a, b] gilt
y(t) ≥ x(t) + kxk ≥ 0
,
y 0 (t) = x0 (t) + kx0 k ≥ 0
also y ∈ K. Ebenso ist z ∈ K.
Definition: Ist K ⊆ E ein Kegel, so schreiben wir:
20
x < y :⇔ x ≤ y, x 6= y
◦
x ¿ y :⇔ y − x ∈ K.
Ist x, y ∈ E, so ist das Ordnungsintervall
[x, y] := {z ∈ E : x ≤ z ≤ y}.
Es gilt für alle x, y ∈ E:
[x, y] = (x + K) ∩ (y − K).
Beachte: x 6≤ y ⇒ [x, y] = ∅.
Eine Menge C ⊆ E heißt ordnungskonvex, wenn aus x, y ∈ C,
x ≤ y folgt tx + (1 − t)y ∈ C (t ∈ [0, 1]).
Beispiel: In R2 geordnet durch Knat sind Ordnungsintervalle
(evtl. degenerierte) Rechtecke.
Normale Kegel: Die Normalitätsbedingung
∃γ ≥ 1 : 0 ≤ x ≤ y ⇒ kxk ≤ γkyk
ist eine Verträglichkeitsbedingung von Norm und Ordnung. Im
folgenden bezeichnet
Br (x0 ) = {x ∈ E : kx − x0 k < r}.
Satz 9 Folgende Aussagen sind äquivalent:
1.) K ist normal.
2.) Es existiert ein µ > 0 mit
a, b ∈ B1 (0) ⇒ [a, b] ⊆ Bµ (0).
(Ist K normal, so sind also Ordnungsintervalle beschränkt;
vgl. Folgerung.)
3.) Es existiert ein δ > 0 mit
kxk = kyk = 1, x, y ≥ 0 ⇒ kx + yk ≥ δ.
21
Beweis: 1.) ⇒ 2.): Sei a ≤ x ≤ b.
Dann ist 0 ≤ x − a ≤ b − a ⇒
kxk − kak ≤ kx − ak ≤ γkb − ak ≤ 2γ ⇒
kxk ≤ 2γ + 1 =: µ. (Gilt auch, falls a, b unvergleichbar.)
2.) ⇒ 3.) Angenommen 3.) gilt nicht. Dann existieren Folgen
(xn ), (yn ) mit kxn k = kyn k = 1, xn , yn ≥ 0, kxn + yn k ≤ n1 .
Aus kxn k = 1, kn(xn + yn )k ≤ 1, nxn ∈ [xn , n(xn + yn )] folgt
n = knxn k ≤ µ (n ∈ N). Ein Widerspruch.
3.) ⇒ 1.) Angenommen 1.) gilt nicht. Dann existieren Folgen
(xn ), (yn ) mit 0 < xn < yn und kxn k > nkyn k (n ≥ 1).
Für vn = xn /kxn k, wn = yn /kxn k gilt
0 ≤ vn < wn ,
nkwn k = n
kyn k
< 1.
kxn k
Insbesondere gilt kwn k → 0 (n → ∞) und
|1 − kwn − vn k | ≤ kvn − (wn − vn )k = kwn k,
also 1 − kwn − vn k ≤ kwn k ⇒ kwn − vn k ≥ 1 − kwn k > 0.
Aus vn , (wn − vn )/kwn − vn k ∈ K mit Norm 1 folgt
°
°
°
°
w
−
v
n
n
° ≥ δ.
°vn +
°
kwn − vn k °
Somit gilt
° µ
°
δ≤°
°vn 1 −
°
¶
°
wn
1
°≤
+
kwn − vn k
kwn − vn k °
¯
¯
¯
¯
1
¯ + kwn k
≤ ¯¯1 −
kwn − vn k ¯ kwn − vn k
| kwn − vn k − 1| + kwn k
2kwn k
≤
→ 0 (n → ∞).
kwn − vn k
1 − kwn k
Ein Widerspruch.
¤
=
Folgerung: Ein Kegel K ist genau dann normal, wenn alle Ordnungsintervalle beschränkt sind:
22
Beweis: Ist K normal, so gilt 2.) und alle Ordnungsintervalle sind
beschränkt. Sei umgekehrt jedes Ordnungsintervall beschränkt.
Angenommen K ist nicht normal.
Dann existierten Folgen (xn ), (yn ) mit
kxn k = kyn k = 1, xn , yn ≥ 0, kxn + yn k ≤
Sei
z :=
∞
X
1
.
n3
n(xn + yn ) ∈ K.
n=1
Für jedes m ∈ N gilt
mxm ≤
m
X
n(xn + yn ) ≤ z
n=1
⇒ mxm ∈ [0, z], kmxm k = m (m ∈ N).
Somit ist [0, z] unbeschränkt. Ein Widerspruch.
¤
Im folgenden werden in Funktionenräumen reellwertiger Funktionen E die Kegel der punktweise nichtnegativen Funktionen
mit E + bezeichnet.
Beispiele: (Beachte: Normalität ist invariant unter äquivalenter
Umnormierung.)
Folgende Kegel sind normal:
1.) E = Rn ; K beliebiger Kegel. Beweis später.
2.) E = l∞ (N), c0 (N), c(N), lp (N), C([a, b], R); K = E + .
Z. B. E = C([a, b], R): 0 ≤ x ≤ y ⇒ 0 ≤ x(t) ≤ y(t) (t ∈ [a, b])
⇒ kxk∞ = max x(t) ≤ max y(t) = kyk∞ .
t∈[a,b]
t∈[a,b]
3.) E = C 1 ([a, b], R), kxk = kxk∞ + kx0 k∞ ; K = E + ist nicht
normal:
Das Ordnungsintervall [−1, 1] unbeschränkt. Es enthält die Funktionen xn (t) = sin(nt), und es existiert ein n0 , so daß für n ≥ n0
gilt
kxn k = 1 + n → ∞ (n → ∞).
23
Reguläre Kegel:
Satz 10 Ist K regulär, so ist K normal.
Beweis: Angenommen K ist nicht normal. Dann existieren Folgen (xn ), (yn ) in K ∩ ∂B1 (0) mit
kxn + yn k ≤
Setze
vn =
n
X
1
(n ∈ N).
2n
xk , z =
∞
X
(xk + yk ).
k=1
k=1
Dann gilt: v1 ≤ v2 ≤ v3 ≤ · · · ≤ z.
Da K regulär ist, konvergiert (vn ) im Widerspruch zu
kvn+1 − vn k = kxn+1 k = 1 (n ∈ N).
¤
Beispiele: 1.) Ist dim E < ∞, so ist jeder Kegel regulär (somit
auch normal). Beweis später.
2.) E = c0 (N), K = E + (N) ist regulär (Übung).
3.) E = C([a, b], R), K = E + ist nicht regulär:
Z.B. ist die Folge (xn ), xn (t) = 1 − tn (t ∈ [0, 1]) in C([0, 1], R)
wachsend und xn ≤ 1 (n ∈ N).
Aber (xn ) ist nicht gleichmäßig konvergent auf [0, 1].
Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis:
E sei ein reeller Banachraum. Im Folgenden sei E ∗ der Dualraum
von E normiert durch kϕk = sup |ϕ(x)|, also
kxk=1
E ∗ = {ϕ : E → R : ϕ linear und stetig }.
Bemerkung: 1.) Die Elemente von E ∗ heißen stetige lineare Funktionale oder auch stetige Linearformen von E.
24
2.) Ein beliebiges lineares Funktional ϕ : E → R ist stetig genau
dann, wenn ein c > 0 existiert mit
|ϕ(x)| ≤ ckxk (x ∈ E).
In diesem Fall existiert
kϕk := sup
x6=0
|ϕ(x)|
= sup |ϕ(x)|
kxk
kxk=1
und heißt die Norm von ϕ.
3.) E ∗ versehen mit dieser Norm ist ein Banachraum.
Beweis der Vollständigkeit:
∗
Sei (ϕn )∞
n=1 eine Cauchy-Folge in E .
Dann gilt:
|ϕn (x) − ϕm (x)| ≤ kϕn − ϕm k kxk.
Somit ist für jedes x ∈ E die Folge (ϕn (x)) eine CF in R. Sei
ϕ(x) = lim ϕn (x) (x ∈ E).
n→∞
ϕ : E → R ist linear. Da eine Cauchy-Folge in einem normierten
Raum beschränkt ist, gilt kϕn k ≤ c (n ∈ N); also
|ϕn (x)| ≤ kϕn k kxk ≤ ckxk ⇒ |ϕ(x)| ≤ ckxk.
Somit ist ϕ ∈ E ∗ .
Weiter ist für alle x mit kxk = 1:
|ϕn (x) − ϕm (x)| ≤ kϕn − ϕm k.
Zu ε > 0 existiert ein n0 ∈ N mit kϕn − ϕm k < ε (n, m ≥ n0 );
somit
|ϕn (x) − ϕm (x)| < ε (kxk = 1, m, n ≥ n0 ).
Für m → ∞ erhält man
|ϕn (x) − ϕ(x)| ≤ ε (kxk = 1, n ≥ n0 ),
25
also kϕn − ϕk ≤ ε (n ≥ n0 ).
Somit konvergiert (ϕn ) in E ∗ gegen ϕ.
¤
Beispiele für stetige lineare Funktionale:
1.) E = Rn . Dann kann E ∗ als Rn dargestellt werden: Zu jedem
ϕ ∈ E ∗ existiert genau ein y ∈ Rn mit ϕ(x) = hx, yi (Standardskalarprodukt).
2.) E = c0 (N). Ist (yk ) ∈ l1 (N), so ist ϕ : E → R mit ϕ(x) =
P∞
k=1 xk yk ein stetiges lineares Funktional:
Es gilt
|ϕ(x)| ≤
∞
X
kxkc0 · |yk | = kykl1 · kxkc0 (⇒ kϕk ≤ kykl1 ).
k=1
Betrachtet man speziell die Folge x(n) mit

 |yk | ; k ∈ {1, . . . , n}, y 6= 0
k
(n)
yk
,
xk =

0;
sonst
so ist
(n)
ϕ(x ) =
n
X
|yk | → kykl1 (n → ∞)
k=1
und wegen
kx(n) kc0 = 1 (n ≥ n0 ) ( falls y 6= 0)
folgt kϕk = kykl1 .
Ist schließlich ϕ ∈ (c0 (N))∗ , so setzte
yk := ϕ(ek ) (k ∈ N).
Man kann nachrechnen: (yk ) ∈ l1 (N) und
ϕ(x) =
∞
X
xk yk (x ∈ c0 (N)).
k=1
26
(Übung!)
Ergebnis: (c0 (N))∗ kann als l1 (N) dargestellt werden. Man schreibt
auch kurz
(c0 (N))∗ = ll (N).
Im selben Sinne gilt (l1 (N))∗ = l∞ (N), sowie
(lp (N))∗ = lq (N) mit
1 1
+ = 1 (p > 1).
p q
Definition:
Ist ϕ ∈ E ∗ \ {0} und α ∈ R, so heißt
H := {x ∈ E : ϕ(x) = α}
eine Hyperebene in E.
Ob es in jedem Banachraum E 6= {0} überhaupt nichttriviale
Funktionale gibt, klärt der
Satz 11 (Satz von Hahn-Banach):
Sei V ein reeller Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum.
q : V → R sei ein sublineares Funktional, d.h.
q(x + y) ≤ q(x) + q(y), q(λx) = λq(x) (x, y ∈ V, λ ≥ 0).
Ist dann Ψ : U → R linear mit Ψ(x) ≤ q(x) (x ∈ U ), so existiert
ein lineares ϕ : V → R mit
ϕ(x) = Ψ(x) (x ∈ U ), − q(−x) ≤ ϕ(x) ≤ q(x) (x ∈ V ).
D.h. also, Ψ kann auf V unter Erhaltung der vorausgesetzten
Abschätzung linear fortgesetzt werden.
Mit dem Satz von Hahn-Banach folgen u.a.:
Satz 12 Ist E ein Banachraum und x0 ∈ E \ {0}, so existiert
ein ϕ ∈ E ∗ mit kϕk = 1 und ϕ(x0 ) = kx0 k.
27
Beweis: Setze q(x) = kxk, U = [x0 ] und Ψ(λx0 ) = λkx0 k.
Offensichtlich ist Ψ linear, und für x = λx0 ∈ U gilt
Ψ(x) = λkx0 k ≤ |λ| kx0 k = kλx0 k = kxk.
Somit existiert ein lineares ϕ : E → R mit
ϕ(x) = Ψ(x) (x ∈ U )
und
−k − xk ≤ ϕ(x) ≤ kxk (x ∈ E),
also ϕ(x0 ) = kx0 k und |ϕ(x)| ≤ kxk (x ∈ E).
Insbesondere ist kϕk = 1.
¤
Eine weitere Folgerung ist der folgende Trennungssatz:
Satz 13 Es seien A, B konvexe nichtleere Teilmengen des Banachraumes E mit A ∩ B = ∅.
Dann gilt:
1.) Ist A offen, so existieren ein ϕ ∈ E ∗ und ein γ ∈ R mit
ϕ(x) < γ ≤ ϕ(y) (x ∈ A, y ∈ B).
2.) Ist A kompakt und B abgeschlossen, so existiert ein ϕ ∈ E ∗
und γ1 , γ2 ∈ R mit
ϕ(x) < γ1 < γ2 < ϕ(y) (x ∈ A, y ∈ B).
Als Anwendung beweisen wir:
Satz 14 Ist E ein Banachraum, F ⊆ E ein abgeschlossener
Untervektorraum und x0 ∈ E \ F . Dann existiert ein ϕ ∈ E ∗
mit ϕ(x) = 0 (x ∈ F ) und ϕ(x0 ) 6= 0.
Beweis: A = F ist abgeschlossen, konvex; B = {x0 } ist kompakt.
Somit existieren ein ϕ ∈ E ∗ und γ1 ∈ R mit
ϕ(x) < γ1 < ϕ(x0 ) (x ∈ F ).
28
Wegen 0 ∈ F folgt γ1 > 0.
Sei nun x ∈ F fest. Dann ist
ϕ(tx) = tϕ(x) < γ1 (t ∈ R) ⇒ ϕ(x) = 0.
Schließlich ist ϕ(x0 ) > γ1 > 0.
¤
Eine weitere Konsequenz aus dem Trennungssatz ist:
Ist ∅ =
6 A ⊆ E konvex, A 6= E und A offen oder abgeschlossen,
so liegt A auf einer Seite des durch eine Hyperebene getrennten
Raumes. Ohne topologische Voraussetzungen ist dies i.a. falsch.
Beispiel: A ⊆ c0 (N) definiert durch
A = {(xk ) : ∃k0 ∀k ≥ k0 : xk = 0}
ist konvex und dicht in c0 (N).
Hier gilt
ϕ(A) = R (ϕ ∈ E ∗ \ {0}).
Satz 15 (Baire): Sei X 6= ∅ ein vollständiger metrischer Raum
und (Ak )∞
k=1 eine Folge dichter offener Teilmengen von X. Dann
∞
\
ist
Ak dicht in X.
k=1
Beweis: Sei B0 eine beliebige offene nichtleere Teilmenge von X.
Da B0 ∩ A1 6= ∅ und B0 ∩ A1 offen ist, existiert eine offene Kugel
B1 mit Radius < 1 und B 1 ⊆ B0 ∩ A1 .
Da B1 ∩ A2 offen und 6= ∅ ist, existiert eine Kugel B2 mit Radius
< 12 und B 2 ⊆ B1 ∩ A2 .
Induktiv erhält man Kugeln
Bn = {x ∈ X : d(x, xn ) < rn }
mit Radius rn <
1
n
und B n ⊆ Bn−1 ∩ An (n ∈ N).
Beachte: In metrischen Räumen ist i.a.
B n 6= {x ∈ X : d(x, xn ) ≤ rn }.
29
T
Setze C = ∞
n=1 B n . Die Folge der Mittelpunkte (xn ) ist eine Cauchyfolge in X, denn für n < m ist B m ⊆ Bn , also
d(xm , xn ) < rn < n1 .
Sei y := lim xn . Es ist y ∈ C, also C 6= ∅.
n→∞
Aus der Konstruktion folgt C ⊆ B0 und C ⊆ An (n ∈ N).
T
T∞
Also ist y ∈ B0 ∩ ( ∞
A
).
Da
B
beliebig
war,
ist
n
0
n=1
n=1 An
dicht in X.
¤
Folgerung: Ist X 6= ∅ ein vollständiger metrischer Raum und
S∞
(An )∞
n=1 eine Folge von abgeschlossenen Mengen mit X =
n=1 An ,
so hat mindestens eine der Mengen An nichtleeres Inneres:
T
Sonst wäre X \ An offen und dicht (n ∈ N), also ∞
n=1 (X \ An )
dicht aber auch leer. W!
Definition: Ist K ein Keil in E, so heißt
K ∗ := {ϕ ∈ E ∗ : ϕ(x) ≥ 0 (x ∈ K)}
der zu K duale Keil.
Satz 16 K ∗ ist ein Keil in E ∗ .
Beweis: Offensichtlich gilt:
K ∗ 6= ∅ (0 ∈ K ∗ ), K ∗ + K ∗ ⊆ K ∗ , λK ∗ ⊆ K ∗ (λ ≥ 0).
Bleibt zu zeigen: K ∗ ist abgeschlossen.
∗
Ist (ϕn )∞
n=1 eine konvergente Folge in K mit Grenzwert ϕ0 , so
ist
ϕ0 (x) = lim ϕn (x) (x ∈ E),
n→∞
also ϕ0 (x) ≥ 0 (x ∈ K).
¤
Die Frage, wann K ∗ ein Kegel ist, klärt der Satz von HahnBanach:
Ist K ⊆ E ein Keil, so gilt:
30
Satz 17 K ∗ ist ein Kegel ⇔ K ist ein totaler Keil.
Beweis: “⇐”
ϕ ∈ K ∗ ∩ (−K ∗ ) ⇒ ϕ(x) = 0 (x ∈ K)
⇒ ϕ(x) = 0 (x ∈ K − K) ⇒ ϕ(x) = 0 (x ∈ K − K = E).
“⇒” Angenommen K ist nicht total ⇔ K − K 6= E.
K − K ist ein abgeschlossener Untervektorraum von E.
Sei x0 ∈ E \ (K − K). Nach Satz 14 existiert ein ϕ ∈ E ∗ mit
ϕ(K − K) = {0}, ϕ(x0 ) 6= 0.
Damit existiert ein 0 6= ϕ ∈ K ∗ ∩ (−K ∗ ). W!
¤
Zwischen K und K ∗ bestehen folgende Zusammenhänge. Dabei
sei stets E 6= {0}.
Satz 18 Sei K ⊆ E ein Kegel. Dann gilt:
a) K ∗ 6= {0}, und
x ∈ K ⇔ ϕ(x) ≥ 0 (ϕ ∈ K ∗ ).
Für x ∈ K \ {0} existiert stets ein ϕ ∈ K ∗ mit ϕ(x) > 0.
b) Sei K körperhaft. Dann gilt:
◦
x0 ∈ K ⇒ ∀ϕ ∈ K ∗ \ {0} : ϕ(x0 ) > 0,
und
x0 ∈ ∂K ⇒ ∃ϕ ∈ K ∗ \ {0} : ϕ(x0 ) = 0.
Beweis: a) Sei x0 ∈
/ K. Nach dem Trennungssatz von HahnBanach existieren ein ϕ ∈ E ∗ und α, β ∈ R mit
ϕ(x0 ) < α < β < ϕ(x) (x ∈ K).
Sei x ∈ K fest. Angenommen ϕ(x) < 0. Dies widerspricht
λϕ(x) = ϕ(λx) > β (λ ≥ 0).
Also ist ϕ ∈ K ∗ . Es ist β < 0 ⇒ ϕ(x0 ) < 0.
Somit ist ϕ ∈ K ∗ \ {0}.
31
Ist x ∈ K, so ist ϕ(x) ≥ 0 (ϕ ∈ K ∗ ) nach Definition von K ∗ .
Ist umgekehrt ϕ(x) ≥ 0 (ϕ ∈ K ∗ ), so ist x ∈ K (sonst existiert
nach obiger Überlegung ein ϕ ∈ K ∗ mit ϕ(x) < 0.)
Ist x ∈ K \ {0} und ϕ(x) ≤ 0 (ϕ ∈ K ∗ ), so ist
ϕ(−x) ≥ 0 (ϕ ∈ K ∗ ),
also
−x ∈ K ⇒ x ∈ K ∩ (−K) ⇒ x = 0,
ein Widerspruch.
◦
b) Es sei x0 ∈ K, ϕ ∈ K ∗ \ {0}.
Angenommen, ϕ(x0 ) = 0.
Es existiert ein z ∈ E : ϕ(z) < 0 (da ϕ 6= 0). Dann ist ϕ(x0 +
λz) < 0 (λ > 0), aber für ein ε > 0 gilt:
x0 + λz ∈ K (λ ∈ (0, ε)),
ein Widerspruch.
Sei weiter x0 ∈ ∂K. Nach dem Trennungssatz von Hahn-Banach
◦
(K ist offen und konvex), existieren ϕ ∈ E ∗ , und α ∈ R, mit
◦
ϕ(x0 ) ≤ α < ϕ(x) (x ∈ K).
◦
Für x ∈ K folgt wieder
ϕ(x) ≥ 0.
(Denn: ϕ(x) < 0 widerspricht λϕ(x) > α (λ > 0).)
◦
Da K dicht in K ist, ist ϕ ∈ K ∗ .
Weiter ist
0 ≤ ϕ(x0 ) ≤ α ≤ ϕ(0) = 0,
◦
und ϕ 6= 0 wegen ϕ(x) > 0 (x ∈ K).
32
¤
Satz 19 Sei dim E < ∞ und K ⊆ E ein Kegel. Dann ist K
regulär.
Beweis: Sei 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ b.
Es genügt zu zeigen, daß {xn : n ∈ N} beschränkt ist, denn
dann ist sie relativ kompakt und, wie in allgemein geordneten
metrischen Räumen bewiesen, folgt die Konvergenz von (xn ).
Wir zeigen dazu:
∃Ψ ∈ K ∗ ∃α > 0 ∀x ∈ K : αkxk ≤ Ψ(x).
Sei C = K ∩ ∂B1 (0). Zu jedem x ∈ C existiert ein ϕx ∈ K ∗
mit ϕx (x) > 0 und damit ϕx (y) > 0 (y ∈ Brx (x)) für einen
geeigneten Radius rx > 0.
S
Wegen C kompakt und C ⊆ x∈C Brx (x) überdecken endlich
viele dieser Kugeln C.
Es seien ϕξ1 , . . . , ϕξn die zugehörige Funktionale und
Ψ := ϕξ1 + · · · + ϕξn ∈ K ∗ .
Dann ist Ψ(x) ≥ α (x ∈ C) für ein α > 0, und somit
Ψ(x) ≥ αkxk (x ∈ K).
¤
Bemerkung:
Ist E ein beliebiger Banachraum und Ψ ∈ E ∗ , so ist
K := {x ∈ E : Ψ(x) ≥ kxk}
ein regulärer Kegel. (Übung.)
Satz 20 Sei K ⊆ E ein Keil. Dann gilt:
K ist reproduzierend ⇒ K ∗ ist normal.
(Beachte: K total ⇒ K ∗ Kegel.)
Beweis: Sei K reproduzierend und C := K ∩ B1 (0).
Wir zeigen zuerst: ∃r > 0 : Br (0) ⊆ C − C:
33
S
Wegen E = K − K ist E = ∞
n=1 n · (C − C).
Nach dem Bairschen Kategoriesatz gilt
(C − C)◦ 6= ∅.
Weiter ist C − C konvex und symmetrisch (d.h. x ∈ C − C ⇒
−x ∈ C − C).
Daher ist 0 innerer Punkt, also Br (0) ⊆ C − C für ein r > 0:
1
1
kyk ≤ r, y = (x0 + y) + (−x0 + y),
2
2
Br (±x0 ) ⊆ C − C;
mit x0 + y ∈ Br (x0 ) und −x0 + y ∈ Br (−x0 ).
Nun sei 0 ≤ ϕ ≤ Ψ, ϕ, Ψ ∈ E ∗ .
Seien ε > 0, x ∈ E fest. Es gilt
kx −
kxk
(v − u)k ≤ ε
r
für geeignete u, v ∈ C: Zu x 6= 0 existieren u, v ∈ C mit
k
r
x
r − (v − u)k ≤ ε
.
kxk
kxk
Also gilt mit d := x −
ϕ(x) =
kxk
r (v
− u):
kxk
kxk
ϕ(v − u) + ϕ(d) ≤
ϕ(v) + ϕ(d)
r
r
kxk
1
Ψ(v) + ϕ(d) ≤ kΨk kxk + kϕkε
r
r
1
1
⇒ε→0+ ϕ(x) ≤ kΨk kxk ⇒ kϕk ≤ kΨk.
r
r
≤
¤
Bemerkung: Es gilt die Umkehrung obigen Satzes. Also:
K ∗ ist normal ⇒ K ist reproduzierend.
Dual dazu gilt:
K ist normal ⇔ K ∗ ist reproduzierend
(ohne Beweis).
34
Beispiel: 1.) E = Rn , K = Knat .
Wie üblich stellen wir (Rn )∗ durch Rn dar:
ϕy (x) = hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn .
Dann ist K ∗ = K, also
ϕy ∈ K ∗ ⇔ y ∈ K ⇔ y1 , . . . , yn ≥ 0.
Beweis: Offensichtlich ist für jedes y ∈ K das Funktional ϕy in
K ∗.
Ist umgekehrt ϕy ∈ K ∗ und ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), so ist
ϕy (ek ) = yk ≥ 0 (k = 1, . . . , n).
2.) E = R2 , K = {(x, 0) : x ≥ 0}.
Dann ist K ∗ = {(α, β) : α ≥ 0}.
Beweis: Ist (α, β) ∈ R2 , α ≥ 0, so ist
ϕ(α,β) (x, y) = αx ≥ 0 ((x, y) ∈ K).
Ist umgekehrt ϕ(α,β) (x, y) = αx ≥ 0 ((x, y) ∈ K), so ist
ϕ(α,β) (1, 0) = α ≥ 0.
Hier ist K nicht reproduzierend, somit K ∗ nicht normal, was im
endlichdimensionalen Fall nur möglich ist, wenn K ∗ kein Kegel
ist.
Die Ordnungsnorm:
Es sei K ⊆ E ein normaler, körperhafter Kegel. Es sei k.k die
◦
Norm auf E und p ∈ K. Wir definieren eine neue Norm k.kp
durch das Minkowskifunktional von [−p, p], also
kxkp := inf{λ > 0 :
1
x ∈ [−p, p]}.
λ
Satz 21 k.kp ist eine zu k.k äquivalente Norm, und es gilt:
a) −αp ≤ x ≤ αp ⇔ kxkp ≤ α;
35
b) 0 ≤ x ≤ y ⇒ kxkp ≤ kykp .
Beweis: Zunächst ist [−p, p] = (−p + K) ∩ (p − K) abgeschlossen
und beschränkt (K ist normal).
Es existiert ein r > 0 mit Br (p) ⊆ K (Kugel bezgl. k.k), somit
ist Br (0) ⊆ [−p, p]. Also ist (x ∈ E fest):
r
x ∈ Br (0) ⊆ [−p, p].
kxk + 1
Damit existiert obiges Infimum.
Es gilt kxkp ≥ 0 und
kxkp = 0 ⇒ −λp ≤ x ≤ λp (λ > 0) ⇒λ→0+ 0 ≤ x ≤ 0 ⇒ x = 0.
Für µ ∈ R ist
kµxkp = inf{λ > 0 :
= inf{λ > 0 :
µ
x ∈ [−p, p]}
λ
|µ|
x ∈ [−p, p]} = |µ| kxkp .
λ
Für x, y ∈ E gilt
kx + ykp = inf{λ > 0 :
x+y
∈ [−p, p]}.
λ
O.B.d.A. seien x, y 6= 0, also kxkp , kykp > 0.
Es gilt
x
y
,
∈ [−p, p]
kxkp kykp
([−p, p] ist abgeschlossen) und, da [−p, p] konvex ist, folgt:
kxkp
x
kykp
y
·
+
·
kxkp + kykp kxkp kxkp + kykp kykp
=
x+y
∈ [−p, p],
kxkp + kykp
also kx + ykp ≤ kxkp + kykp .
Zu a): Nach Definition gilt −kxkp p ≤ x ≤ kxkp p und
kxkp = min{λ ≥ 0 : −λp ≤ x ≤ λp}.
36
Zu b):
0 ≤ x ≤ y ⇒ 0 ≤ x ≤ kykp p
⇒ −kykp p ≤ x ≤ kykp p ⇒ kxkp ≤ kykp .
Beweis der Äquivalenz der Normen:
Wegen Br (0) ⊆ [−p, p], also Br (0) ⊆ [−p, p] gilt für jedes x 6= 0:
r
1
r
x ∈ [−p, p] ⇒ k
xkp ≤ 1 ⇒ kxkp ≤ kxk.
kxk
kxk
r
Da [−p, p] beschränkt in (E, k · k) ist existiert ein R > 0 mit
[−p, p] ⊆ BR (0).
Somit gilt für jedes x 6= 0:
x
x
∈ BR (0) ⇒ k
k ≤ R ⇒ kxk ≤ Rkxkp .
kxkp
kxkp
¤
Beispiel:
1.) E = Rn , K = Knat , p = (1, . . . , 1).
Dann ist
−αp ≤ x ≤ αp ⇔ |xk | ≤ α (k = 1, . . . , n)
und das kleinste α, daß diese Ungleichungen erfüllt, ist die Maximumnorm kxkp = max |xk |.
k=1,...,n
p
2.) E = R3 , K = Kice = {(x, y, z) = z ≥
x2 + y 2 }, und
p = (0, 0, 1). Dann ist
p
p
−αp ≤ (x, y, z) ≤ αp ⇔ z + α ≥ x2 + y 2 ∧ α − z ≥ x2 + y 2
p
⇔ α ≥ |z| + x2 + y 2 .
p
Also k(x, y, z)kp = |z| + x2 + y 2 .
3.) E = C([a, b], R), K = C + ([a, b], R), p(t) = 1 (t ∈ [a, b]).
Wie in 1.) folgt kxkp = maxt∈[a,b] |x(t)|.
37
Wählt man irgendein p : [a, b] → R, p stetig mit p(t) > 0 (t ∈
◦
[a, b]), so ist p ∈ K und
−αp ≤ x ≤ αp ⇔ −α ≤
Also ist kxkp = max
t∈[a,b]
x(t)
≤ α (t ∈ [a, b]).
p(t)
|x(t)|
.
p(t)
Banachverbände:
Es sei E ein reeller Banachraum geordnet durch einen Kegel K,
und es sei E mit dieser Ordnung ein Verband.
Übliche Schreibweise:
x ∨ y = sup{x, y},
x ∧ y = inf{x, y}.
Übung:
Es gilt −(x∨y) = (−x)∧(−y), z +(x∨y) = (x+z)∨(y +z) und
λ(x ∨ y) = (λx) ∨ (λy) (λ ≥ 0) (ebenso mit ∨ und ∧ vertauscht).
Definition: Für x ∈ E definiert man den positiven [negativen]
Teil und den Betrag durch
x+ = x ∨ 0; x− = (−x) ∨ 0; |x| = x ∨ (−x).
Zwei Elemente x, y ∈ E heißen disjunkt falls |x| ∧ |y| = 0.
Schreibweise: x ⊥ y.
Satz 22 Für x, y ∈ E und λ ∈ R gilt:
1. x = x+ − x− ;
2. |x| = x+ + x− ;
3. |x| = 0 ⇔ x = 0, |λ| |x| = |λx|, |x + y| ≤ |x| + |y|;
4. x + y = x ∨ y + x ∧ y.
Darüberhinaus ist 1. die eindeutig bestimmte Darstellung von x
als Differenz disjunkter Vektoren aus K.
38
Bemerkung: Insbesondere ist also K reproduzierend.
Beweis: Zunächst gilt
x1 −(x∧y)+y1 = x1 +((−x)∨(−y))+y1 = (x1 −x+y1 )∨(x1 −y+y1 ).
Mit x = x1 und y = y1 erhalten wir 4. und dann mit y = 0 folgt
1. Die ersten beiden Eigenschaften von 3. sind trivial. Die dritte
folgt aus
±x ≤ |x|, ± y ≤ |y|, ⇒ ±(x + y) ≤ |x| + |y|.
Aus
x+ + x− = x + 2x− = x + (−2x) ∨ 0 = (−x) ∨ x
folgt 2. Weiter gilt:
x+ ∧ x− = (x + x− ) ∧ x− = x− + x ∧ 0 = x− − (−x) ∨ 0 = 0.
Ist x = y − z mit y ∧ z = 0 und y, z ≥ 0, so ist
x+ = x ∨ 0 = (y − z) ∨ 0
= −((z − y) ∧ 0) = −(−y + z ∧ y) = y,
und analog x− = z.
¤
Definition: Gilt nun zusätzlich
|x| ≤ |y| ⇒ kxk ≤ kyk,
so heißt E ein Banachverband.
Bemerkung: In diesem Fall gilt 0 ≤ x ≤ y ⇒ |x| = x ≤ y = |y|
⇒ kxk ≤ kyk. Somit ist K normal.
Beispiele:
1. Die Räume E = Rn , C([a, b], R), c0 , c, l∞ , lp (p ≥ 1), geordnet durch E + , sind Banachverbände (versehen mit der üblichen
Norm).
39
Z.B. für E = Rn , K = Knat gilt
x+ = (max{x1 , 0}, . . . , max{xn , 0}),
x− = (max{−x1 , 0}, . . . , max{−xn , 0}),
|x| = (|x1 |, . . . , |xn |).
2. R3 geordnet durch Kice ist kein Verband.
Die Menge M = {(0, 1, 0), (0, −1, 0)} besitzt kein Supremum:
(x, y, z) ist eine obere Schranke von M , genau dann wenn
p
p
z ≥ x2 + (y − 1)2 , z ≥ x2 + (y + 1)2 .
Angenommen (x0 , y0 , z0 ) ist das Supremum von M . Dann ist
x0 = y0 = 0 (sonst ist (−x0 , y0 , z0 ) bzw. (x0 , −y0 , z0 ) eine unvergleichbare obere Schranke). Damit ist notwendig (x0 , y0 , z0 ) =
√
(0, 0, 1). Dann ist aber (1, 0, 2) eine mit (0, 0, 1) unvergleichbare obere Schranke.
3
Differential(un)gleichungen in geordneten
Banachräumen
Es sei (E, k · k) ein reeller Banachraum und K ⊆ E ein Kegel.
Es sei D ⊆ E und f : D → E eine Funktion.
Definition: (Volkmann 1972)
f : D → E heißt quasimonoton wachsend (qmw), wenn gilt:
x, y ∈ D, x ≤ y, ϕ ∈ K ∗ , ϕ(x) = ϕ(y) ⇒ ϕ(f (x)) ≤ ϕ(f (x)).
Ist I ⊆ R ein Intervall und f : I × D → E, so heißt f qmw,
wenn x 7→ f (t, x) qmw für jedes t ∈ I ist.
Beispiel:
1.) Jede wachsende Funktion f : D → E ist qmw:
x ≤ y, ϕ ∈ K ∗ ⇒ ϕ(f (y) − f (x)) ≥ 0.
40
2.) Für jedes λ ∈ R ist x 7→ λx qmw:
x ≤ y, ϕ ∈ K ∗ , ϕ(x) = ϕ(y)
⇒ ϕ(λx) = λϕ(x) = λϕ(y) = ϕ(λy).
3.) f, g : D → E qmw, λ ≥ 0 ⇒ f + λg qmw.
Insbesondere:
a.) f qmw, λ ∈ R ⇒ f + λid qmw,
b.) ∃λ ∈ R : f + λid ist wachsend ⇒ f ist qmw.
Wir betrachten den Fall E = Rn , K = Knat .
In diesem Fall geht der Begriff qmw zurück auf Walter (1964),
und es gilt:
Satz 23 Es seien ϕ1 , . . . , ϕn die Funktionale ϕj (x) = xj . Eine
Abbildung f : D → Rn ist genau dann qmw (bzgl. Knat ), wenn
gilt:
(
x, y ∈ D, x ≤ y, ϕ ∈ {ϕ1 , . . . , ϕn }, ϕ(x) = ϕ(y)
(∗)
⇒ ϕ(f (x)) ≤ ϕ(f (y)).
Bemerkung: In diesem Fall kann also K ∗ in obiger Definition
durch die Teilmenge {ϕ1 , . . . , ϕn } ersetzt werden.
Beweis: Es gelte (∗). Es seien x, y ∈ D, x ≤ y, ϕ ∈ K ∗ , ϕ(x) =
ϕ(y); ϕ habe die Darstellung (·, z) mit z = (z1 , . . . , zn ) ∈ K.
Dann ist
ϕ = z1 ϕ1 + · · · + zn ϕn .
Aus
ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ z1 (y1 − x1 ) + · · · + zn (yn − xn ) = 0
folgt: yj > xj ⇒ zj = 0.
Es sei J = {j : yj = xj }. Es ist
X
ϕ=
zj ϕj
j∈J
41
und für j ∈ J gilt ϕj (x) = ϕj (y). Aus (∗) folgt ϕj (f (x)) ≤
ϕj (f (y)) (j ∈ J), also ϕ(f (x)) ≤ ϕ(f (y)).
¤
In Koordinaten ausgeschrieben bedeutet (∗):
(x1 , . . . , xn ) ≤ (y1 , . . . , yn ), xj = yj für ein j ∈ {1, . . . , n} ⇒
fj (x1 , . . . , xn ) ≤ fj (y1 , . . . , yn ).
Ist z.B. D = Rn (oder allgemeiner offen und ordnungskonvex),
so ist dies äquivalent zu
fj (x1 , . . . , xn ) ist wachsend in xi (i 6= j).
Beispiel: Sei A ∈ Rn×n , A = (aij ), f (x) = Ax.
Dann ist f qmw genau dann, wenn gilt:
aij ≥ 0 (i 6= j).
Bemerkung: Im Fall n = 1 (E = R) ist Knat = [0, ∞). Dann
ist (∗) für jede Funktion f : D → R erfüllt, d.h. in R ist jede
Funktion qmw.
p
(Beispiel: f (x) = |x| ist qmw, f (x) + λx ist für kein λ ∈ R
wachsend.)
Differentialungleichungen:
Es sei E ein Banachraum geordnet durch einen körperhaften
Kegel K.
Satz 24 (Volkmann 1972):
Es sei f : [a, b] × D → E eine qmw Funktion, es seien u, v :
[a, b] → D stetige Funktionen und u, v seien linksseitig differenzierbar auf (a, b]. Dann folgt aus
0
u0− (t) − f (t, u(t)) ¿ v−
(t) − f (t, v(t)) (t ∈ (a, b]),
u(0) ¿ v(0)
die Ungleichung u(t) ¿ v(t) (t ∈ [a, b]).
42
Bemerkung: Wie in endlich-dimensionalen Fall heißt u : J → E
(J ⊆ R ein Intervall) differenzierbar in t0 ∈ J, wenn
u(t) − u(t0 )
=: u0 (t0 )
t→t0
t − t0
lim
in E existiert. Entsprechend sind höhere Ableitungen und einseitige Ableitungen definiert.
Beweis: Sei d(t) := v(t) − u(t) (t ∈ [a, b]). Wegen d(a) À 0, und
da d stetig ist, existiert ein ε > 0 mit d(t) À 0 (t ∈ [a, a + ε).
Angenommen, d(t) À 0 gilt nicht auf [a, b]. Setze
t0 = inf{t ∈ [a, b] : d(t) À
/ 0}.
Dann ist
d(t) À 0 (t ∈ [a, t0 )),
(beachte t0 ≥ a + ε), und d(t0 ) ∈ ∂K. Somit existiert ein ϕ ∈
K ∗ \ {0} mit ϕ(d(t0 )) = 0. Für t ∈ [a, t0 ) gilt:
µ
¶
d(t) − d(t0 )
ϕ(d(t)) − ϕ(d(t0 ))
=ϕ
→t→t0 − ϕ(d0− (t0 ))
0>
t − t0
t − t0
⇒ ϕ(d0− (t0 )) ≤ 0.
Andererseits gilt:
0
ϕ(d0− (t0 )) = ϕ(v−
(t0 ) − u0− (t0 )) > ϕ (f (t0 , v(t0 )) − f (t0 , u(t0 ))) .
Weiter ist ϕ(v(t0 )) = ϕ(u(t0 )) und u(t0 ) ≤ v(t0 ).
Da f qmw ist, folgt
ϕ(f (t0 , u(t0 ))) ≤ ϕ(f (t0 , v(t0 ))),
also insgesamt: ϕ(d0− (t0 )) > 0. Ein Widerspruch.
¤
Es stellt sich die Frage, ob in diesem Satz “¿” durch “≤” ersetzt
werden kann. Im allgemeinen ist dies nicht der Fall.
p
Beispiel: E = R, f : R → R, f (x) = 2 |x|.
Sowohl v(t) = 0 als auch u(t) = t2 lösen das AWP
p
x0 (t) = f (x(t)) = 2 |x(t)|, x(0) = 0,
43
z.B. auf [0, 1]. Es gilt somit
u0 (t) − f (u(t)) ≤ v 0 (t) − f (v(t)) (t ∈ [0, 1]),
u(0) ≤ v(0)
(sogar mit “=”), aber u(t) > v(t) (t ∈ (0, 1]).
Um einen “≤”-Satz für Differentialungleichungen zu beweisen,
betrachten wir folgenden Existenz- und Eindeutigkeitssatz:
Satz 25 (Picard-Lindelöf ):
Sei E ein Banachraum. Ist f : [a, b) × Br (x0 ) → E stetig und
Lipschitz-stetig in der 2. Variablen, also
( ∗ ) kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk
(t ∈ [a, b), x, y ∈ Br (x0 )),
so ist das AWP
u0 (t) = f (t, u(t)),
u(a) = x0
eindeutig lösbar.
(Beweis wie in Analysis III.)
Hieraus folgt die Version für lokal Lipschitz-stetige rechte Seiten:
Sei D ⊆ E offen. Eine Funktion f : [a, b) × D → E heißt lokal
Lipschitz-stetig (in der zweiten Variablen), wenn gilt:
Zu jedem (t0 , x0 ) ∈ [a, b) × D existieren τ, r > 0 und L ≥ 0 mit
Br (x0 ) ⊆ D, [t0 , t0 + τ ) ⊆ [a, b) und
kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk (t ∈ [t0 , t0 + τ ), x, y ∈ Br (x0 )).
Satz 26 Ist D ⊆ E offen und f : [a, b) × D → E stetig und
lokal Lipschitz-stetig in der 2. Variablen, so ist jedes AWP
u0 (t) = f (t, u(t)),
eindeutig lösbar.
44
u(a) = x0 ∈ D
Erinnerung: Eindeutig lösbar bedeutet: Es gibt eine Lösung und
je zwei Lösungen stimmen auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich überein.
Für lokal Lipschitz-stetige Funktionen gilt nun folgender Vergleichssatz. Dabei sei K normal und körperhaft!
Satz 27 Es sei f : [a, b)×D → E lokal Lipschitz-stetig in der 2.
Variablen, qmw, und es seien u, v : [a, b) → D differenzierbare
Funktionen mit
u0 (t) − f (t, u(t)) ≤ v 0 (t) − f (t, v(t))
(t ∈ [a, b)),
u(a) ≤ v(a).
Dann gilt:
u(t) ≤ v(t)
(t ∈ [a, b)).
Beweis: Angenommen: ∃t0 ∈ [a, b) : u(t0 ) 6≤ v(t0 ). Es sei t1 ≥ a
definiert durch
t1 = inf{t ∈ [a, b) : u(t) 6≤ v(t)}.
Es gilt u(t1 ) ≤ v(t1 ) und O.B.d.A. nehmen wir t1 = a an, d.h. in
jedem Intervall [a, a+τ ) existieren nun Stellen t mit u(t) 6≤ v(t).
Es sei r > 0, τ > 0 und L = Lr > 0 so, daß
kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk
für t ∈ [a, a + τ ) und x, y ∈ Br (u(a)) und x, y ∈ Br (v(a)) gilt.
Hierbei sei als Norm das Minkowskifunktional eines Elementes
◦
p ∈ K gewählt. Für ε > 0 definieren wir hε : [a, ∞) → R durch
´
ε ³ L(t−a)
L(t−a)
e
−1 .
hε (t) = εe
+
L
Es gilt:
h0ε (t) = Lhε (t) + ε, hε (t) ≥ ε (t ≥ a),
und hε → 0 (ε → 0+) gleichmäßig auf jeder beschränkten Teilmenge von [a, ∞).
45
Wir setzen auf [a, b)
uε (t) := u(t) − hε (t)p, vε (t) := v(t) + hε (t)p,
und betrachten ε > 0 so klein, daß gilt:
r
(t ∈ [a, a + τ )).
hε (t) <
2
Dann ist insbesondere
r
(t ∈ [a, a + τ )),
ku(t) − uε (t)k = hε (t)kpk = hε (t) <
2
und ebenso
r
kv(t) − vε (t)k = hε (t)kpk = hε (t) <
(t ∈ [a, a + τ )),
2
und es existiert ein τ1 ∈ (0, τ ) mit
u(t) ∈ B 2r (u(a)), v(t) ∈ B 2r (v(a)) (t ∈ [a, a + τ1 ]).
Damit ist
uε (t) ∈ Br (u(a)), vε (t) ∈ Br (v(a)) (t ∈ [a, a + τ1 ]).
Daher gilt für alle t ∈ [a, a + τ1 ]:
u0ε (t)−f (t, uε (t)) = u0 (t)−h0ε (t)p−f (t, u(t))+f (t, u(t))−f (t, uε (t))
≤ v 0 (t) − f (t, v(t)) − h0ε (t)p + Lkhε (t)pkp
= vε0 (t) − f (t, vε (t)) − 2h0ε (t)p + f (t, vε (t)) − f (t, v(t)) + Lhε (t)p
≤ vε0 (t) − f (t, vε (t)) − 2h0ε (t)p + 2Lhε (t)p
= vε0 (t) − f (t, vε (t)) − 2εp ¿ vε0 (t) − f (t, vε (t)).
Weiter ist
uε (a) = u(a) − hε (a)p ¿ u(a) ≤ v(a) ¿ vε (a).
Somit folgt (da f qmw ist)
uε (t) ¿ vε (t) (t ∈ [a, a + τ1 ]).
Für ε → 0+ folgt u(t) ≤ v(t) (t ∈ [a, a + τ1 ]) im Widerspruch
zur Definition von t1 = a.
¤
46
Bemerkung: Obiger Satz gilt allgemein für jeden Kegel.
Folgerungen: Es sei K normal und körperhaft.
1.) Ober- und Unterfunktionen:
Es sei f : [a, b) × D → E stetig, qmw und lokal Lipschitz-stetig
in der 2. Variablen.
Wir betrachten das AWP
(A) u0 (t) = f (t, u(t)), u(a) = u0 ∈ D.
Funktionen v, w : [a, T ) → D (a < T ≤ b) heißen Unter- bzw.
Oberfunktion zum AWP (A), wenn gilt
v 0 (t) ≤ f (t, v(t)) (t ∈ [a, T )), v(a) ≤ u0
bzw.
w0 (t) ≥ f (t, w(t)) (t ∈ [a, T )), w(a) ≥ u0 .
Nach dem Ungleichungssatz für lokal Lipschitz-stetige Funktionen folgt v(t) ≤ w(t) (t ∈ [a, T )), und
(#) v(t) ≤ u(t) ≤ w(t) (t ∈ [a, T ) ∩ [a, ω+ ))
für die Lösung u : [a, ω+ ) → D des AWPs (A). Ist z.B. D =
E und ist f ([a, t] × B) beschränkt für t ∈ [a, b) und B ⊆ E
beschränkt, so folgt:
ω+ ≥ T und auf [a, T ) gilt (#).
2.) Wieder sei f : [a, b)×D → E stetig, qmw und lokal Lipschitzstetig in der 2. Variablen.
Dann hängt die Lösung des AWPs
u0 (t) = f (t, u(t)), u(a) = x0 ∈ D
monoton wachsend vom AW ab; denn ist y0 ∈ D, y0 ≥ x0 und
v die Lösung von
v 0 (t) = f (t, v(t)), v(a) = y0 ,
47
so gilt u(a) ≤ v(a) und u0 (t) − f (t, u(t)) ≤ v 0 (t) − f (t, v(t)), also
u(t) ≤ v(t), solange beide Lösungen existieren.
Autonome Differentialgleichungen
Es sei E geordnet durch einen normalen, körperhaften Kegel K,
und es sei D ⊆ E offen.
Für eine lokal Lipschitz-stetige und qmw Funktion
f :D→E
betrachten wir das autonome AWP
u0 (t) = f (u(t)), u(0) = u0 ∈ D.
Die Lösung sei u : [0, Tu ) → E und [0, Tu ) das maximale Existenzintervall nach rechts (bea.: Tu ∈ (0, ∞]).
Wir wissen bereits:
Die Lösung des AWPs hängt wachsend von u0 ab. Weiter erhält
man aus dem “≤”-Satz:
Satz 28 Ist f (u0 ) ≥ 0 bzw. f (u0 ) ≤ 0, so ist u : [0, Tu ) → E
wachsend bzw. fallend, also
0 ≤ t ≤ s < Tu ⇒ u(t) ≤ u(s) bzw. u(t) ≥ u(s).
Beweis: Es sei f (u0 ) ≥ 0 (f (u0 ) ≤ 0 analog).
Es sei v(t) := u0 (t ∈ [0, Tu )). Dann gilt:
u0 (t) − f (u(t)) = 0 ≥ −f (u0 ) = v 0 (t) − f (v(t))
u0 = u(0) ≥ v(0) = u0 ,
also ist u(t) ≥ v(t) = u0 (t ∈ [0, Tu )).
Nun sei τ ∈ (0, Tu ) fest und
w(t) := u(t + τ ) (t ∈ [0, Tu − τ )).
Dann ist für t ∈ [0, Tu − τ )
u0 (t) − f (u(t)) = 0 = w0 (t) − f (w(t)) (t ∈ [0, Tu − τ ))
48
und
u0 = u(0) ≤ w(0) = u(τ ).
Aus dem “≤”-Satz folgt
u(t) ≤ u(t + τ ) (t ∈ [0, Tu − τ )).
Da τ ∈ (0, Tu ) beliebig war ist u wachsend.
¤
Beispiel: E = R3 , K = Knat .


cos x − x3 + x2 y + z


f (x, y, z) =  x − y 2 + 1
.
y 3 + sin z + z − z 3
f : E → E ist qmw und lokal Lipschitz-stetig.


cos(1)


f (1, 1, 0) =  1
 ≥ 0.
1
Also ist die Lösung des AWPs
(x0 , y 0 , z 0 ) = f (x, y, z), (x(0), y(0), z(0)) = (1, 1, 0)
nach rechts monoton wachsend.
Lotka-Volterra Systeme:
Für a, b > 0 ist die Logistische Gleichung
u0 (t) = au(t) − bu(t)2 = u(t)(a − bu(t))
ein einfaches Modell für das Wachstum einer Population unter
Einbeziehung der negativen Einflüsse von Überbevölkerung.
Die Lösung zum AW u(0) = u0 ≥ 0 ist
u(t) =
a
1
a
, γ=
− 1 (u0 > 0),
b 1 + γ exp(−at)
u0 b
und u(t) = 0 falls u0 = 0.
I.f. sei ξ + := max{ξ, 0} (ξ ∈ R). Das Lotka-Volterra Modell für
die Interaktion von n Spezies wird durch das System
Ã
!
n
X
bjk (uk (t))+
(j = 1, . . . , n).
u0j (t) = (uj (t))+ aj +
k=1
49
beschrieben. Dabei ist a = (aj ) ∈ Rn und B = (bjk ) ∈ Rn×n .
Im Fall bjk ≥ 0 (j 6= k) heißt das System kooperativ, im Fall
bjk ≤ 0 (j 6= k) heißt das System kompetitiv, und im übrigen
Fall heißt es Räuber-Beute Modell.
Das System ist von der Form u0 (t) = f (u(t)) mit f = (f1 , . . . , fn ) :
Rn → Rn definiert durch
!
Ã
n
X
bjk (xk )+ ,
fj (x) = (xj )+ aj +
k=1
kurz f (x) = x+ · (a + Bx+ ).
Wir betrachten den kooperativen Fall.
Dann ist f qmw (bzgl. Knat ):
Sei x ≤ y, xj = yj .
1. Fall xj = yj ≤ 0. Dann ist fj (x) = 0 = fj (y).
2. Fall xj = yj > 0. Dann ist
Ã
!
n
X
fj (x) = (xj )+ aj +
bjk (xk )+
k=1

= (yj )+ aj +
n
X

bjk (xk )+ + bjj (yj )+  ≤ fj (y).
k=1,k6=j
Weiter ist f lokal Lipschitz-stetig (Übung).
Wir betrachten das AWP u0 (t) = f (u(t)), u(0) = u0 ∈ Rn .
◦
◦
Nun sei a ∈ K nat und es existiere ein p ∈ K nat mit Bp ≤ −cp
◦
für ein c > 0. Weiter sei u0 ∈ K nat .
Wähle ε, γ > 0 so, daß
v0 := εp ≤ u0 ≤ γp =: w0 ,
f (v0 ) = εp · (a + εBp) ≥ 0,
f (w0 ) = γp · (a + γBp) ≤ 0
Für die zugehörigen Lösungen der AWPe v 0 (t) = f (v(t)), v(0) =
v0 und w0 (t) = f (w(t)), w(0) = w0 gilt dann:
v0 ≤ v(t) ≤ u(t) ≤ w(t) ≤ w0 (t ∈ [0, ∞)),
v ist wachsend und w is fallend auf [0, ∞).
50
Insbesondere existieren
v∞ := lim v(t),
w∞ := lim w(t).
t→∞
t→∞
◦
Es gilt v∞ , w∞ ∈ K nat und f (v∞ ) = f (w∞ ) = 0, also Bv∞ =
Bw∞ = −a. Da B invertierbar ist folgt v∞ = w∞ , und somit
existiert
u∞ := lim u(t) = v∞ = w∞
t→∞
Bem.: Nachweis der Invertierbarkeit von B mit Differentialungleichungen.
Sei Bx0 = 0 und α > 0 so, daß y0 := −αp ≤ x0 ≤ αp =: z0 .
Dann gilt für die Lösung x : [0, ∞) → Rn von x0 (t) = Bx(t),
x(0) = x0 und y(t) = −α exp(−ct)p, z(t) = α exp(−ct)p:
y 0 (t) − By(t) ≤ 0 = x0 (t) − Bx(t) ≤ z 0 (t) − Bz(t) (t ≥ 0)
und y0 ≤ x0 ≤ z0 , somit y(t) ≤ x(t) = x0 ≤ z(t) (t ≥ 0) also
x0 = 0.
Ein Zwischenwertsatz:
Es sei E geordnet durch einen regulären, körperhaften Kegel K
und D ⊆ E offen.
Satz 29 Für eine lokal Lipschitz-stetige und qmw Funktion f :
D → E und x, y ∈ E gelte:
x ≤ y,
[x, y] ⊆ D,
f (y) ≤ 0 ≤ f (x).
Dann hat die Gleichung f (z) = 0 in [x, y] eine kleinste Lösung
z und eine größte Lösung z.
Beweis: Wie betrachten die Anfangswertprobleme
u0 (t) = f (u(t)), u(0) = x und v 0 (t) = f (v(t)), v(0) = y.
Die nach rechts nicht fortsetzbaren Lösungen seien
u : [0, Tu ) → E und v : [0, Tv ) → E.
51
Aus den Voraussetzungen folgt:
u(t) ≤ u(s) ≤ v(s) ≤ v(t) (t, s ∈ [0, Tu ) ∩ [0, Tv ), t ≤ s).
Insbesondere sind u und v monoton. O.B.d.A. sei Tu ≥ Tv (der
Fall Tu ≤ Tv geht analog): Nun gilt
x = u(0) ≤ v(s) ≤ v(t) ≤ v(0) = y (t, s ∈ [0, Tv ), t ≤ s).
Somit ist v fallend und beschränkt, und da K regulär ist existiert
z := lim v(t) ∈ [x, y],
t→Tv
Da v nach rechts nicht fortsetzbar ist folgt Tv = ∞, somit auch
Tu = ∞. Also existiert auch
z := lim u(t),
t→∞
und es gilt x ≤ z ≤ z ≤ y.
Damit folgt insbesondere f (z) = f (z) = 0.
Ist z ∈ [x, y] eine weitere Lösung von f (z) = 0, so betrachten
wir das AWP
w0 (t) = f (w(t)), w(0) = z.
Die Lösung ist w(t) = z (t ∈ [0, ∞)), und es gilt
u(t) ≤ w(t) ≤ v(t) (t ∈ [0, ∞)),
¤
also z ≤ z ≤ z.
Beispiele: 1.) In obigem Satz kann f (y) ≤ 0 ≤ f (x) nicht durch
f (x) ≤ 0 ≤ f (y) ersetzt werden: E = R2 , K = Knat ,
!
Ã
x1
.
f (x1 , x2 ) =
x1 + 1
f : E → E ist wachsend (insb. qmw) und Lipschitz-stetig. Es
gilt
f (−1, −1) = (−1, 0) ≤ (0, 0) ≤ (0, 1) = f (0, 0),
aber die Gleichung f (x1 , x2 ) = (0, 0) hat keine Lösung.
52
2.) Die Voraussetzung K regulär kann nicht durch K normal
abgeschwächt werden:
E = c(N), K = {x ∈ c(N) : xn ≥ 0 (n ∈ N)},
f (x) = (0, 1, x1 , x2 , x3 , . . . ) − x.
f : E → E ist qmw und Lipschitz-stetig. Es gilt
f ((1)n∈N ) = (−1, 0, 0, 0, . . . ) ≤ 0 ≤ (1, 2, 0, 0, . . . ) = f ((−1)n∈N )
aber die Gleichung f (x) = 0 hat keine Lösung in c(N), denn für
eine solche wäre notwendig
x = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . ) ∈
/ c(N).
4
Lineare wachsende und quasimonoton wachsende Abbildungen
Im Folgenden sei E wieder ein reeller Banachraum, K ein Kegel,
und L(E) bezeichnet die Banachalgebra der stetigen linearen
Abbildung A : E → E (|||A||| = supkxk≤1 kAxk)
Für A ∈ L(E) bedeutet qmw:
x ≥ 0, ϕ ∈ K ∗ , ϕ(x) = 0 ⇒ ϕ(Ax) ≥ 0.
Im Folgenden sei
Q+ := {A ∈ L(E) : A ist qmw},
Q± := {A ∈ L(E) : A und − A sind qmw},
H+ := {A ∈ L(E) : ∃λ ∈ R : A + λI ist wachsend},
e := {A ∈ L(E) : A ist wachsend}.
K
e ⊆ H+ ⊆ Q+ .
Es gilt stets K
Beispiel: Im Fall E = Rn , K = Knat ist
e ⇔ aij ≥ 0 (i, j = 1, . . . , n).
A = (aij ) ∈ K
53
A = (aij ) ∈ Q+ ⇔ aij ≥ 0 (i 6= j).
Somit ist Q± hier die Menge der Diagonalmatrizen, und es gilt
H+ = Q+ .
Im Weiteren sei K normal und körperhaft.
Satz 30 Sei A ∈ L(E). Dann ist A ∈ Q+ genau dann, wenn
e für jedes t ≥ 0 ist.
etA ∈ K
Bemerkung: Insbesondere ist
Q± = {A ∈ L(E) : etA wachsend (t ∈ R)}.
Beweis: Sei A qmw. Da A Lipschitz-stetig ist, hängt die Lösung
des AWPs
x0 = Ax, x(0) = x0
auf [0, ∞) wachsend von x0 ab. Die Lösung ist
x(t) = etA x0 .
Sei umgekehrt etA wachsend für jedes t ≥ 0, und sei x ≥ 0, ϕ ∈
K ∗ , ϕ(x) = 0.
Aus etA x ≥ 0 (t ≥ 0) folgt
¶
µ tA
ϕ(etA x) − ϕ(x) ϕ(etA x)
e x−x
=
=
≥ 0 (t > 0).
ϕ
t
t
t
Es ist
¢ 1
1 ¡ tA
e x−x =
t
t
̰
!
X Ak x
tk
k!
k=1
∞
X
Ak x k−1
t
→t→0 Ax
=
k!
k=1
µ tA
¶
e x−x
⇒ 0 ≤ lim ϕ
= ϕ(Ax).
t→0+
t
¤
Wir zeigen als nächstes:
e ist ein normaler Kegel:
K
54
e ein Keil.
Beweis: Offensichtlich ist K
e ∩ (−K),
e also A und −A sind wachsend. Da K ein
Sei A ∈ K
Kegel ist, gilt für x ≥ 0:
Ax ≥ 0 ∧ −Ax ≥ 0 ⇒ Ax = 0.
Da K als körperhafter Kegel reproduzierend ist, folgt
Ax = 0 (x ∈ E),
also A = 0.
Wir betrachten nun L(E) als geordneten Banachraum (geord◦
e Wir wählen p ∈ K und betrachten E als normiert
net durch K).
durch k.k, das Minkowskifunktional von [−p, p]. L(E) sei normiert durch die zugehörige Operatornorm
|||A||| := sup
x6=0
kAxk
= sup kAxk.
kxk
kxk≤1
e so ist
Ist nun A ∈ K,
−kApkp ≤ −Ap ≤ Ax ≤ Ap ≤ kApkp (kxk ≤ 1),
also
kAxk ≤ kApk (kxk ≤ 1).
Es folgt
|||A||| = kApk.
Ist weiter 0 ≤ A ≤ B, so folgt 0 ≤ Ap ≤ Bp, also
|||A||| = kApk ≤ kBpk = |||B|||.
e normal.
Somit ist K
¤
Bemerkung:
e ist ein sogenannter Algebra-Kegel, d.h. es gilt zusätzlich:
1.) K
e
I∈K
e ⇒ AB ∈ K.
e
und A, B ∈ K
55
2.) Betrachtet man in diesem Rahmen eine beliebige wachsende
lineare Abbildung A : E → E so folgt
−Ap ≤ Ax ≤ Ap (kxk ≤ 1) ⇒ sup kAxk ≤ kApk < ∞.
kxk≤1
Ist also E geordnet durch einen körperhaften und normalen Kegel, so ist jede monotone lineare Abbildung von E in sich stetig.
Folgender Satz listet einige Eigenschaften der Mengen H+ , Q+
und Q± auf.
Satz 31 Es gilt
a) Q+ ist ein Keil in L(E).
b) Q± ist ein abgeschlossener UVR von L(E)
(i.a. keine Unteralgebra).
c) TA : L(E) → L(E), TA (X) = AX ist qmw genau dann,
wenn A ∈ Q+ ist. (Analog mit TA (X) = XA).
d) Ist A ∈ Q+ und Ap ≤ −cp für ein c > 0, so ist A invere und |||A−1 ||| ≤ 1/c.
tierbar, −A−1 ∈ K
e) H+ = Q+ (i.a. H+ 6= Q+ ).
f ) A ∈ Q± ⇒ A2 ∈ Q+ (höhere Potenzen i.a. nicht).
Bemerkung: Es gilt also
e ⊆ H+ ⊆ H+ = Q+ .
K
Beweis: a) und b) sind offensichtlich.
e Dann ist
c) Sei A ∈ Q+ und X ∈ K.
e
tTA
(X) =
∞
X
T n (X)
A
n=0
n!
n
t =
∞
X
An X
n=0
n!
e
tn = etA X ∈ K.
e (X ∈ K),
e und wie im Beweis des vorigen
Somit ist etTA (X) ∈ K
Satzes folgt, daß TA qmw ist. Ist umgekehrt TA qmw, und sei
x ∈ K, ϕ ∈ K ∗ und ϕ(x) = 0. Dann ist Ψ : L(E) → R, Ψ(B) =
56
e ∗ , denn für B ∈ K
e ist Bx ≥ 0, also ϕ(Bx) ≥ 0.
ϕ(Bx) in (K)
Es gilt: I ≥ 0, Ψ(I) = ϕ(x) = 0, somit
0 ≤ Ψ(TA (I)) = Ψ(A) = ϕ(Ax).
Damit folgt A ∈ Q+ .
d) Es gilt |||etA ||| = ketA pk (t ≥ 0).
Sei u(t) = etA p und v(t) = e−tc p. Wegen
u0 (t) − Au(t) = 0 ≤ e−tc (−cp − Ap) = v 0 (t) − Av(t) (t ≥ 0),
u(0) = p = v(0)
folgt u(t) ≤ v(t) (t ≥ 0), also |||etA ||| ≤ e−tc (t ≥ 0). Damit
konvergiert das uneigentliche Riemann-Integral
Z ∞
e
B :=
etA dt ∈ K
0
und es gilt AB = BA = −I. Somit ist A invertierbar, und
A−1 = −B ≤ 0
Weiter ist
−1
∞
Z
|||A ||| ≤
0
1
e−tc dt = .
c
e) Es gilt H+ ⊆ Q+ . Es sei A ∈ Q+ . Wähle λ0 > 0 so, daß gilt
Ap ≤ (λ − 1)p,
|||A|||
< 1 (λ ≥ λ0 ).
λ
Für λ ≥ λ0 gilt (A − λI)p ≤ −p, also ist nach d)
e
−(A − λI)−1 ∈ K.
Für λ ≥ λ0 gilt daher:
Cλ := −λA(A − λI)−1 = −λ((A − λI) + λI)(A − λI)−1
= −λI − λ2 (A − λI)−1 ∈ H+ ,
und
|||A − Cλ ||| = |||A(I + λ(A − λI)−1 )|||
57
Ã
µ
¶−1 !
1
= |||A I − I − A
|||
λ
Ã
¶k !
∞ µ
X
1
= |||A I −
A
|||
λ
k=0
¶
µ
∞
X 1 k
Ak+1 ||| → 0 (λ → ∞).
= |||
λ
k=1
Somit ist A ∈ H+ .
f) Es sei A ∈ Q± , und es sei x ≥ 0, ϕ ∈ K ∗ und ϕ(x) = 0. Es
folgt ϕ(Ax) = 0 sowie etA x ≥ 0 (t ∈ R). Somit gilt
ϕ(etA x)
= ϕ(A2 x).
2
t→0
t
0 ≤ 2 lim
Also ist A2 ∈ Q+ .
¤
Beispiele:
1.) Wir betrachten E = Rn geordnet durch
q
Kice := {(x1 , . . . , xn ) : xn ≥ x21 + . . . x2n−1 }.
Satz 32 (Stern, Wolkowicz):
a) Sei D = diag (1, . . . , 1, −1). Es gilt
A ∈ Q+ ⇔ ∃λ ∈ R : DA + AT D − λD ist negativ semidefinit.
b) Es gilt A ∈ Q± genau dann, wenn A = (aij ) folgende Gestalt
hat:
aii = ajj (i, j = 1, . . . , n);
aij = −aji (1 ≤ i < j ≤ n − 1);
ain = ani (1 ≤ i ≤ n).
(Ohne Beweis)
Stern, R.J., Wolkowicz, H.: Exponential nonnegativity on the ice
cream cone. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 12 (1991), 160–165.
58
z.B. (n = 3):

A ∈ Q±

a b c


⇔ A =  −b a d 
c d a
Für den
im Rn , n ≥ 3, gilt H+ 6= Q+ . Z.B. ist
 Eistütenkegel

0 1 0


A =  −1 0 0  ∈
/ H+ :
0 0 0

   
1
λ 1 0
0

   
/ Kice (λ ∈ R).
 −1 λ 0   1  =  λ  ∈
λ
0 0 λ
1
| {z }
∈Kice
Bemerkung: A ∈ Q± folgt auch aus


cos t sin t 0

 e
etA =  − sin t cos t 0  ∈ K
0
0 1
(t ∈ R).
2.) E = P2n = {u : R → R : u Polynom, grad u ≤ 2n}
K = {u ∈ E : u(x) ≥ 0 (x ∈ R)}.
◦
K ist ein körperhafter Kegel; z.B. x 7→ 1 + x2n ∈ K.
Betrachte A : E → E, Au = u0 . Nach dem Satz von Taylor ist
¡
2n
X
¢
u(k) (x) k
t = u(t + x).
e u (x) =
k!
tA
k=0
Also gilt A ∈ Q± und somit A2 ∈ Q+ .
3.) E = C([a, b], R), K = {u ∈ E : u(x) ≥ 0 (x ∈ [a, b])}.
Sei g ∈ E fest gewählt. Betrachte
Z x
A : E → E, (Au)(x) =
u(ξ)dξ + g(x)u(x).
a
Es gilt A ∈ H+ , denn A + kgk∞ I ist wachsend.
59
Majorisierung linearer nichtautonomer Differentialgleichungen:
Es sei E geordnet durch einen Kegel K und A ∈ L(E) beliebig.
Wir betrachten E × E geordnet durch den Kegel
K0 := {(x, y) ∈ E × E : −y ≤ x ≤ y}.
Übung: Ist K körperhaft [normal], so hat K0 dieselbe Eigenschaft.
Satz 33 Ist B ∈ L(E) so, daß
e
1. B − A ∈ K
2. B + A ∈ Q+
so ist die lineare Abbildung H : E × E → E × E, H(x, y) =
(Ax, By) qmw bzgl. K0 .
Beweis: Es sei Ψ ∈ K0∗ . Wir definieren
ϕ1 (u) =
ψ(v, v)
ψ(−u, u)
, ϕ2 (v) =
2
2
(u, v ∈ E).
Dann gilt ϕ1 , ϕ2 ∈ K ∗ und
ψ(x, y) = ϕ1 (y − x) + ϕ2 (y + x) ((x, y) ∈ E × E).
Aus
x, y ∈ E,
−y ≤ x ≤ y,
ψ(x, y) = 0,
folgt
ϕ1 (y − x) = 0,
ϕ2 (y + x) = 0.
Damit gilt
(B − A)(y − x) ≥ 0,
(B − A)(y + x) ≥ 0,
ϕ1 ((B + A)(y − x)) ≥ 0,
ϕ2 ((B + A)(y + x)) ≥ 0.
Insbesondere ist
ϕ1 ((B − A)(y + x) + (B + A)(y − x)) = 2ϕ1 (By − Ax) ≥ 0,
60
ϕ2 ((B − A)(y − x) + (B + A)(y + x)) = 2ϕ2 (By + Ax) ≥ 0.
Wir erhalten
ψ(H(x, y)) = ψ(Ax, By) = ϕ1 (By − Ax) + ϕ2 (By + Ax) ≥ 0,
also ist H qmw.
¤
Nun sei K köperhaft und normal. Es seien A, B : [0, ∞) → L(E)
e B(t) + A(t) ∈
stetige Operatorfunktionen mit B(t) − A(t) ∈ K,
Q+ (t ∈ [0, ∞)).
Weiter seien x0 , y0 ∈ E mit −y0 ≤ x0 ≤ y0 , und x, y : [0, ∞) →
E seien die Lösungen der AWPe
x0 (t) = A(t)x(t), x(0) = x0 , y 0 (t) = B(t)y(t), y(0) = y0 .
D.h.
(x, y)0 (t) = H(t)(x(t), y(t)), (x, y)(0) = (x0 , y0 ) ∈ K0 .
Folglich ist (x(t), y(t)) ≥ 0 (t ≥ 0), d.h.
−y(t) ≤ x(t) ≤ y(t) (t ∈ [0, ∞)).
Beispiel: Betrachtet man speziell E = Rn , K = Knat , ist A =
(aij ) : [0, ∞) → L(E) gegeben, und definiert man B durch
bii = aii ,
bij = |aij | (i 6= j),
so sind obige Voraussetzungen erfüllt.
Ist weiter x0 ∈ Rn gegeben und y0 := |x0 | (der Verbandsbetrag),
so erhält man für die Lösungen x, y der zugehörigen AWPe
|x(t)| ≤ y(t) (t ∈ [0, ∞)).
Der Satz von Perron-Frobenius:
Wir betrachten einen komplexen Banachraum E und die zugehörige komplexe Banachalgebra L(E). Es sei L(E) geordnet
61
e Dabei wird L(E) als redurch einen normalen Algebrakegel K.
eller Banachraum aufgefaßt. Es sei γ ≥ 1 die Normalitätskonstante.
e ⊆ L(E) der Kegel der
Beispiel: E = Cn , L(E) = Cn×n , und K
reellen n × n-Matrizen mit nichtnegativen Einträgen.
Es bezeichnet
σ(A) = {λ ∈ C : A − λI ist nicht invertierbar }
das Spektrum von A und r(A) = max |λ| den Spektralradius
λ∈σ(A)
von A. Das Spektrum von A ist stets eine nichtleere kompakte
Teilmenge von C.
Wir benutzen folgende Version des spektralen Abbildungssatzes:
Ist f : C → C eine ganze Funktion, so gilt:
σ(f (A)) = f (σ(A)) = {f (λ) : λ ∈ σ(A)} (A ∈ L(E)).
Dabei ist f (A) über die Potenzreihe von f definiert.
Die Stirlingsche Formel:
n!en
√
= 1.
n→∞ nn 2πn
lim
Die Gelfandsche Formel:
Für jedes A ∈ L(E) gilt:
1
r(A) = lim |||An ||| n .
n→∞
e d.h.
Behauptung: Der Spektralradius ist wachsend auf K,
0 ≤ A ≤ B ⇒ r(A) ≤ r(B).
Beweis: Aus 0 ≤ A ≤ B folgt
0 ≤ A2 ≤ AB ≤ B 2
62
und induktiv
0 ≤ An ≤ B n
(n ∈ N).
Insbesondere ist |||An ||| ≤ γ|||B n ||| (n ∈ N), und aus der Gelfandschen Formel folgt r(A) ≤ r(B).
Satz 34 (Perron-Frobenius):
e so ist r(A) ∈ σ(A).
Ist A ∈ K,
Beispiel: Ist A ∈ Cn×n mit nichtnegativen Einträgen, so besitzt
A einen reellen betragsgrößten Eigenwert.
Beweis (nach Raubenheimer und Rode):
O.B.d.A. sei r(A) = 1. Angenommen 1 ∈
/ σ(A).
Dann existiert ein α ∈ (0, 1) mit
σ(A) ⊆ {λ ∈ C : Re λ ≤ α}.
Es gilt (f (z) = exp(tz))
σ(etA ) = etσ(A) ⊆ {µ ∈ C : |µ| ≤ etα }.
Wegen An ≥ 0 (n ∈ N0 ) folgt
tn n
0 ≤ A ≤ etA (n ≥ 0, t > 0).
n!
e wächst, folgt (wegen r(A) = 1):
Da r auf K
µ n ¶
t n
n!etα
tn
tA
tα
=r
A ≤ r(e ) ≤ e ⇒ 1 ≤ n (t > 0).
0≤
n!
n!
t
n
α folgt:
n!en n
α =
nn
Speziell für t =
1≤
´
n!en ³√
n
√
2πnα →n→∞ 0,
nn 2πn
Ein Widerspruch.
¤
Der Satz von Korovkin: Wir betrachten speziell den Banachraum E = C([a, b], R) versehen mit der Maximumnorm und geordnet durch K = C + ([a, b], R).
Der Approximationssatz von Weierstraß:
Die Menge aller Polynome u : [a, b] → R ist dicht in C([a, b], R).
Mit Hilfe dieses Satzes beweisen wir:
63
e mit
Satz 35 (Korovkin): Es sei (An ) eine Folge in K
lim An x = x,
n→∞
für x(t) = 1, x(t) = t und x(t) = t2 . Dann gilt
lim An x = x
n→∞
(x ∈ C([a, b], R)).
Beweis (nach Uchiyama): Es gilt |||An ||| = kAn (1)k (n ∈ N) und
limn→∞ kAn (1)k = 1. Wir betrachten
Bn =
An
kAn (1)k
(n ≥ n0 ),
und zeigen limn→∞ Bn x = x (x ∈ C([a, b], R)), woraus die Bee 0 ≤ Bn (1) ≤ 1, und
hauptung des Satzes folgt. Es gilt Bn ∈ K,
|||Bn ||| = 1 (n ≥ n0 ), sowie limn→∞ Bn x = x für x(t) = 1, t, t2 .
Beachte im folgenden: Sind α, β, γ ∈ R und gilt c2 α+2cβ +γ ≥ 0
(c ∈ R), so folgt β 2 − αγ ≤ 0.
e und B(1) ≤ 1. Dann gilt
Sei B ∈ K
0 ≤ B((x + c)2 ) = B(x2 ) + 2cB(x) + c2 B(1)
für alle x ∈ C([a, b], R), c ∈ R. Damit ist
(B(x))2 − B(x2 )B(1) ≤ 0 ⇒0≤B(1)≤1 B(x2 ) − (B(x))2 ≥ 0.
Ersetzt man in dieser Ungleichung x durch x + cy so folgt
c2 (B(y 2 )−(B(y))2 )+2c(B(xy)−B(x)B(y))+B(x2 )−(B(x))2 ≥ 0
für alle c ∈ R. Wieder folgt
(B(xy) − B(x)B(y))2 ≤ (B(x2 ) − (B(x))2 )(B(y 2 ) − (B(y))2 )
und damit
kB(xy) − B(x)B(y)k2 ≤ kB(x2 ) − (B(x))2 k kB(y 2 ) − (B(y))2 k
für alle x, y ∈ C([a, b], R).
64
Wir erhalten also für die Bn (Schreibweise: tx für t 7→ tx(t)):
kBn (tx) − Bn (t)Bn (x)k2
≤ kBn (t2 ) − (Bn (t))2 k kBn (x2 ) − (Bn (x))2 k (x ∈ C([a, b], R).
Es gilt kBn (x2 ) − (Bn (x))2 k ≤ 2kxk2 und
lim (Bn (t))2 = t2 = lim Bn (t2 ).
n→∞
n→∞
Damit folgt: Ist x ∈ C([a, b], R) und gilt limn→∞ Bn (x) = x, so
folgt limn→∞ Bn (tx) = tx. Somit gilt
lim Bn (x) = x
n→∞
für x(t) = tk (k ∈ N0 ) und damit für jedes Polynom u : [a, b] →
R. Ist nun x ∈ C([a, b], R) fest und ε > 0, so existiert ein Polynom u mit kx−uk ≤ ε/3 und ein n1 ≥ n0 mit kBn (u)−uk ≤ ε/3
(n ≥ n1 ). Damit gilt (|||Bn ||| = 1):
kBn (x) − xk ≤ kBn (x) − Bn (u)k + kBn (u) − uk + ku − xk
≤ kx − uk + kBn (u) − uk + ku − xk ≤ ε (n ≥ n1 ).
¤
Bemerkung: Man kann den Satz von Korovkin ohne den Approximationssatz von Weierstraß beweisen und erhält dann, durch
Anwendung dieses Satzes auf Bernsteinpolynome, d.h. auf die
Operatoren An : C([0, 1], R) → C([0, 1], R)
n µ ¶
X
n
(An x)(t) =
x(k/n)tk (1 − t)n−k ,
k
k=0
als Folgerung wiederum den Approximationssatz von Weierstraß.
Linearisierung qmw Abbildungen:
Es sei E ein reeller Banachraum geordnet durch einen beliebigen
Kegel K. Der Nachweis, daß eine Abbildung f : D → E, D ⊆ E
qmw ist, kann in speziellen Fällen auf die Untersuchung linearer
Abbildungen zurückgeführt werden.
65
Satz 36 Es sei D ⊆ E offen und ordnungskonvex, und f : D →
E sei stetig differenzierbar. Dann gilt:
f ist qmw ⇔ f 0 (z) ∈ Q+ (z ∈ D).
Beweis: “⇒” Es sei f qmw. Für z ∈ D fest gilt:
Sind x, y ∈ E, x ≤ y und ϕ ∈ K ∗ mit
ϕ(x) = ϕ(y),
so ist für t ∈ [0, ε) (mit ε > 0 hinreichend klein)
z ≤ z + t(y − x) ∈ D und ϕ(z) = ϕ(z + t(y − x)).
Da f qmw ist, folgt
ϕ(f (z)) ≤ ϕ(f (z + t(y − x))),
also
ϕ(f (z + t(y − x)) − f (z))
≥ 0,
t→0+
t
ϕ(f 0 (z)(y − x)) = lim
und somit ϕ(f 0 (z)x) ≤ ϕ(f 0 (z)y). Also ist f 0 (z) ∈ Q+ .
Sei umgekehrt f 0 (z) ∈ Q+ (z ∈ D). Sind wieder x, y ∈ D, x ≤ y
und ϕ ∈ K ∗ mit ϕ(x) = ϕ(y), so folgt aus dem MWS (beachte
D ist ordnungskonvex):
Es existiert ein t0 ∈ [0, 1] mit
ϕ(f (y) − f (x)) = ϕ(f 0 (x + t0 (y − x))(y − x)) ≥ 0.
Also ist ϕ(f (x)) ≤ ϕ(f (y)).
¤
Beispiel: f : R3 → R3 , K = Kice ,
f (x, y, z) = (2xy, −x2 + y 2 + z 2 , 2yz).
Die Funktionen f und −f sind qmw, denn


2y 2x 0


f 0 (x, y, z) =  −2x 2y 2z  ∈ Q± ((x, y, z) ∈ R3 ).
0 2z 2y
66
5
Kriterien für Quasimonotonie
Es sei E ein reeller Banachraum und K ein körperhafter Kegel.
Der Nachweis, daß eine gegebene Abbildung qmw ist, wird oft
dadurch schwierig, daß man E ∗ bzw. K ∗ nicht oder nur schwer
darstellen kann.
Wir betrachten eine Funktion f : [a, b] × D → E (D ⊆ E offen)
und folgende Eigenschaft:


[t0 , t1 ] ⊆ [a, b], u, v : [t0 , t1 ] → D differenzierbar,



 u0 (t) − f (t, u(t)) ¿ v 0 (t) − f (t, v(t)) (t ∈ [t , t ])
0 1
(E)

und u(t0 ) ¿ v(t1 )



 ⇒ u(t) ¿ v(t) (t ∈ [t0 , t1 ]).
Wir wissen (Satz von Volkmann):
f qmw ⇒ f hat die Eigenschaft (E).
Folgender Satz ist die Umkehrung dieser Aussage für stetige
Funktionen:
Satz 37 (Simon, Volkmann):
Es sei D ⊆ E offen, und f : [a, b] × D → E sei stetig und erfülle
(E). Dann ist f qmw.
Beweis (Uhl): Es gelte (E), und es seien t0 ∈ [a, b), x, y ∈ D und
ϕ ∈ K ∗ mit
x ≤ y, ϕ(x) = ϕ(y).
◦
Wähle p ∈ K fest. Für t1 ∈ (t0 , b] definieren wir
u(t) = x + (t − t0 )(f (t0 , x) − p) (t ≥ t0 ),
v(t) = y + (t1 − t0 )p + (t − t0 )(f (t0 , y) + p) (t ≥ t0 ).
Wegen x, y ∈ D und da D offen ist, können wir t1 so nahe an t0
wählen, daß gilt:
67
1.) u(t), v(t) ∈ D (t ∈ [t0 , t1 ])
2.) f (t, u(t)) − f (t0 , x) + p À 0, f (t0 , y) + p − f (t, v(t)) À 0 (t ∈
[t0 , t1 ]).
Bemerkung: 2.) ist möglich, da f stetig ist und da die linke
Seite beider Ungleichungen als Funktion von (t1 , t) betrachtet
werden kann mit Grenzwert p für (t1 , t) → (t0 , t0 ). Dann gilt für
t ∈ [t0 , t1 ]:
u0 (t) − f (t, u(t)) = f (t0 , x) − p − f (t, u(t))
¿ f (t0 , x) − p + (−f (t0 , x) + p) = 0,
v 0 (t) − f (t, v(t)) = f (t0 , y) + p − f (t, v(t)) À
f (t0 , y) + p − (f (t0 , y) + p) = 0.
Insgesamt also u0 (t) − f (t, u(t)) ¿ v 0 (t) − f (t, v(t)) (t ∈ [t0 , t1 ]).
Weiter ist u(t0 ) = x ≤ y ¿ y + (t1 − t0 )p = v(t0 ).
Aus (E) folgt u(t) ¿ v(t) (t ∈ [t0 , t1 ]), also gilt
ϕ(u(t1 )) ≤ ϕ(v(t1 )) ⇔
ϕ(x + (t1 − t0 )(f (t0 , x) − p)) ≤ ϕ(y + (t1 − t0 )(f (t0 , y) + 2p))
und wegen ϕ(x) = ϕ(y) folgt
ϕ(f (t0 , x) − p) ≤ ϕ(f (t0 , y) + 2p).
◦
Diese Ungleichung wurde für beliebige p ∈ K hergeleitet. p → 0
liefert ϕ(f (t0 , x)) ≤ ϕ(f (t0 , y)).
Somit ist x 7→ f (t0 , x) qmw, und x 7→ f (b, x) qmw folgt aus der
Stetigkeit von f .
¤
Mit Hilfe dieses Satzes ist es nun möglich, eine hinreichende Bedingung für Quasimonotonie anzugeben, die in Beispielen oft
68
viel leichter nachzuprüfen ist als die Definition:
Es sei S ⊆ K ∗ \ {0} eine Menge mit der Eigenschaft
{x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕ(x) = 0}
liegt dicht in ∂K (der Rand von K).
Beachte: Obige Menge ist eine Teilmenge von ∂K für jede Menge S ⊆ K ∗ \ {0}.
Satz 38 (Uhl): Sei D ⊆ E offen und f : D → E stetig. Gilt
dann
x, y ∈ D, x ≤ y, ϕ ∈ S, ϕ(x) = ϕ(y) ⇒ ϕ(f (x)) ≤ ϕ(f (y)),
so ist f qmw.
Bemerkung: Vergleicht man obige Bedingung mit der Definition
von qmw Funktionen, so ist K ∗ durch die Menge S ersetzt.
Beweis: Es genügt (E) nachzuweisen.
Seien t0 < t1 und u, v : [t0 , t1 ] → D differenzierbare Funktionen
mit u(t0 ) ¿ v(t0 ) und
(#) u0 (t) − f (u(t)) ¿ v 0 (t) − f (v(t)) (t ∈ [t0 , t1 ]).
Sei d(t) := v(t) − u(t) (t ∈ [t0 , t1 ]).
Angenommen: d(t) À 0 (t ∈ [t0 , t1 ]) gilt nicht.
Dann existiert (vgl. den Beweis des Satzes von Volkmann) ein
t2 ∈ (t0 , t1 ] mit d(t2 ) ∈ ∂K und d(t) À 0 (t ∈ [t0 , t2 )).
Für t3 ∈ [t0 , t2 ) hinreichend nahe bei t2 gilt
f (v(t2 )) − f (u(t2 )) ¿
69
d(t2 ) − d(t3 )
,
t2 − t3
(dabei benutzt man (#).) Da D offen und f stetig ist, existiert
ein r > 0 mit Br (v(t2 )) ⊆ D und
(∗) f (v(t2 ) + y) − f (u(t2 )) ≤
d(t2 ) + y − d(t3 )
(y ∈ Br (0)).
t2 − t3
Wegen d(t2 ) ∈ ∂K und wegen
cl {x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕ(x) = 0} = ∂K,
existiert ein y ∈ Br (0) und ein ϕ ∈ S mit d(t2 ) + y ≥ 0 und
ϕ(d(t2 ) + y) = 0.
Also gilt (beachte 0 ≤ d(t2 ) + y = v(t2 ) + y − u(t2 )))
u(t2 ) ≤ v(t2 ) + y, ϕ(u(t2 )) = ϕ(v(t2 ) + y)
⇒ ϕ(f (u(t2 ))) ≤ ϕ(f (v(t2 ) + y))
und wegen (∗), t2 − t3 > 0 folgt
0 = ϕ(d(t2 ) + y) ≥ ϕ(d(t3 )).
Aber d(t3 ) À 0 und ϕ ∈ K ∗ \ {0}
⇒ ϕ(d(t3 )) > 0
Ein Widerspruch.
¤
Quasimonotonie in l∞ (N):
Betrachte E = l∞ (N), K = {x = (xk ) : xk ≥ 0 (k ∈ N)}.
Wir betrachten eine Abbildung f : l∞ (N) → l∞ (N) (nicht notwendig stetig).
In Koordinaten:


f1 (x1 , x2 , . . . )


f (x) =  f2 (x1 , x2 , . . . ) 
..
.
70
Behauptung: f ist qmw ⇒
(#) x ≤ y, xj = yj ⇒ fj (x) ≤ fj (y).
Beweis: Sei j ∈ N fest. Betrachte ϕ : l∞ (N) → R, ϕ(x) = xj .
Offensichtlich ist ϕ ∈ K ∗ .
Aus x ≤ y mit ϕ(x) = ϕ(y) folgt fj (x) ≤ fj (y).
¤
Im Fall E = Rn geordnet durch Knat hatten wir gesehen, daß
die “Umkehrung” gilt. Dies ist hier nicht der Fall.
Beispiel: In (l∞ (N))∗ existieren Funktionale m (sog. BanachLimites) mit folgenden Eigenschaften:
1.) m((x1 , x2 , x3 , . . . )) = m((x2 , x3 , x4 , . . . ))
2.) lim inf k→∞ xk ≤ m(x) ≤ lim supk→∞ xk
Aus 2.) folgt m ∈ K ∗ , sowie m(x) = lim xk , falls x = (xk ) konk→∞
vergiert.
Betrachte nun f : l∞ (N) → l∞ (N) definiert durch
f (x) = (cos(πkxk ))∞
k=1 .
¡ ¢
Sei x = (0, 0, . . . ), y = k1 . Dann ist x ≤ y, m(x) = m(y) = 0,
aber
m(f (x)) = 1 > −1 = m(f (y)).
Also ist f nicht qmw, obwohl es die notwendige Bedingung (#)
erfüllt.
Die Funktion in diesem Beispiel ist an jeder Stelle x ∈ l∞ (N)
unstetig. Für stetige Funktionen gilt:
Satz 39 Ist f : l∞ (N) → l∞ (N) stetig, so ist f qmw genau dann,
wenn gilt
x ≤ y, xj = yj ⇒ fj (x) ≤ fj (y).
71
Beweis: Es gilt
x À 0 ⇔ ∃ε > 0 ∀k ∈ N : xk ≥ ε.
Wir wählen
S = {ϕj ∈ K ∗ : ϕj (x) = xj , j ∈ N}.
Ist dann y ∈ ∂K, so ist yk ≥ 0 (k ∈ N) und inf k∈N yk = 0.
1. Fall: ∃k0 : yk0 = 0:
⇒ y ∈ {x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕ(x) = 0}.
2. Fall: yk > 0 (k ∈ N):
Sei ε > 0. Wähle k0 mit yk0 < ε und setze
z = (y1 , . . . , yk0 −1 , 0, yk0 +1 , . . . ).
Dann ist z ∈ {x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕ(x) = 0} und ky − zk = |yk0 | =
yk0 < ε.
Da ε > 0 beliebig war, liegt y in
cl {x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕ(x) = 0}.
Nun sei x ≤ y, ϕj ∈ S, ϕj (x) = ϕj (y).
Dann ist ϕj (f (x)) = fj (x) ≤ fj (y) = ϕj (f (y)), und f qmw folgt
aus dem Satz von Uhl.
¤
Bemerkung: 1.) Im Fall E = Rn , K = Knat ist
x = (x1 , . . . , xn ) À 0 ⇔ xj > 0 (j = 1, . . . , n).
Setzt man hier S = {ϕj : ϕj (x) = xj , j = 1, . . . , n}, so ist
{x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕj (x) = 0}
= {x ∈ K : ∃j ∈ {1, . . . , n} : xj = 0} = ∂K.
In diesem Fall wissen wir, daß (auch ohne Voraussetzung der
Stetigkeit) f : Rn → Rn qmw ist genau dann, wenn
x ≤ y, ϕ ∈ S, ϕ(x) = ϕ(y) ⇒ ϕ(f (x)) ≤ ϕ(f (y)).
72
2.) Im Fall E = Rn , K = Kice ist es unmöglich, für S eine endliche Teilmenge von K ∗ \ {0} zu wählen, so daß {x ∈ K : ∃ϕ ∈
S : ϕ(x) = 0} dicht in ∂K liegt.
3.) Sei dimE < ∞, ϕ1 , . . . , ϕm ∈ E ∗ \ {0} mit dim[ϕ1 , . . . , ϕm ] =
dimE und
K = {x ∈ E : ϕk (x) ≥ 0 (k = 1, . . . , m)}.
Dann ist K ein Kegel (ϕk (x) = 0 (k = 1, . . . , m) ⇒ x = 0) und
◦
x ∈ K ⇔ ϕk (x) > 0 (k = 1, . . . , m).
(Beachte: K ist nicht notwendig körperhaft.)
Falls K körperhaft ist, kann für S die Menge {ϕ1 , . . . , ϕm } gewählt
werden.
(Bemerkung: Kegel dieser Art heißen polyedrische Kegel.)
Ein Beispiel in E = C([a, b], R).
E sei geordnet durch
K = {x ∈ E : x(s) ≥ 0 (s ∈ [a, b])}.
Es sei g : [a, b] × R → R stetig und wachsend in der 2. Koordinate (ξ 7→ g(s, ξ) % (s ∈ [a, b])).
Wir betrachten f : E → E definiert durch
Z b
(f (x))(s) =
g(σ, x(σ) − x(s))dσ.
a
Wir zeigen: f ist qmw.
Zunächst ist f stetig (klar!).
◦
Es gilt: x ∈ K ⇔ x(s) > 0 (s ∈ [a, b]).
Setzt man S = {ϕs0 ∈ K ∗ : ϕs0 (x) = x(s0 ), s0 ∈ [a, b]}, so ist
{x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕ(x) = 0} = ∂K.
73
Ist nun x ≤ y, ϕs0 ∈ S, ϕs0 (x) = ϕs0 (y) ⇔ x(s0 ) = y(s0 ), so
folgt
Z b
ϕs0 (f (x)) =
g(σ, x(σ) − x(s0 ))dσ
a
b
Z
Z
b
g(σ, x(σ) − y(s0 ))dσ ≤
=
a
g(σ, y(σ) − y(s0 ))dσ
a
= ϕs0 (f (y)).
Also ist f qmw.
Ein Beispiel in
E = C01 ([a, b], R) := {x ∈ C 1 ([a, b], R) : x(a) = 0}.
E sei geordnet durch den körperhaften Kegel
K = {x ∈ E : x0 (t) ≥ 0 (t ∈ [a, b])}.
◦
Hier gilt: x ∈ K ⇔ x0 (t) > 0 (t ∈ [a, b]); somit kann
S = {ϕt ∈ K ∗ : ϕt (x) = x0 (t), t ∈ [a, b]}
gewählt werden. Wieder ist
{x ∈ K : ∃ϕ ∈ S : ϕ(x) = 0} = ∂K.
Sei g : R → R stetig und f : E → E definiert durch
Z t
(f (x))(t) =
g(x0 (τ ))dτ.
a
Dann ist f stetig und
x ≤ y, ϕt ∈ S, ϕt (x) = ϕt (y) ⇔ x0 (t) = y 0 (t)
⇒ ϕt (f (x)) = g(x0 (t)) = g(y 0 (t)) = ϕt (f (y)).
Also sind f und −f qmw.
Quasimonotone Abbildungen im Raum der symmetrischen Matrizen.
74
Wir betrachten E = {X ∈ Rn×n : X T = X}.
E ist ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension
Wir betrachten den Kegel
n2 +n
2 .
K = {X ∈ E : X ist positiv semidefinit}.
Bemerkung: Die von K erzeugte Ordnung heißt auch LoewnerOrdnung.
Es sei X ∈ E positiv semidefinit (also xT Xx = hx, Xxi ≥ 0 (x ∈
Rn )) und es gelte y T Xy = 0 für ein y ∈ Rn .
Behauptung: Xy = 0.
Beweis: X ist diagonalisierbar. Sei {b1 , . . . , bn } eine OrthonormalBasis des Rn aus EVen. Dann ist
n
X
y=
αj b j
j=1
und (λ1 , . . . , λn die EWe von X)
+
* n
n
n
X
X
X
T
αj2 λj
αj λj bj =
0 = y Xy =
αj bj ,
j=1
j=1
j=1
⇒λj ≥0 αj2 λj = 0 (j = 1, . . . , n) ⇒ αj λj = 0 (j = 1, . . . , n)
⇒ Xy =
n
X
αj λj bj = 0
j=1
¤
Bemerkung: Insbesondere folgt, daß K ∩ (−K) = {0} ist, denn
X ∈ K ∩ (−K) ⇒ xT Xx = 0 (x ∈ Rn ) ⇒ Xx = 0 (x ∈ Rn )
⇒ X = 0.
Es sei k.k die Euklidnorm auf Rn und |||.||| die zugehörige Matrixnorm.
75
Es gilt offensichtlich
K = {X ∈ E : xT Xx ≥ 0 (kxk = 1)}.
Da {x ∈ Rn : kxk = 1} eine kompakte Teilmenge des Rn ist,
folgt:
xT Xx > 0 (kxk = 1) ⇔ ∃ε > 0 : xT Xx ≥ ε (kxk = 1).
Ist dann Y ∈ E mit |||Y ||| < 2ε , so gilt für ||x|| = 1:
xT (X + Y )x = hx, (X + Y )xi ≥ ε + hx, Y xi
ε
≥ ε − kxk · kY xk ≥ ε − kxk2 |||Y ||| ≥ .
|{z}
2
=1
◦
Also ist jedes positiv definite X in K.
◦
Ist umgekehrt X ∈ K, so ist xT Xx > 0 (kxk = 1), also X
positiv-definit. (Denn wäre xT Xx = 0 für ein x =
6 0, so wäre
X − εI ∈
/ K (ε > 0).)
Wir haben also:
◦
K = {X : X ist positiv definit}
∂K = {X ∈ K : ∃x : kxk = 1 ∧ xT Xx = 0}.
Somit erfüllt die Menge
S = {ϕx ∈ K ∗ : ϕx (X) = xT Xx, kxk = 1}
die Voraussetzung des Satzes von Uhl.
Ist also f : E → E stetig, so ist f qmw genau dann, wenn gilt:
X ≤ Y, x ∈ Rn , xT Xx = xT Y x ⇒
xT f (X)x ≤ xT f (Y )x.
Es sei A ∈ Rn×n .
Wir betrachten die lineare Abbildung
f : E → E, f (X) = AX + XAT .
76
Es sei X ≥ 0, x ∈ Rn , xT Xx = 0.
Dann ist Xx = 0 und somit
xT f (X)x = xT (AX + XAT )x = 2xT AXx = 0.
Insbesondere ist f qmw und −f ist qmw.
Es sei A ∈ Rn×n . Die lineare Abbildung
f : E → E, f (X) = AT XA
ist wachsend, denn
X ≥ 0 ⇒ xT (AT XA)x = (Ax)T X(Ax) ≥ 0 (x ∈ Rn ).
Es sei A ∈ E (also symmetrisch).
Die Abbildung f : E → E, f (x) = XAX ist qmw und −f ist
qmw:
1. Möglichkeit:
Sei
X ≤ Y, x ∈ Rn , xT Xx = xT Y x ⇒ Y x = Xx ⇒
xT f (X)x = xT XAXx = (Xx)T A(Xx) = (Y x)T A(Y x) = xT f (Y )x.
2. Möglichkeit:
f ist differenzierbar auf E mit
f 0 (X)H = XAH + HAX
wegen
(X + H)A(X + H) − XAX − (XAH + HAX)
|||H|||
=
HAH
→ 0 (H → 0).
|||H|||
Wir wissen: H 7→ (XA)H + H(XA)T = (XA)H + H(AX) ist
qmw, also ist f qmw.
77
Es sei f : E → E, f (X) = X 3 .
f ist qmw: Sei X ≤ Y, x ∈ Rn , xT Xx = xT Y x.
Also wieder Xx = Y x.
xT f (X)x = xT X 3 x = (Xx)T X(Xx) = (Y x)T X(Y x)
≤ (Y x)T Y (Y x) = xT f (Y )x.
Bemerkung: Höhere Potenzen sind nicht qmw.
In Anwendung der Resultate aus Kapitel 3 erhalten wir z.B.:
Es seien A, B, C ∈ C([0, ∞), Rn×n ) (also stetige Matrixfunktionen mit A(t) = AT (t) (t ≥ 0) und µ ∈ C([0, ∞), R), µ(t) ≥
0 (t ≥ 0).
Dann ist f : [0, ∞) × E → E
f (t, X) = µ(t)X 3 +XA(t)X +B(t)X +X(B(t))T +(C(t))T XC(t)
qmw, stetig und lokal Lipschitz-stetig. Also hängt z.B. die Lösung
von AWPen U 0 (t) = f (t, U (t)), U (0) = U0 wachsend von U0 ab.
Da f (t, 0) = 0 (t ≥ 0) ist, folgt z.B.:
Ist U0 positiv semidefinit, so ist U (t) positiv semidefinit, solange
die Lösung existiert.
Im Fall µ = 0 spricht man von einer
Matrix-Riccati-Differentialgleichung.
Ist µ = 0, C = 0, so ist −f auch qmw und obige Überlegung
gilt auch “nach links”.
Eine Anwendung:
Ist A ≥ 0, so existiert eine eindeutig bestimmmte positiv semidefinite Matrix C mit C 2 = A.
Bez.: C =
√
A.
78
Behauptung: Es gilt 0 ≤ A ≤ B ⇒
√
A≤
√
B.
Beweis: Wir betrachten das AWP
X 0 (t) = A − X 2 (t), X(0) = µI
mit µ ≥ 0 so groß, daß A − µ2 I ≤ 0 gilt (also z.B. µ2 ≥ r(A)).
Da die Differentialgleichung autonom ist, folgt X(t) & und es
gilt X(t) ≥ 0, denn
00 − (A − 02 ) = −A ≤ 0 = X 0 (t) − (A − X 2 (t)), 0 ≤ X(0).
Somit existiert X(t) für t ≥ 0, und C := lim X(t) existiert (K
t→∞
ist regulär).
C ist positiv semidefinite Nullstelle der rechten Seite, also
√
A − C 2 = 0 ⇒ C = A.
Weiter sei Y : [0, ∞) → E die Lösung von Y 0 (t) = B−Y 2 (t), Y (0) =
µI.
µ sei so groß, daß auch B − µ2 I ≤ 0 gilt.
Dann gilt lim Y (t) =
t→∞
√
B.
Weiter gilt
X 0 (t) + X 2 (t) = A ≤ B = Y 0 (t) + Y 2 (t) (t ≥ 0)
X(0) = µI = Y (0),
also
X(t) ≤ Y (t) (t ≥ 0) ⇒
√
A≤
√
B.
Bemerkung: Monotonieeigenschaften von Funktionen auf den
positiv definiten Matrizen sind nicht analog zum reellen Fall.
Z.B.:
0≤A≤B ⇒
\ A2 ≤ B 2 .
79
Beispiel:
µ ¶
µ
¶
20
3 −1
0≤
=A≤
= B,
01
−1 2
µ
¶
1 −1
(B − A) =
; (1 − λ)2 − 1 = λ2 − 2λ = λ(λ − 2).
−1 1
µ ¶
µ
¶µ
¶ µ
¶
40
3 −1
3 −1
10 − 5
2
2
; B =
=
A =
01
−1 2
−1 2
−5 5
µ
¶
6 −5
B 2 − A2 =
; det (B 2 − A2 ) = 24 − 25 = −1.
−5 4
80