H1.1. Summenformeln Man beweise mit vollständiger Induktion: Für

H1.1. Summenformeln
Man beweise mit vollständiger Induktion: Für alle n ∈ N gilt:
(a)
n
X
(2k − 1) = n2 ,
k=1
(b)
n
X
k+1
(−1)
k=
k=1
n+1
2
− n2
, falls n ungerade
, falls n gerade
(c) Für jedes x ∈ Q gilt: (1 − x)2
n
X
,
kxk−1 = 1 − (n + 1)xn + nxn+1 .
k=1
Lösung:
Die Beweise sind in Kurzform.
(a) Beweis: “n = 1”: 1 = 12 ,
P
n
n+1
P
I.V.
(2k − 1) + (2(n + 1) − 1) = n2 + (2(n + 1) − 1) =
(2k − 1) =
“n 7→ n + 1”:
k=1
k=1
n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 ,
(b) Beweis: “n = 1”: (−1)2 · 1 = 1+1
2 , da n = 1 ungerade,
“n 7→ n + 1”:
n+1
n
P
P
(−1)k+1 k =
(−1)k+1 k + (−1)n+2 (n + 1)
k=1 k=1
n+1
n+1
− 2 ,
falls (n + 1) gerade
+ (−1)(n + 1), falls n ungerade
I.V.
2
=
.
=
(n+1)+1
− n2 + 1 · (n + 1),
falls n gerade
, falls (n + 1) ungerade
2
(c) Beweis: “n = 1”: (1 − x)2 · 1 · x0 = (1 − x)2 = 1 − (1 + 1)x1 + 1 · x1+1 ,
n
n+1
X
X
I.V.
kxk−1 +(1−x)2 (n+1)xn = (1−(n+
kxk−1 = (1−x)2
“n 7→ n+1”:(1−x)2
k=1
k=1
1)xn +nxn+1 )+(n+1)xn −2(n+1)xn+1 +(n+1)xn+2 = 1−(n+2)xn+1 +(n+1)xn+2 .
H1.2. Differenzmengen
Es sei A ⊂ U und B ⊂ V . Zeigen Sie:
(U × V ) \ (A × B) = ((U \ A) × V ) ∪ (U × (V \ B)).
Lösung:
Es gilt
(U × V ) \ (A × B) = {(x, y) : (x, y) ∈ U × V ∧ (x, y) 6∈ A × B}
= {(x, y) : (x ∈ U ∧ y ∈ V ) ∧ (x 6∈ A ∨ y 6∈ B)}
= {(x, y) : (x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ x 6∈ A) ∨ (x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ y 6∈ B)}
= {(x, y) : x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ x 6∈ A} ∪ {(x, y) : x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ y 6∈ B}
= {(x, y) : x ∈ U \ A ∧ y ∈ V } ∪ {(x, y) : x ∈ U ∧ y ∈ V \ B}
= ((U \ A) × V ) ∪ (U × (V \ B)) .
H1.3. Rationale Zahlen
Zeigen Sie:
(a) Zu jedem x ∈ Q gibt es ein n ∈ N0 mit n ≥ x.
(b) Für alle x ∈ Q gilt:
(∀n ∈ N : x ≤
1
) ⇒ x≤0.
n
Lösung:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x = pq mit p ∈ Z und q ∈ N.
0 , falls p < 0
(a) Definiere n :=
. Dann ist n ∈ N0 und nq ≥ n ≥ p, also n ≥
p , falls p > 0
(b) Wäre x > 0, so gibt es nach (a) ein n ∈ N mit
n − 1 ≥ pq ⇒ n > pq ⇒ (wegen x > 0) xn > x pq = 1 ⇒ x > n1 .
Im Widerspruch zur Voraussetzung.
p
q
= x.