Ubungen zur Analysis 1, SoSe 2016 Blatt 0

BERGISCHE UNIVERSITÄT
WUPPERTAL
Fakultät 4 - Mathematik
und Naturwissenschaften
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Dr. T. P. Pawlaschyk
14.04.16
Übungen zur Analysis 1, SoSe 2016
Blatt 0
Aufgabe 1
Sei M eine Menge. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen über eine Menge A ⊂ M paarweise
äquivalent sind:
(a) Für jede Menge B ⊂ M ist A \ B = A ∩ B.
(b) Es existiert eine Menge B ⊂ M mit A \ B = A ∩ B.
(c) A = ∅
(d) Für jede Menge C ⊂ M ist C \ A = A ∪ C.
(e) Es existiert eine Menge C ⊂ M mit C \ A = A ∪ C.
Lösung
”(a)⇒(b)”: Trivial. Wähle B = M , B = A oder B = ∅.
”(b)⇒(c)”: Ist B = ∅, dann ist A \ B = A = A ∩ B = ∅. Also A = ∅.
Angenommen A, B 6= ∅. Ist A ∩ B = ∅, so ist A \ B = A = A ∩ B = ∅. Also wieder A = ∅.
Andernfalls wählen wir ein x ∈ A ∩ B. Da A ∩ B = A \ B ist, kann x nicht in B liegen. Das
ist aber ein Widerspruch zur Wahl von x ∈ A ∩ B. Daher muss A = ∅sein oder B = ∅ sein.
Da letzterer Fall bereits oben behandelt wurde, kann nur A = ∅ sein.
”(c)⇒(a)”: Trivial.
”(c)⇒(d)”: Trivial.
”(d)⇒(e)”: Trivial. Wähle C = M , C = A oder C = ∅.
”(e)⇒(c)”: Falls C leer ist, ist auch A leer nach Voraussetzung. Falls A leer ist, sind wir
sowieso fertig. Sind A und C nicht leer, so folgt aus der Voraussetzung
∅ = (C \ A) \ C = (A ∪ C) \ C = A \ C,
d.h. A ⊂ C. Damit erhalten wir den Widerspruch A ⊂ C = A ∪ C = C \ A. In allen Fällen
muss A also leer sein.
Aufgabe 2
Ist M eine Menge und A, B zwei Teilmengen von M . Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen
äquivalent sind:
(a) A ∩ B = A ∪ B
(b) A = B
Lösung
”(a)⇒(b)”: Es gelten
A ⊂ A∪B =A∩B ⊂ B
und B ⊂ A ∪ B = A ∩ B ⊂ A.
Also ist A = B.
”(b)⇒(a)”: Trivial.
Aufgabe 3
Sei M eine Menge und seien X, Y Teilmengen von M . Die symmetrische Differenz von X und
Y ist definiert als
X∆Y := (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ) = (X \ Y ) ∪ (Y \ X).
(a) Sei X ⊂ Y . Was sind dann X∆Y , X∆∅, ∅∆∅ und X∆X c ?
(b) Zeigen Sie: X∆Y = X genau dann, wenn Y = ∅.
(c) Für welches Y ⊂ M gilt X∆Y = ∅ ?
Hinweis: Man kann ferner zeigen, dass X∆(Y ∆Z) = (X∆Y )∆Z für X, Y, Z ⊂ M ist. Somit
ist die Potenzmenge von M zusammen mit der Verknüpfung ∆ eine Gruppe.
Lösung
(a) (i) Ist X ⊂ Y , dann ist
X∆Y = (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ) = ∅ ∪ (X c ∩ Y ) ∪ ∅ = Y \ X.
(ii) X∆∅ = (X ∩ M ) ∪ (X c ∩ ∅) = X ∪ ∅ = X.
(iii) ∅∆∅ = ∅.
(iv) X∆X c = (X ∩ X cc ) ∪ (X c ∩ X c ) = X ∪ X c = M
(b) ”⇐”: Siehe Teil (a)(ii).
”⇒”: Angenommen, es existiert ein y ∈ Y . Ist y ∈ X ∩ Y , so erhalten wir den Widerspruch
y ∈ X ∩ Y ⊂ X = X∆Y,
denn X ∩ Y und X∆Y sind disjunkt. Im zweiten Fall ist nun aber y ∈ Y \ X ⊂ X∆Y = X
sofort ein Widerspruch. Also ist Y leer.
(c) Wähle Y = X. Dann ist X∆X = (X ∩ X c ) ∪ (X c ∩ X) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
Ist umgekehrt Y ⊂ M eine Menge mit X∆Y = ∅, so haben wir X ∩ Y c ⊂ X∆Y = ∅, also
X ⊂ Y und ebenso Y ∩ X c ⊂ X∆Y = ∅, also auch Y ⊂ X, somit Y = X.
Aufgabe 4
Seien a, b natürliche Zahlen. Zeigen Sie:
(a) Ist a gerade, so ist ak gerade für alle k ∈ N.
(b) Ist b ungerade, so ist bk ungerade für alle k ∈ N0 .
Lösung
(a) Für k = 1 ist das klar. Für k ≥ 2 ist ak = a · ak−1 = ab, wobei b := ak−1 ∈ N. Da a
gerade ist, kann man a schreiben als a = 2n für ein n ∈ N. Dann ist ab = 2nb und somit ab
ebenfalls wieder gerade.
(b) Für k = 0, 1 ist das klar. Da b ungerade ist, gibt es ein n ∈ N0 mit b = 2n + 1. Für k = 2
ist
b2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1.
Daher ist auch b2 ungerade. Für k ≥ 3 können wir bk schreiben als
bk = b · bk−1 = 2nbk−1 + bk−1 .
Ist nun k − 1 = 0, 1, 2, so ist bk ungerade als Summe einer geraden und ungeraden Zahl.
Andernfalls zerlegen wir bk−1 wieder in 2nbk−2 + bk−2 und somit
bk = 2nbk−1 + 2nbk−2 + bk−2 .
Dieses Verfahren führen wir weiter fort. Es endet, da nach k − 2 Schritten schließlich bk−k = 1
ist, so dass bk als Summe gerader Zahlen plus 1 geschrieben werden kann. Somit ist auch bk
ungerade. (Der Induktionsbeweis ist hier eleganter und schneller, wurde aber noch nicht in der
Vorlesung eingeführt. Dieser Beweis hier ist eher ein Algorithmus, der terminiert.)
Aufgabe 5
(i) Bestimmen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen:
(a) Wenn 5 gleich 7 ist, dann ist 3 gleich 9.
(b) Wenn 5 gleich 5 ist, dann ist 3 gleich 9.
(c) Wenn 5 gleich 7 ist, dann ist 3 gleich 3.
(d) 5 ist genau dann 7, wenn 3 gleich 3 ist.
(ii) Negieren Sie folgende Aussagen:
(a) Wenn die Aussage A gilt, dann gilt auch die Aussage B.
(b) Für alle x gilt die Aussage A(x).
(c) Für alle x gibt es ein y, so dass die Aussage A(x, y) gilt.
(iii) Formulieren Sie eine äquivalente Aussage zu ”Wenn es regnet, wird mein Auto nass.”,
die mit ”Wird mein Auto nicht nass,. . .” beginnt. Stimmt die Aussage? Was ist ihre
Negation?
Lösung
(i) Bestimmen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen:
(a) Wahr
(b) Falsch
(c) Wahr
(d) Falsch
(ii) (a) Es gilt A, aber nicht B.
(b) Es gibt ein x, für das die Aussage A(x) nicht gilt.
(c) Es gibt ein x, so dass für alle y die Aussage A(x, y) nicht gilt.
(iii) ”Wird mein Auto nicht nass, dann regnet es nicht.” Die Aussage ist im Allgemeinen
falsch, da es Tage gibt, an denen ich das Auto in der Garage parke und es bei Regen nicht
nass wird. Über diese und ähnliche Aussagen kann man stundenlang diskutieren, da die
Aussage nicht sehr präzise ist. Das ist die Schwierigkeit, die Aussagenlogik auf die ’reale
Welt’ direkt zu übertragen.
Negation: ”Es regnet, und mein Auto wird nicht nass.”