a) Wir berechnen a ln a = eln x = x und = = = x. Also ist die
Werbung
ln x Lösung zu 3.5: a) Wir berechnen aln x/ ln a = eln a ln a = eln x = x und x ln a x = x. Also ist die Umkehrfunktion durch loga (x) = ln gegeben. ln a ln a ln(ax ) ln a = ln(ex ln a ) ln a = b) Angenommen, log2 (3) ist rational. Dann gibt es ganze Zahlen m, n ∈ Z mit log2 (3) = ln 3 =m bzw. n ln 3 = m ln 2 (mit n 6= 0). Wenden wir die Exponentialfunktion auf diese ln 2 n Gleichung an, so folgt 3n = 2m . Dies ist aber ein Widerspruch, denn 1. im Fall n, m > 0 ist die linke Seite eine ungerade und die rechte Seite eine gerade Zahl, 2. im Fall n > 0 und m ≤ 0 ist 3n > 1 ≥ 2m 3. im Fall n < 0 und m ≥ 0 ist 3n < 1 ≤ 2m 4. im Fall m, n < 0 bilden wir die Kehrwerte und erhalten wieder den Widerspruch aus dem ersten Fall.
