a) Wir berechnen a ln a = eln x = x und = = = x. Also ist die

ln x
Lösung zu 3.5: a) Wir berechnen aln x/ ln a = eln a ln a = eln x = x und
x ln a
x
= x. Also ist die Umkehrfunktion durch loga (x) = ln
gegeben.
ln a
ln a
ln(ax )
ln a
=
ln(ex ln a )
ln a
=
b) Angenommen, log2 (3) ist rational. Dann gibt es ganze Zahlen m, n ∈ Z mit log2 (3) =
ln 3
=m
bzw. n ln 3 = m ln 2 (mit n 6= 0). Wenden wir die Exponentialfunktion auf diese
ln 2
n
Gleichung an, so folgt 3n = 2m . Dies ist aber ein Widerspruch, denn
1. im Fall n, m > 0 ist die linke Seite eine ungerade und die rechte Seite eine gerade Zahl,
2. im Fall n > 0 und m ≤ 0 ist 3n > 1 ≥ 2m
3. im Fall n < 0 und m ≥ 0 ist 3n < 1 ≤ 2m
4. im Fall m, n < 0 bilden wir die Kehrwerte und erhalten wieder den Widerspruch aus
dem ersten Fall.