Analysis 1: Übungsblatt 1

Analysis 1
WS 2017/18
NAWI Graz
12. Oktober 2017
Übungsblatt 1
Aufgabe 1
(a) Es seien p, q Aussagen. Zeigen Sie (z. B. durch Wahrheitstafel)
(p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q)
’Beweis durch Widerspruch’.
(b) Beweisen Sie auf drei verschiedene Arten (direkt, indirekt, durch Widerspruch)
∀x ∈ R :
x 3 + 2x > 0 ⇒ x > 0.
Aufgabe 2 Für jedes n ∈ N wird Mn durch Mn = {x ∈ R : 0 < x < 1/n} definiert.
Beweisen Sie durch Widerspruch, dass gilt
\
Mn = ∅.
n∈N
Hinweis: Angenommen, der Durchschnitt wäre nicht leer. Daraus folgt, dass es eine
reelle Zahl x0 gibt, sodass x0 ∈ Mn gilt für alle n ∈ N. Betrachten wir dann drei Fälle:
(i) x0 = 0, (ii) x0 < 0, und (iii) x0 > 0, um einen Widerspruch zu erhalten.
Aufgabe 3 Es seien p, q und r Aussagen. Beweisen Sie mittels einer Wahrheitstafel
das Distributivgesetz
p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ).
Aufgabe 4 Formalisieren Sie die folgenden umgangssprachlich formulierten Verknüpfungen der Aussagen p, q und r im aussagenlogischen Kalkül. Bilden Sie außerdem die Negation jeder der Aussagen.
(a) Unter der Bedingung, dass p oder q zutrifft, schließen wir, dass r keinesfalls
gelten kann.
(b) Es ist notwendig für r , dass sowohl p als auch q gelten.
(c) p oder q gilt, aber p und q schließen einander aus.
Aufgabe 5 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x , für die gilt:
√
√
(a) 2x − 4 − x − 1 = 1
(b) |x + 1| − |x − 1| = 1
(c) x 3 − x 2 < 2x − 2