Es wird jeweils eine Wahrheitstafel erstellt, wobei w = wahr, f

Blatt 1, Aufgabe 1:
Es wird jeweils eine Wahrheitstafel erstellt, wobei w = wahr, f = falsch. Wenn
die letzte Spalte in jeder Zeile den Wert “wahr” aufweist, ist die Aussage
bewiesen.
Kommutativgesetze:
A∧B ⇔B∧A
A B
w w
w f
f w
f f
A∧B
w
f
f
f
B∧A
w
f
f
f
A∧B ⇔B∧A
w
w
w
w
A∨B ⇔B∨A
A B
w w
w f
f w
f f
A∨B
w
w
w
f
B∨A
w
w
w
f
A∨B ⇔B∨A
w
w
w
w
Assoziativgesetze:
A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
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f
w
f
w
f
A∧B
w
w
f
f
f
f
f
f
B∧C
w
f
f
f
w
f
f
f
A ∧ (B ∧ C) (A ∧ B) ∧ C
w
w
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C
w
w
w
w
w
w
w
w
A ∨ (B ∨ C) (A ∨ B) ∨ C
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
f
f
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C
w
w
w
w
w
w
w
w
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
w
w
w
f
f
B∨C
w
w
w
f
w
w
w
f
1
Distributivgesetze:
A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A
B
C
A∧B
A∧C
B∨C
A ∧ (B ∨ C)
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
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f
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f
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f
f
f
w
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f
w
w
w
f
w
w
w
f
f
f
f
f
(A ∧ B)
A ∧ (B ∨ C) ⇔
∨(A ∧ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
w
w
w
w
w
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A
B
C
A∨B
A∨C
B∧C
A ∨ (B ∧ C)
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
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f
w
f
w
w
w
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f
f
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f
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f
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f
f
f
w
f
f
f
w
w
w
w
w
f
f
f
(A ∨ B)
A ∨ (B ∧ C) ⇔
∧(A ∨ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
f
w
f
w
f
w
Blatt 1, Aufgabe 2:
Es wird jeweils eine Wahrheitstafel erstellt, wobei w = wahr, f = falsch. Wenn
die letzte Spalte in jeder Zeile den Wert “wahr” aufweist, ist die Aussage
bewiesen.
(a) (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B (Abtrennungsregel)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A⇒B
w
f
w
w
A ∧ (A ⇒ B)
w
f
f
f
(A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B
w
w
w
w
2
(b) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) (Syllogismusregel)
A
B
C
A⇒B
A⇒C
B⇒C
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
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f
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f
w
w
f
f
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w
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f
w
f
w
w
w
w
w
f
w
w
w
f
w
w
w
f
f
f
w
f
w
w
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C))
⇒ (A ⇒ C)
w
w
w
w
w
w
w
w
(c) (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ (A ⇒ C))
A
B
C
B⇒C
A⇒C
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
w
w
f
w
w
w
f
w
f
w
w
w
w
A ⇒ (B ⇒ C) B ⇒ (A ⇒ C)
w
f
w
w
w
w
w
w
w
f
w
w
w
w
w
w
(A ⇒ (B ⇒ C))
⇔ (B ⇒ (A ⇒ C))
w
w
w
w
w
w
w
w
(d) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) (Kontrapositionsgesetz)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
A⇒B
w
f
w
w
¬B ⇒ ¬A
w
f
w
w
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
w
w
w
w
(e) ¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬B
f
w
f
w
A⇒B
w
f
w
w
¬(A ⇒ B)
f
w
f
f
A ∧ ¬B
f
w
f
f
3
¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)
w
w
w
w
Blatt 1, Aufgabe 3:
(a) ∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R : x + y > 0 (falsch)
Negation: ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R : x + y ≤ 0.
Für alle reellen Zahlen x existiert eine reelle Zahl y, so dass die Summe x + y
negativ oder gleich Null ist.
(b) ∃ n ∈ N, ∀ l ∈ N, l 6= n : n > l (falsch)
Negation: ∀ n ∈ N, ∃ l ∈ N, l 6= n : n ≤ l.
Zu allen natürlichen Zahlen n existiert eine von n verschiedene natürliche Zahl
l, so dass n kleiner oder gleich l ist.
(c) ∀ x ∈ R, x > 0, ∃ y1 , y2 ∈ R, y1 6= y2 , ∀ y ∈ R :
(x = y12 ) ∧ (x = y22 ) ∧ [y 2 = x ⇒ (y = y1 ) ∨ (y = y2 )] (wahr)
Negation: ∃ x ∈ R, x > 0, ∀ y1 , y2 ∈ R, y1 6= y2 , ∃ y ∈ R :
(x 6= y12 ) ∨ (x 6= y22 ) ∨ [(y 2 = x) ∧ (y 6= y1 ) ∧ (y 6= y2 )]
Es gibt ein positives reelles x, so dass für alle reellen y1 , y2 mit y1 6= y2 ein
reelles y existiert, so dass das Quadrat von y x ist, y aber weder gleich y1 noch
gleich y2 ist.
(d) ∀ m, n ∈ N, m ≤ n, ∃ r, s ∈ N, r < m : n = ms + r (wahr, wenn r, s auch
den Wert 0 annehmen dürfen; wird später klar . . . )
Negation: ∃ m, n ∈ N, m ≤ n, ∀ r, s ∈ N, r < m : n 6= ms + r
Es gibt Paare natürlicher Zahlen m und n mit m ≤ n, so dass für alle natürlichen Zahlen r und s mit r < m gilt, dass n 6= ms + r ist.
(e) ∀ n ∈ Z : (n2 ≡ 0 mod 4) ∨ (n2 ≡ 1 mod 4) (wahr)
Negation: ∃ n ∈ Z : (n2 6≡ 0 mod 4) ∧ (n2 6≡ 1 mod 4)
Es gibt eine ganze Zahl n, deren Quadrat nach Division durch vier weder den
Rest 0 noch den Rest 1 hat.
Blatt 1, Aufgabe 4:
(a) Sei A die Aussage “Herr Steinmeier kommt”,
B die Aussage “Frau Steinmeier kommt”,
C die Aussage “Heidemarie kommt”,
D die Aussage “Peer kommt”
und E die Aussage “Franz kommt”.
Dann ergeben sich aus dem Aufgabentext die folgenden Aussagen:
4
I
A⇒B
II
C∨D
III
(B ∧ ¬E) ∨ (¬B ∧ E)
IV
(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)
V
C ⇒ (A ∧ D)
Diese müssen alle wahr sein.
Beweisidee: Beweis durch Widerspruch (Wir nehmen an, dass eine Aussage
wahr ist und zeigen, dass dies zum Widerspruch führt.)
Annahme: A ist wahr
I
⇒
III
⇒
IV
⇒
II
⇒
V
⇒
B ist wahr
E ist falsch
D ist falsch
C ist wahr
D ist wahr.
Dies ist ein Widerspruch, da D nicht gleichzeitig wahr und falsch sein kann.
Also muss A falsch sein.
Überprüfe, dass diese Annahme zu keinem Widerpsruch führt.
V
A ist falsch ⇒
II
⇒
IV
⇒
III
⇒
C ist falsch
D ist wahr
E ist wahr
B ist falsch
Dies führt nicht zu Widerspruch mit I. ⇒ Die Annahme “A ist falsch” ist
richtig. Es kommen nur Peer und Franz (nur D und E sind wahr).
(b) Behauptung: Ein Buch ist leer.
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: In jedem Buch steht mindestens ein Wort.
Es gibt keine zwei Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Worten besteht.
Also hat das Buch mit den zweitwenigsten Worten (falls es existiert) mindestens zwei Worte, und jedes Buch enthält mindestens so viele Worte, wie es
Bücher gibt, die weniger oder gleich viele Worte haben wie das Buch selbst.
Also: Die Anzahl der Worte im Buch mit den meisten Worten ist mindestens
so groß wie die Anzahl aller Bücher in der Bibliothek.
Dies ist ein Widerspruch zur Aufgabenstellung. Also ist die Annahme falsch,
und ein Buch ist leer.
5