Algebra - TU Chemnitz

Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2017
JProf. Dr. Christian Lehn
Dr. Alberto Castaño Domı́nguez
Algebra
Übungsblatt 6
Aufgabe 1. Es sei
η
ε
0−
→ G0 −−→ G −→ G00 −
→0
eine exakte Sequenz von Gruppen. Wie in Blatt 4, Aufgabe 1 sagen wir, dass die Sequenz
bei ε spaltet, wenn es einen Gruppenhomomorphismus s : G00 −
→ G mit ε ◦ s = idG00
gibt. Die Abbildung s wird auch als Schnitt von ε bezeichnet. Ebenso sagen wir, dass die
Sequenz bei η spaltet, wenn es s : G −
→ G0 mit s ◦ η = idG00 gibt. Manchmal spricht man
auch davon, dass die Sequenz vorne (also bei η) oder hinten (also bei ε) spaltet.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
1. Die Sequenz spaltet bei η.
f
2. Es gibt einen Isomorphismus G −−→ G0 × G00 derart, dass f ◦ η durch g 0 7→ (g 0 , 0) und
ε ◦ f −1 durch (g 0 , g 00 ) 7→ g 00 gegeben sind.
Zeigen Sie ferner, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
1. Die Sequenz spaltet bei ε.
2. Es gibt einen Gruppenhomomorphismus ϕ : G00 −
→ Aut(G0 ) und einen Isomorphismus
f
G −−→ G0 oϕ G00 derart, dass f ◦ η durch g 0 7→ (g 0 , 0) und ε ◦ f −1 durch (g 0 , g 00 ) 7→ g 00
gegeben sind.
Aufgabe 2. Es sei p eine Primzahl, p > 2 und G eine Gruppe der Ordnung 2p. Zeigen Sie,
dass G entweder zyklisch oder isomorph zur Diedergruppe Dp ist.
Hinweis: Man betrachte ein Element x ∈ G der Ordnung p und ein y ∈ G der Ordnung 2.
Man zeige mit Hilfe der Sylowsätze, dass ord(xy) nur 2 oder 2p sein kann.
Aufgabe 3. Es seien p, q Primzahlen mit p < q und p - (q − 1). Zeigen Sie, dass jede Gruppe
G der Ordnung pq zyklisch ist.
Hinweis: Was ist die Ordnung eines Elements, das weder in einer p–, noch in einer q–
Sylowgruppe enthalten ist? Gibt es solche Elemente?
Aufgabe 4. Klassifizieren Sie alle Gruppen der Ordnung 8 bis auf Isomorphie. Wie viele
Isomorphieklassen solcher Gruppen gibt es?
Hinweis: Benutzen Sie Lemma II.3.13 aus der Vorlesung, eventuell Aufgabe 1 auf diesem
und Aufgabe 1 auf dem vierten Blatt sowie den sogenannten Chinesischen Restsatzes, der
in einer einfachen Form besagt, dass für teilerfremde Zahlen a, b gilt, dass Z/aZ × Z/bZ ∼
=
Z/(ab)Z gilt. Wir werden zu einem späteren Zeitpunkt eine allgemeinere Version dieses
Satzes in der Vorlesung beweisen. Es kann hilfreich sein, zu zeigen, dass für G von Ordnung
8 und mit Zentrum Z der Ordnung 2 die Gruppe G/Z isomorph zu V4 , also zu Z/2Z×Z/2Z
sein muss.