8.1. DER RAUM RN ALS BANACHRAUM 17 Beweis. Natürlich ist d

8.1. DER RAUM
RN ALS BANACHRAUM
17
Beweis. Natürlich ist d ≥ 0 und d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y. Wegen
(N2) ist k − xk = kxk und damit d(x, y) = d(y, x). Die letzte Eigenschaft einer
Metrik schließt man leicht mittels
d(x, z) = kx − zk = kx − y + y − zk
≤ kx − yk + ky − zk = d(x, y) + d(y, z).
Damit können wir von stetigen Abbildungen zwischen normierten Räumen sprechen. Speziell wollen wir uns für die Stetigkeit linearer Abbildungen interessieren.
Satz 8.1.7 (Stetigkeit linearer Abbildungen)
Es seien (Vj , k · kVj ) für j = 1, 2 normierte Räume, L : V1 → V2 sei linear.
Dann ist L : (V1 , dV1 ) → (V2 , dV2 ) stetig, genau dann wenn
n
o
sup kLxkV2 kxkV1 = 1 < ∞.
Die Menge L(V1 , V2 ) der stetigen linearen Abbildungen (V1 , k · kV1 ) → (V2 , k ·
kV2 ) bildet in natürlicher Weise einen linearen Raum, mit
n
o
kLkL(V1 ,V2 ) = sup kLxkV2 kxkV1 = 1
wird dieser zum normierten linearen Raum.
Beweis. Ist L : V1 → V2 bezüglich der angegebenen Metriken stetig, so ist
L insbesondere bei x = 0 stetig. Dann gibt es zu ε > 0 ein δ > 0, so dass
kxkV1 < δ impliziert, dass kLxkV2 < ε. (Beachte (d(x, 0) = kxk.) Dann ist für x
mit kxkV1 = 1 2δ x ∈ BδV1 (0), der δ–Kugel in V1 bzgl. dV1 um 0 ∈ V1 . Also ist
δ
kL( x)kV2 < ε
2
und damit
2ε
< ∞.
δ
Zur Gegenrichtung bemerken wir, dass die Voraussetzung die Stetigkeit bei x = 0
impliziert. Daraus folgt aber leicht die Stetigkeit in jedem Punkt x0 ∈ V1 . Dass
die stetigen linearen Abbildungen einen linearen Raum bilden ist sofort klar.
Wir müssen noch (N 1) − (N 3) nachprüfen. Dabei ist die einzige wirklich ernsthafte Fragestellung, ob (N3) gilt. Sind L1 , L2 zwei stetige lineare Abbildungen,
so gilt für kxkV1 = 1
kL(x)kV2 <
k(L1 + L2 )xkV2 ≤ kL1 (x)kV2 + kL2 (x)kV2
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KAPITEL 8. DIFFERENTIALRECHNUNG
wegen der Linearität und der Dreiecksungleichung in V2 . Nehmen wir nun das
Supremum über alle x von der V1 –Norm 1, so erhalten wir
kL1 + L2 kL(V1 ;V2 ) ≤ kL1 kL(V1 ;V2 ) + kL2 kL(V1 ;V2 ) .
In der linearen Algebra wird auch der Zusammenhang zwischen inneren Produkten und gewissen Normen hergestellt.
Definition 8.1.8 (Skalarprodukt)
Auf einem linearen Raum V über R nennen wir eine Abbildung
V × V → R : (x, y) 7→ hx, yiV
mit den Eigenschaften
(SP1) hx, xiV ≥ 0 und hx, xiV = 0 genau dann, wenn x = 0.
(SP2) hx + y, ziV = hx, ziV + hy, ziV ;
(SP3) hx, yiV = hy, xiV ;
(SP4) hλx, yiV = λhx, yiV
ein Skalarprodukt oder auch ein inneres Produkt auf V . Im Fall K = C
hat man eine ähnliche Struktur, indem man (SP3) durch hx, yiV = hy, xiV
ersetzt.
Beispiel 8.1.9 (Normen und Skalarprodukte)
1. Auf den Räumen Rn findet man die Abbildung
* n
+
n
X
X
(x, y) 7→ hx, yiRn =
xi e i ,
y i ei
i=1
i=1
Rn
=
n
X
xi y i .
i=1
Die Eigenschaften eines Skalarproduktes
P weist man leicht nach. Entsprechend definiert man hz, wiCn = ni=1 zi wi .
2. Es sei [a, b] ⊂ R kompakt. Auf dem Raum C([a, b]; R) findet man ein
Skalarprodukt durch
Zb
(f, g) 7→
f (x)g(x) dx.
a
Auf einem Raum mit Skalarprodukt erhält man auf einfache Weise eine Norm.
8.1. DER RAUM
RN ALS BANACHRAUM
Satz 8.1.10 (Cauchy–Schwarzsche–Ungleichung)
Ist h·, ·iV ein Skalarprodukt auf einem linearen Raum V über
p
kxk = hx, xiV
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R, so ist
eine Norm auf V und es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (CSU)
|hx, yiV | ≤ kxkkyk.
Beweis. Wir müssen die Eigenschaften (N1-3) nachprüfen. (N1) folgt sofort aus
(SP1). Für (N2) setzen wir
p
p
kλxk = hλx, λxiV = λ2 hx, xiV = |λ|kxk.
Es bleibt die sogenannte Dreiecksungleichung (N3). Wir betrachten für λ ∈ R
kx + λyk2 = hx + λy, x + λyiV = kxk2 + 2λhx, yi + λ2 kyk2 .
Ist y 6= 0, so ist dies eine quadratische Funktion in λ mit positivem Koeffizienten
bei λ2 . Die Funktion besitzt ein eindeutiges Minimum bei
λ=−
hx, yiV
.
kyk2
Es gilt dann
2 hx,
yi
hx,
yi
hx,
yi
V
V
V
0≤
.
x − kyk2 y = x − kyk2 y, x − kyk2 y
V
Durch Auswerten dieses Ausdrucks ergibt sich
0 ≤ kxk2 − 2
hx, yi2V
hx, yi2V
hx, yi2V
2
+
=
kxk
−
.
kyk2
kyk2
kyk2
Damit hat man
hx, yi2V ≤ kxk2 kyk2
oder durch Wurzelziehen
|hx, yiV | ≤ kxkkyk.
Damit haben wir die Cauchy-Schwarzsche1 Ungleichung. Um (N3) zu beweisen
betrachten wir nun
kx + yk2 = hx + y, x + yiV
= kxk2 + 2hx, yiV + kyk2 ≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .
1
Hermann Amandus Schwarz (25.1.1843–30.11.1921) studierte zunächst Chemie und wechselte unter dem Einfluss von Karl Weierstraß zur Mathematik. Nach Promotion (1864), Habilitation (1867) wurde er schließlich Professor für Mathematik an der ETH Zürich, schließlich
wurde er 1892 Nachfolger von Weierstraß an der Berliner Universität. Seine Hauptarbeitsgebiete
waren konforme Abbildungen, Minimalflächen und Arbeiten zur Potentialtheorie, Funktionentheorie (Schwarz’sches Spiegelungsprinzip) und Variationsrechnung.
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KAPITEL 8. DIFFERENTIALRECHNUNG
Damit ist (Wurzelziehen!)
kx + yk ≤ kxk + kyk.
Also ist k · k eine Norm auf V .
Eine wichtige Abschätzung für die verschiedenen Normen auf dem
das folgende Lemma.
Rn gibt uns
Lemma 8.1.11 (Vergleich zweier Normen)
Für x ∈ Kn gilt
√
kxk∞ ≤ kxk2 ≤ nkxk∞ .
Beweis.
kxk∞ = max{|xi | | i = 1, . . . , n}
p
= max{ |xi |2 | i = 1, . . . , n}
v
u n
uX
≤t
|xi |2
i=1
p
≤ n max{|xi |2 | i = 1, . . . , n}
√
= nkxk∞ .
Korollar 8.1.12 (2-Norm, Vollständigkeit)
k · k2 ist eine Norm auf Kn und d2 eine Metrik auf
Metrik wird Kn zum vollständigen metrischen Raum.
Kn × Kn. Mit dieser
Beweis. Alle Eigenschaften bis auf die Vollständigkeit sind geklärt. Angenommen {xm }m∈N ist eine Cauchy-Folge bezüglich d2 , so bedeutet dies, dass zu jedem
ε > 0 ein N ∈ N existiert, so dass für j, k > N gilt
kxj − xk k2 ≤ ε.
Dann gilt für jede Koordinate i = 1, . . . , n , dass die Folge {xi,m }m∈N eine CauchyFolge ist, denn für j, k > N gilt nach Lemma 8.1.11, dass
|xi,j − xi,k | ≤ ε,
und damit konvergiert diese Folge gegen einen Wert xi,0 . Damit konvergiert die
Folge xm gegen x0 , also in Kurzform

 

x1,0
limm→∞ x1,m
 x2,0   limm→∞ x2,m 

 

x0 =  ..  = 
.
..
 .  

.
xn.0
limm→∞ xn,m
8.1. DER RAUM
RN ALS BANACHRAUM
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Es ist (mit Lemma 8.1.11) leicht nachzuprüfen, dass die Konvergenz im Sinne der
Metrik d2 vorliegt.
Wir wollen im folgenden den metrischen Raum (Rn , d2 ) betrachten, sollte eine
andere Metrik gemeint sein, wollen wir das explizit angeben. Die folgenden Überlegungen zeigen, dass ein Wechsel der Norm im Regelfall keine Veränderung der
Begriffe bringt, wir formulieren dies explizit für die Kompaktheit.
Definition 8.1.13 (Äquivalenz von Normen)
Zwei Normen k · ka , k · kb auf einem linearen Raum V heißen äquivalent,
wenn es Zahlen 0 < m < M gibt, so dass für alle x ∈ V gilt
mkxka ≤ kxkb ≤ M kxka .
Lemma 8.1.14 (Äquivalenz von Normen)
1. Äquivalenz von Normen ist eine Äquivalenzrelation.
2. Je zwei Normen auf dem
Kn sind äquivalent.
Beweis. Die erste Aussage ist (fast) trivial, die zweite beweisen wir in den Übungen.
Definition 8.1.15 (Banachraum)
Sei K = R oder K = C.
1. Ist (V, k · kV ) ein normierter linearer Raum, der bezüglich der Metrik
dV (x, y) = kx − ykV
vollständig ist, so nennen wir (V, k · kV ) einen
K–Banachraum2.
2. Ist (V, k · kV ) ein Banachraum und gibt es ein Skalarprodukt h·, ·iV auf
V mit
kvk2V = hv, viV
für alle v ∈ V , so nennen wir den Raum (V, h·, ·iV ) einen Hilbertraum3 .
3
Stefan Banach (30.3.1892–31.8.1945), polnischer Mathematiker. Er war der Begründer der
Theorie linearer, normierter Räume und ihren linearen Abbildungen. Seine Arbeiten sind die
Grundlage der modernen Funktionalanalysis. Er und seine Schüler zeigten viele Anwendungen
der Funktionalanalysis auf.
3
David Hilbert (23.1.1862–14.2.1943) war einer der bedeutendsten deutschen Mathematiker
und einer der bedeutendsten Mathematiker seiner Zeit. Er befasste sich mit vielen Aspekten
22
KAPITEL 8. DIFFERENTIALRECHNUNG
Beispiel 8.1.16 (Beispiele von Banachräumen)
1. (Rn , k · k), wobei k · k eine beliebige Norm auf
Banachraum.
2. Entsprechend ist (Cn , k · k) ein
Rn
ist, ist ein
R–
C–Banachraum.
3. Sei K ein kompakter metrischer Raum, dann ist C(K; K) mit
n
o
kf kC(K;K) = max |f (x)| x ∈ K
ein
K–Banachraum.
4. Sei K ein kompakter metrischer Raum, dann ist C(K; Kn ) mit der
Norm
n
o
kF kC(K;Kn ) = max kF (x)k2 x ∈ K
ein
K–Banachraum.
5. Wir haben gesehen, dass (L(V1 ; V2 ), k · kL(V1 ;V2 ) für normierte Räume
(V, j, k · kVj ) j = 1, 2 ein normierter Raum ist. Ist (V2 , k · kV2 ) ein Banachraum, so ist auch (L(V1 ; V2 ), k · kL(V1 ;V2 ) ) ein Banachraum.
Wir haben in der Analysis I (Definition 4.1.11) den Begriff der Kompaktheit
in metrischen Räumen kennen gelernt und auch kompakte Mengen in R mit
dem Satz von Heine-Borel (Satz 4.1.14) charakterisiert, wobei im Beweis der
Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 2.5.12) eine große Rolle spielte. Wir beweisen
nun eine Version des Satzes von Bolzano-Weierstraß für den Rn und auch eine
entsprechende Charakterisierung kompakter Mengen.
Definition 8.1.17 (Beschränktheit)
1. Eine Menge A in einem normierten linearen Raum (V, k · k) heißt beschränkt, wenn es ein K > 0 gibt, so dass für alle a ∈ A gilt kak ≤ K.
2. Eine Folge {x
N heißt
n m }m∈
o beschränkt, wenn die zugrunde liegende
Menge X = xm m ∈ N beschränkt ist.
Bemerkung 8.1.18 (Beschränktheit im Rn )
1. Eine Menge A ⊂ Kn ist genau dann beschränkt, wenn es eine Kugel
der Mathematik und stellte diese auf neue Grundlagen. Er hat mit einem Vortrag im Jahr 1900
in Paris, wo er 10 Probleme (aus einer späteren Liste von 23 Problemen) vorstellte, von denen
er glaubte, dass sie die Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts prägen würden und auch
über seine Schüler großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik ausgeübt.
8.1. DER RAUM
RN ALS BANACHRAUM
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BK (0) bezüglich der Metrik d2 gibt mit A ⊂ BK (0).
2. Der Begriff der Beschränktheit im
Norm ab.
Kn hängt nicht von der Wahl der
Bemerkung 8.1.19 (Kompaktheit und Einheitskugel)
Die abgeschlossene Einheitskugel ist in einem nicht-endlich dimensionalen
Banachraum beschränkt, aber nicht kompakt. Insofern gelten die nachfolgenden Aussage nicht für unendlich dimensionale Banachräume.
Satz 8.1.20 (Bolzano-Weierstraß)
Eine beschränkte Folge in Kn besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis. Diesen Beweis erhält man direkt aus dem Beweis von Satz 2.5.12.
Satz 8.1.21 (Heine-Borel)
Eine Menge in Kn ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Beweis. Der Beweis von Satz 4.1.14 kann wörtlich übertragen werden.
Bemerkung 8.1.22 (Kompaktheit, Beschränktheit, Norm)
Der Begriff der Kompaktheit im Kn hängt nicht von der Norm ab, denn
1. die offenen Mengen bezüglich verschiedener Normen sind die gleichen.
2. wie bereits bemerkt hängt der Begriff der Beschränktheit nicht von der
Wahl der Norm ab.
Ein weiterer wichtiger Begriff ist der Begriff des Zusammenhangs. Wir wollen
diesen nun definieren und dann ein paar einfache Konsequenzen herleiten.
Definition 8.1.23 (Zusammenhang)
Es sei (X, dX ) ein metrischer Raum. Eine Menge U ⊂ X heißt zusammenhängend, wenn es keine nichtleeren und offenen Mengen V, W ⊂ X gibt,
so dass V ∩U 6= ∅ =
6 W ∩U , (V ∩U )∩(W ∩U ) = ∅ und (U ∩V )∪(U ∩W ) = U
ist.
Satz 8.1.24 (Zwischenwertsatz)
Ist (X, dX ) ein metrischer Raum und U ⊂ X zusammenhängend, f : U → R
stetig, x, y ∈ U . Dann gibt es zu jedem w ∈ [f (x), f (y)] bzw. w ∈ [f (y), f (x)]
ein u ∈ U mit f (u) = w.