Lösungen
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Gunter Ochs Sommersemester 2015 Mathematik 2 für Informatik Hausaufgabenblatt 1 Lösungshinweise (ohne Garantie auf Felehrfreiheit) 1. Sei x= 3 1 , 2 y= 1 −1 3 und z= 0, 5 −2, 5 . 1 Berechnen Sie 4 0 , 5 x−z = 2, 5 3, 5 , 1 1 y 2 = (a) x+y = (b) √ √ kxk = 9 + 1 + 4 = 14 ≈ 3, 74, √ √ kyk = 11 ≈ 3, 32 und kzk = 7, 5 ≈ 2, 739, (c) 0, 5 −0, 5 1, 5 2x − 32 y + 3z = und 6 −4 2, 5 hx, yi = 3 − 1 + 6 = 8, hy, zi = 0, 5 + 2, 5 + 3 = 6, hx + z, yi = hx, yi + hz, yi = 8 + 6 = 14, und (mit Benutzung der Rechenregeln für das Skalarprodukt) −y, 2x − 31 z = −2 hx, yi + 31 hy, zi = −16 + 2 = −14. 3. (a) Zeigen Sie, dass die Vektoren 2 11 −14 , −2 5 −10 und −10 −5 −10 Kanten eines Würfels sind. Die Kanten eines Würfels müssen gleich lang sein und senkrecht aufeinander stehen, d. h. die Skalarprodukte müssen 0 ergeben. Dies ist für die gegebenen Vektoren nachzurechnen: 11 2 √ 2 √ −14 = 2 + 142 + 52 = −2 = 112 + 22 + 102 −10 5 −10 √ √ = −5 = 102 + 52 + 102 = 225 = 15 −10 sowie * + 2 11 −14 , −2 = 5 −10 * + 2 −10 = −14 , −5 5 −10 * + 11 −10 = −2 , −5 −10 −10 2 · 11 − 14 · (−2) + 5 · (−10) = 2 · (−10) − 14 · (−5) + 5 · (−10) = 11 · (−10) − 2 · (−5) − 10 · (−10) = 0. (b) Bestimmen Sie die Kantenlänge und das Volumen des Würfels aus (a). Die Kantenlänge ist 15 (= Länge der drei Vektoren, siehe (a)), das Volumen 153 = 3375. 2. Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarprodukt: (a) Für Vektoren (i) (ii) x, y ∈ Rn 2 gelten die binomischen Formeln 2 kx + yk = kxk + 2 hx, yi + kyk2 , kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx + y, xi + hx + y, yi = hx, xi + hy, xi + hx, yi + hy, yi = kxk2 + 2 hx, yi + kyk2 2 Dabei wurde die Eigenschaft hx, xi = kxk sowie die Kommutativität (Vertauschbarkeit der Reihenfolge) und die Bilinearität (hu, v + wi = hu, vi + hu, wi) des Skalarprodukts benutzt. 2 2 kx − yk = kxk − 2 hx, yi + kyk2 , kx − yk2 = hx − y, x − yi = hx − y, xi + hx − y, −yi = hx, xi + h−y, xi + hx, −yi + h−y, −yi = hx, xi − hy, xi − hx, yi + hy, yi = kxk2 − 2 hx, yi + kyk2 (wie (i), zusätzlich mit der Regel, dass skalare Faktoren (hier −1) aus dem Skalarprodukt herausgezogen werden können) sowie die Parallelogrammgleichung (iii) kx + yk2 + kx − yk2 = 2 · (kxk2 + kyk2 ) Folgt aus (i) und (ii): 2 2 kx + yk + kx − yk = kxk2 + 2 hx, yi + kyk2 + kxk2 − 2 hx, yi + kyk2 = 2kxk2 + 2kyk2 (b) Stehen x und y senkrecht aufeinander, so sind x+y und x−y gleich lang. Hinweis: Folgt aus (i) und (ii) in Teil (a) Sind x+y und x−y gleich lang, so ist kx + yk2 = kx − yk2 . Mit (i) und (ii) gilt dann kxk2 + 2 hx, yi + kyk2 = kxk2 − 2 hx, yi + kyk2 ⇔ 2 hx, yi = −2 hx, yi ⇔ hx, yi = 0, d. h. x und y stehen senkrecht aufeinander. 4. Seien A = (1; −2; 2), B = (1; 2; 3) und C = (4; 2; 0) ∈ R3 . (a) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Gerade Mit dem Ortsvektor x=A g A und B an. v = B − A erhält durch und dem Richtungsvektor man die (nicht eindeutige) Parameterdarstellung ( g= (b) Liegt der Punkt ) 1 0 −2 + t · 4 2 1 (1; −6; 1) auf :t∈R = 1 0 −2 + R · 4 2 1 g? Dazu betrachtet man die Gleichung 1 0 −2 + t · 4 2 1 Es muss gelten (Betrachtung der 2. Komponente) Durch Einsetzen erhält man t = −1 1 −2 2 −1· erfüllt, d. h. der Punkt liegt auf (c) Berechnen Sie den Schnittpunkt von g = 1 −6 , 1 x1 , x3 Ebene. −2 + 4t = 0 ⇔ t = 21 . mit der 1 0 −2 + 1 · 4 2 2 1 C (d) Berechnen Sie den Abstand des Punktes = 1 0 2, 5 von der Geraden Ein Verbindungsvektor von v und damit zu g C zu g ist also ist die Gleichung mit g. Dazu muss die 2. Komponente Null sein: Der Schnittpunkt ist somit = 1 −6 . 1 −2 + 4t = −6 ⇔ 4t = −4 ⇔ t = −1. 0 4 1 y = B−C = y|| parallele Komponente g. −3 0 , 3 der in zum Richtungsvektor und eine senkrechte Komponente y⊥ zerlegt werden muss. Es ist 3 0 hy, vi ·v = 4 y|| = hv, vi 17 1 Der Abstand ist damit gleich ky⊥ k = 1 17 · und √ 512 + 122 + 482 = (e) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen 1 −51 y⊥ = y − y|| = −12 17 48 g und der Gerade h 5049 17 ≈ 4, 18. durch A und C. h hat den Richtungsvektor z = C−A = 3 4 . −2 √ Der Winkel α zwischen den Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren: cos α = hv, zi 14 √ ≈ 0, 63 ⇒ α ≈ 0, 889 =√ kvk · kzk 17 · 29 rad ≈ 50, 9o
