Lösung zu Aufgabe 4 (4. Übungsblatt) Wir definieren 〈x, y〉 := 1 4 (x

Lösung zu Aufgabe 4 (4. Übungsblatt)
Wir definieren
1
hx, yi := (kx + yk2 − kx − yk2 ), x, y ∈ V
4
und zeigen, dass dadurch ein Skalarprodukt auf V gegeben ist. (Dass damit hx, xi = kxk2 gilt für
alle x ∈ V , ist offensichtlich.)
h·, ·i ist positiv definit: hx, xi = kxk2 > 0 für x 6= 0.
h·, ·i ist symmetrisch:
1
1
kx + yk2 − kx − yk2 =
ky + xk2 − ky − xk2 = hy, xi.
hx, yi =
4
4
h·, ·i ist linear im 1. Argument:
Additivität: Für x1 , x2 , y ∈ V gilt
1
kx1 + x2 + yk2 − kx1 + (x2 − y)k2
hx1 + x2 , yi =
|
{z
}
4
1
Vor.
k(x1 + y) + x2 k2 + kx1 − (x2 − y)k2 −2kx1 k2 − 2kx2 − yk2
=
{z
}
4 |
Vor. 1
2kx1 + yk2 + 2kx2 k2 − 2kx1 k2 − 2kx2 − yk2
=
4
1
=
kx1 + yk2 + kx1 + yk2 − 2kx1 k2 − 2kyk2
{z
}
|
4
−kx1 −yk2
−kx − yk2 + 2kx2 k2 + 2kyk2 −kx2 − yk2
| 2
{z
}
kx2 +yk2
= hx1 , yi + hx2 , yi
Homogenität: Für n ∈ N gilt hnx, yi = nhx, yi (Rekursion). Für beliebige n, m ∈ N:
n
1
n
1 nm
n
x, yi = mh x, yi = h
x, yi = hx, yi.
m
m m
m m
m
Aus hx1 + x2 , yi = hx1 , yi + hx2 , yi folgt weiterhin
h
h0, yi = h0, yi + h0, yi ⇒ h0, yi = 0
und
0 = hx − x, yi = hx, yi + h−x, yi ⇒ h−x, yi = −hx, yi.
Daher gilt hcx, yi = chx, yi für alle c ∈ Q.
Sei nun c ∈ R. Dann gibt es eine Folge (ai ) rationaler Zahlen mit limi→∞ ai = c und es gilt
i→∞
kai x + yk − kcx + yk ≤ k(ai x + y) − (cx + y)k = |ai − c| kxk −−−→ 0 ,
also limi→∞ kai x + yk = kcx + yk. Ebenso erhält man limi→∞ kai x − yk = kcx − yk. Damit folgt:
1
2
2
kcx + yk − kcx − yk
hcx, yi =
4
1
2
2
= lim kai x + yk − kai x − yk
4 i→∞
1
= lim 4hai x, yi
4 i→∞
= lim ai hx, yi
i→∞
= chx, yi.
Also ist h·, ·i linear im 1. Argument und damit wegen der Symmetrie bilinear.