Blatt 1

Prof. Dr. W. Lempken
Universität Duisburg-Essen
Campus Essen
LINEARE ALGEBRA I
SS 2017
1. Übungsblatt
Abgabe : 24. - 28.04.17
Aufgabe 1
Es seien A, B und C Aussagen. Beweisen Sie mittels Wahrheitstafeln die folgenden Aussagen :
(1) ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B .
(2) (A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) .
(3) A ⇔ B = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) .
(4) A ⇔ B = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) .
Aufgabe 2
Beweisen Sie per Induktion die folgenden Identitäten, wobei n ∈ N .
(1)
n
P
x2 =
n(n+1)(2n+1)
6
.
x=1
(2)
n
P
)2 .
x3 = ( n(n+1)
2
x=1
Aufgabe 3
In der Vorlesung wurden vier unterschiedliche Beweisprinzipien vorgestellt: direkter Beweis, Beweis durch Kontraposition, indirekter Beweis und Beweis durch
vollständige Induktion. Beweisen Sie die folgende Aussage :
n ungerade ⇔ n2 ungerade,
für natürliche Zahlen n, indem Sie alle vier Prinzipien einmal anwenden!
Hinweis: Beweisen Sie etwa die Richtung n ungerade ⇒ n2 ungerade“ direkt und durch
”
vollständige Induktion und die Richtung n2 ungerade ⇒ n ungerade“ indirekt und durch Kon”
traposition (seien Sie trotz oder gerade wegen der Ähnlichkeit dieser beiden Beweise sehr präzise
in Ihren Ausführungen)!