WS 11/12 - Dependable Systems and Software

DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE
Fachrichtung 6.2 — Informatik
Christian Eisentraut, M.Sc.
3. Übungsblatt zum mathematischen Vorkurs (WS 11/12)
1
Mengen
Aufgabe 1.1 (Aufzählend schreiben)
Beispiel : {x | x ∈ Z} = {−2, 2}
a)
{x | x ∈ Z ∧ x2 < 40}
b)
{x | x ∈ Z ∧ x2 = 5}
c)
{x | ∃ n ∈ N : x = 2n ∧ x2 < 100}
Aufgabe 1.2 (Mengen bestimmen)
Gegeben seien die Teilmengen A,B,C und D, über der Grundmenge U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
a)
B = {4, 5, 6, 7}
C = {5, 6, 7, 8, 9}
D = {1, 3, 5, 7, 9}
Geben Sie die folgenden Mengen an:
i)
A∪B
ii)
A∪B
iii) A \ B
iv)
b)
(A ∪ B) ∩ (B ∪ D)
Schreiben Sie in beschreibender Form mit Hilfe von Prädikaten:
Beispiel : {4, 16, 36, 64, 100} = {x2 | ∃ n ∈ N : x = 2n ∧ x ≤ 10}
i)
{1, 2, 4, 5, 10, 20}
ii)
{−4, −2, 0, 2, 4, 6}
iii) {−1.0, 1.0}
iv)
{1, 2, 3, 5, 8, 13}
Aufgabe 1.3 (Wahr oder Falsch?)
Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:
a)
2 ∈ {x ∈ R | x < 2 ∨ x > 2}
b)
2 ∈ {x ∈ N | x ist eine Quadratzahl ∧ x ist Teiler von 30}
c)
2 ∈ {2, {2}}
d)
2 ∈ {{2}, {2}}
e)
2 ∈ {{{{{{2}}}}}
f)
{2} = {2, 2, 2}
g)
0 ∈ ∅
h)
∅ ∈ ∅
i)
∅ ∈ {∅}
j)
∅ ∈ {0}
k)
∅ ⊆ ∅
l)
∅ ⊂ ∅
m)
{∅} ⊆ ∅
n)
{{∅}} ⊂ {∅, {∅}}
o)
{{∅}} ∈
/ {∅, {∅}}
p)
|{3, 4, ∅, {∅}}| = 4
q)
|{∅}| > 0
r)
|N| ∈ N
s)
|{a, {a}, {a, {a}}}| = 4
t)
℘(∅) = ∅
u)
℘({1, 2}) = 4
v)
℘({a, b, c}) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}
w)
|℘(M )| > |M |
x)
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge
y)
∃ M : ℘(M ) = ∅
z)
∃ M : (℘(M ) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ∧ M ∈ ℘(M ))
Aufgabe 1.4 (Produktmengen)
Gegeben seien die Mengen: A = {1, 2, 3} B = {a} C = {1, a, c}
Überlegen Sie zuerst die Mächtigkeit der folgenden Produktmengen und schreiben Sie sie dann
aufzählend auf:
a)
A×A
b)
B ×C
c)
C ×C
d)
A×B ×C
e)
A × (B × C)
f)
(B × C) × (B × B)
Aufgabe 1.5
Sei A eine beliebige Menge.
Beweisen Sie: A × ∅ = ∅ = ∅ × A
Aufgabe 1.6
Sei U = N das Universum (die Grundmenge) für diese Aufgabe.
Weiterhin seien A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und B = {0, 2, 5, 7}
a)
A∪B
b)
A∩B
c)
A\B
d)
B \A
e)
A
f)
B
g)
A∪∅
h)
∅\A
i)
A⊕B
j)
U ⊕ (A \ B)
Aufgabe 1.7
Zeigen Sie:
(A \ C) ∩ (C \ B) = ∅
(A ⊕ B) ⊕ B = A
Aufgabe 1.8
Es seien die Mengen Ai = {1, 2, 3, . . . , i} für i = 1, 2, 3, . . . gegeben. Bestimmen Sie:
n
[
Ai =
i=1
n
\
Ai =
i=1
Aufgabe 1.9
Es seien die Mengen Ai = {k ∈ N | k ≥ i} für i ∈ N gegeben. Bestimmen Sie:
n
[
i=1
Ai =
n
\
i=1
Ai =
2
Beweisen
Hinweis: Geben Sie bei allen Beweisen stets an, welche Schlussregel, welchen Satz, oder welche Definition Sie anwenden, die ihnen erlaubt, einen bestimmten Beweisschritt auzuführen.
Sollten Sie irgendwo eine Schlussregeln anwenden wollen, die wir noch nicht in der Vorlesung
eingeführt haben, dann überzeugen Sie sich (und Ihren Tutor) zuerst von der Gültigkeit der
Schlussregel, durch Rückführung der Regel auf eine aussagenlogische Tautologie (vgl. Aufgabe 1).
Aufgabe 2.1 (Gültigkeit von modus tollens)
Zeigen Sie, dass p ∧ (¬q → ¬p) → q eine Tautologie ist,
a)
durch syntaktische Umformungen (Auflösen der Implikation, weiteres Ersetzen von Teiltermen durch logisch äquivalente Terme) bzw.
b)
mit Hilfe einer Wahrheitstafel (wenn Sie sich das wirklich antun möchten).
Aufgabe 2.2
Welche Schlussfolgerungsregeln begründen die Gültigkeit der folgenden Argumente:
a)
Saarbrücken ist eine Stadt und Saarbrücken liegt im Saarland. Deshalb ist Saarbrücken
eine Stadt.
b)
Saarbrücken ist eine Stadt. Deshalb ist Saarbrücken eine Stadt oder Saarbrücken ist ein
Dorf.
c)
Wenn ich gut aufpasse, dann verstehe ich die Vorlesung. Ich passe gut auf. Also verstehe
ich die Vorlesung.
d)
Wenn Klaus nicht übt, dann besteht er die Klausur nicht. Klaus hat die Klausur bestanden. Also hat Klaus geübt.
Aufgabe 2.3
Zeigen Sie, dass aus den Prämissen
•
„Wenn es nicht regnet oder es nicht neblig ist, dann findet das Autorennen statt und
der Veranstalter macht Gewinn.“
•
„Wenn das Autorennen stattfindet, wird der Siegespokal verliehen.“
•
„Der Siegespokal wird nicht verliehen.“
folgt: „Es hat geregnet.“
Aufgabe 2.4
Begründen Sie, wieso die folgenden (leider sehr beliebten) Argumente nicht gültig sind. Geben
Sie ein Gegenbeispiel für diese Argumente mit Aussagen in der Umgangssprache, oder in der
Mathematik, an.
a)
¬p ∧ (p → q) ⇒ ¬q
b)
q ∧ (p → q) ⇒ p
Aufgabe 2.5
Welche der folgenden Argumente sind gültig?
Anleitung:
Zeigen Sie ggf. die Gültigkeit mit Hilfe der Schlussregeln (formaler Beweis). Schreiben Sie
das Argument als logische Implikation auf und begründen Sie Ihre Entscheidung für ’nicht
gültig’ zusätzlich mit einer Wahrheitstafel oder mit Termumformungen, die zeigen, dass die
Implikation nicht gilt!
a)
b)
c)
p∧q
p∨q
q→s
q → (r ∨ s)
q → (r ∧ s)
s
¬r
¬p
p
s
s
d)
e)
¬p → t
q→s
r→q
¬(q ∨ t)
p
f)
q→t
p → (t → s)
p
q→s
p
s→r
r∨q
q → ¬p
p
Aufgabe 2.6
Prüfen Sie, ob die folgenden Argumente gültig sind. Geben Sie jeweils entweder die passenden
Schlussregeln an oder begründen Sie den logischen Fehler:
a)
Alle Studenten im Saal studieren Informatik. Der Student Maier sitzt hier im Saal. Also
studiert Maier Informatik.
b)
Alle Informatikstudenten besitzen einen Computer. Klaus besitzt einen Computer. Also
studiert Klaus Informatik.
c)
Alle Vögel mögen Körnerfutter. Mein Meerschweinchen ist kein Vogel. Also mag mein
Meerschweinchen keine Körner.
d)
Wenn n eine reelle Zahl ist mit n > 1 , dann ist n2 > 1.
Sei nun m2 > 1, deshalb ist m > 1.
e)
Wenn n eine reelle Zahl ist mit n > 3 , dann ist n2 > 9.
Sei m2 ≤ 9, dann ist m ≤ 3.
Aufgabe 2.7
Ist das folgende Argument schlüssig?
Wenn Superman dazu fähig und dazu gewillt wäre, dann würde er das Böse verhüten.
Wenn Superman unwillig wäre, das Böse zu verhüten, dann wäre er unfähig.
Wenn er unwillig wäre, das Böse zu verhüten, dann wäre er übel wollend.
Superman verhütet das Böse nicht.
Wenn es Superman gibt, dann ist er weder unfähig noch übel wollend.
Deshalb existiert Superman nicht!
Aufgabe 2.8
Definition 2.1
Eine ganze Zahl z heißt gerade, genau dann wenn es eine ganze Zahl k gibt mit z = 2k.
Eine ganze Zahl z heißt ungerade, genau dann wenn es eine ganze Zahl k gibt mit z = 2k + 1.
Schreiben Sie diese beiden Definitionen formalisiert auf. Beweisen Sie dann den folgenden
Satz:
„Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.“
Aufgabe 2.9
Überprüfen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Beweisen Sie die wahren Aussagen
und geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an:
a)
Jede Primzahl ist ungerade.
b)
Wenn eine Primzahl größer als 2 ist, dann ist sie ungerade.
c)
Wenn eine Primzahl ungerade ist, dann ist sie größer als 2.
d)
Wenn x und y ganze Zahlen sind mit x < y, dann gibt es eine ganze Zahl z mit x < z < y.
e)
Wenn x und y rationale Zahlen sind mit x < y, dann gibt es eine rationale Zahl z mit
x < z < y.
Satz 2.1 (Indirekter Beweis)
Beim indirekten Beweis wird die Negation der Behauptung als wahr angenommen und damit
ein Widerspruch abgeleitet:
i. ein Widerspruch zur Voraussetzung:
A ∧ ¬B → ¬A
ii. ein Widerspruch zur Annahme ¬B:
A ∧ ¬B → B
iii. ein Widerspruch wg. der Herltg. einer kontradikt. Aussage: A ∧ ¬B → C ∧ ¬C
in i):
A → B ⇔ A ∧ ¬B → ¬A
Wegen in ii): A → B ⇔ A ∧ ¬B → B
ist dann die Implikation bewiesen.
in iii): A → B ⇔ A ∧ ¬B → C ∧ ¬C
Aufgabe 2.10
Indirekter Beweis einer log. Implikation A → B durch Herleitung eines Widerspruches:
Beweisen Sie die folgenden Aussagen a) bis d) indirekt. Geben Sie jeweils an, um welche der
Beweisvarianten i) - iii) es sich dabei handelt:
a)
Es gibt nur eine positive reelle Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist.
b)
Ist das Quadrat einer ganzen Zahl gerade, dann ist auch die Zahl selbst gerade.
c)
Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist.
d)
Für natürliche Zahlen n gilt: Wenn n2 durch 3 teilbar ist, dann auch n selbst.
Aufgabe 2.11
Beweisen Sie durch geeignete Fallunterscheidungen:
a)
Wenn x und y reelle Zahlen sind, dann gilt max(x, y) + min(x, y) = x + y.
b)
Wenn x und y und z reelle Zahlen sind, dann gilt min(x, min(y, z)) = min(min(x, y), z).
Aufgabe 2.12
Beweisen Sie, dass das Quadrat einer geraden Zahl gerade ist:
a)
direkt
b)
durch Beweis der Kontraposition
c)
durch einen Widerspruchsbeweis
Aufgabe 2.13
Geben Sie zu den folgenden Aussagen die Kontrapositionen an. Beweisen Sie dann die Aussagen indirekt:
a)
Wenn n eine ganze Zahl ist und n3 + 5 ungerade ist, dann ist n gerade.
b)
Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
c)
Wenn x selbst keine rationale Zahl ist, dann ist auch
1
x
keine rationale Zahl.
Aufgabe 2.14
Zeigen Sie, dass wenigstens 10 von 64 ausgewählten Tagen im Jahr auf denselben Wochentag
fallen müssen.
Aufgabe 2.15
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a)
3x + 2 ist eine gerade natürliche Zahl.
b)
x + 5 ist eine ungerade natürliche Zahl.
c)
x2 ist eine gerade natürliche Zahl.
Aufgabe 2.16
Zeigen Sie, dass das Quadrat einer ganzen Zahl stets mit einer der Ziffern 0, 1, 4, 5, 6, 9 endet.
Aufgabe 2.17
Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n genau dann ungerade ist, wenn 5n + 6 ungerade ist.
Aufgabe 2.18
Schreiben Sie die Umkehrung der folgenden Aussage über ganze Zahlen x und y auf und
beweisen oder widerlegen Sie dann diese:
„Wenn x und y beide ungerade sind, dann ist x − y gerade.“
Aufgabe 2.19
Machen Sie sich (falls notwendig) nochmals kundig, wie rationale Zahlen und irrationale Zahlen voneinander unterschieden werden. Führen Sie dann für die folgenden Aussagen indirekte
Beweise:
a)
Wenn r eine rationale Zahl ist und x eine irrationale Zahl, dann ist die Summe r + x
eine irrationale Zahl.
b)
Wenn r eine von 0 verschiedene rationale Zahl ist und x eine irrationale Zahl ist, dann
ist das Produkt r · x eine irrationale Zahl.
c)
Wenn r und r + x beide rational sind, dann ist x rational.
Aufgabe 2.20
Beweisen Sie:
Sei x eine 4-stellige Zahl (z1 z2 z3 z4 ).Dann gilt:
„x ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Summe
ihrer Ziffern z1 + z2 + z3 + z4 durch 3 teilbar ist.“