Aufgaben Fibonacci

7. April 2006
Aufgaben Fibonacci-Folgen
Lösungen 7. April 2006
B. Werner
SoSe 06
Präsenzaufgaben:
Aufgabe P1: Eine spezielle Lucasfolge (Ln ) ist durch
Ln = Ln−1 + Ln−2 , L0 = 2, L1 = 1
definiert. Berechnen Sie die ersten 9 Lucaszahlen.
Finden Sie eine Beziehung zwischen Ln und Fn heraus!
Lösung:
Ln = 2Fn−1 + Fn
oder
Ln = Fn−1 + Fn+1 .
Zeige erstere mit vollständiger Induktion (die zweite folgt aus der ersten, wenn man Fn+1 =
Fn + Fn−1 verwendet):
a) n = 1: Es ist L1 = 1 und 2F0 + F1 = 1. Also gilt die Aussage für n = 1.
b) Angenommen, es gilt Ln = 2Fn−1 +Fn für ein n. Dann ist Ln+1 = 2Fn +Fn+1 zu zeigen. Nun
ist Ln+1 = Ln +Ln−1 . Nach Induktionsannahme gilt Ln = 2Fn−1 +Fn und1 Ln−1 = 2Fn−2 +Fn−1 ,
insgesamt also
Ln+1 = 2Fn−1 + Fn + 2Fn−2 + Fn−1 ,
nach Umgruppierung
Ln+1 = 2(Fn−1 + Fn−2 )
+ Fn + Fn−1 ,
so dass wegen der Fibonacci-Rekursion
Ln+1 = 2Fn + Fn+1 ,
was zu zeigen war.
Aufgabe P2: Zeigen Sie: zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind teilerfremd.
Lösung: Falls die Aussage falsch ist, gibt es ein Ausnahme-n“ und eine natürliche Zahl m > 1,
”
die Fn+1 und Fn teilt. Da Fn−1 = Fn+1 − Fn , teilt m dann auch Fn−1 . Da Fn−2 = Fn − Fn−1 ,
teilt m dann auch Fn−2 . Fährt man so fort, kommt man nach n Schritten zu der Aussage, dass
m auch F1 = 1 teilt. Widerspruch zu m > 1.
Aufgabe P3: Zeigen Sie: Jede dritte Fibonacci-Zahl ist gerade.
1
Man darf die Induktionsannahme auch für alle Zahlen, die kleiner als n sind, verwenden.
1
Abbildung 1: Goldenes Dreieck
Lösung: Die Summe von zwei (un)geraden Zahlen ist gerade, die Summe einer geraden und
einer ungeraden Zahl ist ungerade. Daher ist die Fibonacci-Folge aus der (un)geraden Sicht:
gerade, ungerade, ungerade, gerade, ungerade, ungerade,......
Alle drei Zahlen wiederholt sich die Abfolge gerade, ungerade, ungerade.
Präzise wird dies mit der Modulo-2-Rechnung gezeigt, s.u.
Aufgabe P4:
Welche Fibonacci-Zahlen sind durch 3 teilbar?
Lösung:
Setze fn := Fn mod 3. Dann können diese Restezahlen“ nur die Werte 0, 1 oder 2 annehmen.
”
(fn ): 0,1,1,2,0,2,2,1, 0,1,1,2,0,2,2,1, .... Alle 8 Zahlen wiederholt sich alles, aber jede vierte
Zahl ist durch 3 teilbar, da jedes vierte fn verschwindet.
Aufgabe P5:
Wenn man von einem Goldenen Rechteck (das Verhältnis der Kantenlängen ist eine GoldeneSchnitt-Zahl) ein Quadrat abtrennt, erhält man wieder ein Goldenes Rechteck.
= ab ? Nenne x := ab . Gefordert ist x + 1 = x1 . Positive Lösung
Lösung: Sei a < b. Wann ist b−a
a
ist die große Goldene Schnittzahl Φ.
Umgekehrt kann man zeigen: Wenn man einem Rechteck ein Quadrat mit der kleineren Kantenlänge abtrennt und man ein Restrechteck erhält, das dem Ausgangsrechteck ähnlich ist, handelt es sich um ein Goldenes Rechteck.
Wenn man einem Goldenen Rechteck über der längeren Kante ein Quadrat anfügt, erhält man
wieder ein Goldenes Rechteck.
Lösung: Wann ist a+b
= ab ?
b
Finden Sie heraus, was am Dreieck in Abb. 1 den Namen Golden“ verdient.
”
Es gibt also ein spitzes und ein stumpfes Goldenes Dreieck. Welche Winkel gehören zu diesen?
Lösung: Die Strecke DB untertelt dass große Dreieck genau dann in zwei gleichschenklige Dreiecke, wenn der Winkel γ bei C 36 Grad und die Basiswinkel 72 Grad sind. In diesem Fall sind
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das schraffierte und das Ausgangsdreieck ähnlich, daher ist ac = xc . Wegen der Gleichschenkligkeit des stumpfen Dreiecks ist a − x = c, bzw. a = x + c, woraus folgt, dass ac = Φ.
Man hat 2 Goldene Dreiecke, ein spitzes (Kathete/Basis = Φ) und ein stumpfes (Basis/Kathete
= Φ).
Umgekehrt kann man zeigen: Wenn man ein spitzes Goldenes Dreieck hat (und dieses allein
durch Kathete/Basis = Φ“ definiert), so hat dieses die oben angegebenen Winkel von 36 und
”
72 Grad.
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