Einf uhrung in die moderne Teilchenphysik ½. Das Standardmodell

Vorlesung 3/10, Augsburg, Sommersemester 1998
Einfuhrung in die moderne Teilchenphysik
Dr. Stefan Schael
Max-Planck Institut f
ur Physik
Werner Heisenberg Institut
Fohringer Ring 6
D-80805 Munchen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Das Standardmodell der Teilchenphysik
Teilchenbeschleuniger & Teilchendetektoren
Erhaltungssatze und Symmetrien
Die elektroschwache Wechselwirkung
Das Top Quark
Physik mit B-Hadronen
CP Verletzung
Das ATLAS Experiment
Neutrinos
Grenzen des Standardmodells
Literatur:
O. Nachtmann, \Elementarteilchenphysik", Vieweg.
F. Halzen, A.D. Martin, \Quarks & Leptons",
An Introductory Course in Modern Particle Physics,
John Wiley & Sons, Inc.
ftp:
afmp02.mppmu.mpg.de:/pub/stefan/augsburg ss98/
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1
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Einleitung
klassische Mechanik:
(
mv
)
p
1
E = 2 m v = 2m = 2m
2
2
Quantenmechanik:
@
E ) ih @t
~
p~ ) ih r
) ih @t@ (~x; t) = 2hm r~ (~x; t)
2
2
mit der Losung (ebene Wellen):
(~x; t) = A ei p~~x
(
Et)
Fur ein Teilchen im aueren Potential V (~
x) gilt:
E = 2pm + V (~x)
"
#
@ (~x; t) = h r
~ + V (~x) (~x; t)
ih @t
2m
@
ih @t (~x; t) = H^ (~x; t)
2
2
2
die Schrodinger Gleichung.
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2
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Zeitliche A nderungen von Operatoren
Fur den Mittelwert von F gilt:
Z
< F >= (~r; t)F^ (~r; t)d~r =< jF^ >
 nderung:
und damit fur die zeitliche A
Z "
@ F^
#
@t + @t F^ + F^ @@t d~r
^ = H^ y):
mit der Schrodinger Gleichung (H
@ = 1 H^ ; @ = 1 H^ @t ih
@t
ih
d < F >=
dt
folgt:
@ @ F^
Z
!
1
d < F >= ^ H^ H^ F^ ) d~r
+
(
F
dt
@t ih
Durch die Denition:
d < F >:= Z d
dF d~r
dt
dt
gilt:
d
dF dt
=
@ F^ + 1 [F^ ; H
^
]:
@t ih
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3
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d
dF dt
=
@ F^ + 1 [F^ ; H
^
]
@t ih
Hangt also der Operator F^ nicht explizit von der Zeit ab
^ vertauschbar, so
und ist F^ mit dem Hamiltonoperator H
andert sich der zeitliche Mittelwert von F^ in einem beliebigen
Zustand nicht.
Solche Groen sind Erhaltungsgroen.
Beispiel: Impuls
d
dp @ p^ + 1 [^p; H^ ]
=
dt
@t ih
= i1h (^pH^ H^ p^)
= i1h (^p( 2p^m + V (~x)) ( 2p^m + V (~x))^p)
~ gilt:
Da [^
p; p^] = 0 und p^ = ih r
d
dp = 1 (^pV (~x) V (~x)^p)
dt
ih
~ V (~x) + V (~x)ih r
~)
= i1h ( ih r
= r~ V (~x) + V (~x)r~
2
2
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d
dp 1 ( r~ V + V r~ )
=
dt
ih
r~ (V ) + V r~ = (r~ V ) V r~ + V r~ = ( r~ V )
d
dp ~ V (~x)
=
r
dt
Fur den Mittelwert gilt also:
d
dp
dt
= < p~ >=
d
dt
D
E
r~ V (~x) :
Die Ableitung des Mittelwertes des Impulses ist gleich dem
Mittelwert der Kraft.
Newton: F
= p_ = r~ V
Ehrenfest'sches Theorem:
Fur die Mittelwerte physikalischer Groen gelten die Gesetze
der klassischen Physik.
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Invarianzprinzipien und Erhaltunssatze
Es gibt zwei Arten von Transformationen:
Kontinuierliche, z.B. Translation in Raum und Zeit
Diskrete, z.b. Raumspiegelungen
Translation im Raum
mit p^ =
D^ (Æ~x)(~x) = (~x + Æ~x)
~ (~x)
= (~x) + Æ~xr
= (~x) + hi Æ~x p^(~x)
ih r.
Fur eine endliche Translation kann die TAYLOR-Entwicklung
nicht nach dem ersten Glied abgebrochen werden:
D^ (~x)(~x) =
)
1
X
n=0
1 i ~x p^n (~x)
n! h
D^ (~x) = ei~xp^=h
D^ ist ein unitarer Operator: D^ D^ = D^ D^ = 1.
1
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Wenn der Hamiltonoperator
Translationen ist gilt:
H^
unabhangig von raumlichen
^ H^ ] = 0 , [^p; H^ ] = 0
[D;
d.h. Der Impuls des Systems ist erhalten.
Translation in der Zeit
^T (Æt)(t) = (t + Æt) = (t) + Æt @ (t)
@t
= (t) hi Æt E^ (t)
mit E^ = ih
@=@t.
Fur eine endliche Translation kann die TAYLOR-Entwicklung
nicht nach dem ersten Glied abgebrochen werden:
T^ (t)(t) =
)
1
X
n=0
1 i t E^ n (t)
n! h
T^(t) = e
^ h
itE=
T^ ist ein unitarer Operator: T^ T^ = T^ T^ = 1.
^ unabhangig von
Wenn der Hamiltonoperator H
1
Translationen ist gilt:
zeitlichen
^ H^ ] = 0 , [E;
^ H^ ] = 0
[T;
d.h. Die Energie des Systems ist erhalten.
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Rotationen
^R(Æ)() = ( + Æ) = () + Æ @ ()
i
= () + h Æ J^z()
mit
@
@
@
@
Jz = ih x @y y @x = ih @
Kugelkoordinaten:
x = r sin cos ; y = r sin sin ; z = r cos Fur eine endliche Translation kann die TAYLOR-Entwicklung
nicht nach dem ersten Glied abgebrochen werden:
R^ ()() =
)
1
X
n=0
1 i J^zn ()
n! h
^R() = eiJ^ =h
z
R^ ist ein unitarer Operator: R^ R^ = R^ R^ = 1.
^ unabhangig von Rotationen
Wenn der Hamiltonoperator H
1
um die z-Achse ist gilt:
^ H^ ] = 0 , [J^z; H^ ] = 0
[R;
d.h. Die Drehimpulserhaltung bezuglich einer Achse enspricht
der Invarianz des Hamiltonoperators gegen Drehungen um
diese Achse.
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Symmertieuberlegungen fuhren zu Invarianzprinzipien und
Erhaltungssatzen.
Dies stellt die Grundlage fur viele Entwicklungen in der modernen Physik dar.
Die Forderung nach der Homogenitat von Raum und Zeit
D^ (~x)(~x) = (~x + ~x) ;
T^ (t)(t) = (t + t) ;
^ H^ ] = 0 , [^p; H^ ] = 0
[D;
^ H^ ] = 0 , [E;
^ H^ ] = 0
[T;
fuhren zur Impuls- und Energieerhaltung. Die Forderung nach
der Isotropie des Raumes
^ H^ ] = 0 , [J^z; H^ ] = 0
R^ ()() = ( +); [R;
fuhren zur Drehimpulserhaltung.
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Ladungserhaltung
~ und E~ konnen als Ableitungen von vektoriellen
Die Felder B
~ un ausgedruckt werden:
und skalaren Potentialen A
~B = r
~ A;
~ E~ = r
~ 1 @ A~
c @t
B~ und E~ sind Eichinvariant:
~
A~ ! A~ 0 = A~ + r
1
@
0
! = c @t
~ r
~ 0. ist eine beliebige Funktion: = (~x; t).
da r
~ der Wellengleichung:
Im Vakuum genugt A
~
@
A
1
~
r A c @t = 0
2
2
2
2
mit der Losung
A~ (~x; t) = A~ 0 ei(~k~x !t)
die der Ausbreitung freier masseloser Photonen entspricht.
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~B = r
~ A;
~ E~ = r
~ 1 @ A~
c @t
! 0 = + andert die Felder B~ und E~ nicht.
0
These: Ladungen sind nicht erhalten.
Dazu betrachten ein abgeschloenes System:
Energie fur die Erzeugung einer Ladung:
Fur die Bewegung der Ladung von ~a nach ~b:
Energie fur die Vernichtung einer Ladung:
Energiegewinn:
Kein physikalischer Prozess hangt von 0 ab
) W ist unabhangig von ) W1 = W2.
W
Q((~a) (~b))
W
Q((~a) (~b))
1
2
Dies wiederspricht der Energieerhaltung (Wigner 1949) !
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Vorlesung 3/10, Augsburg, Sommersemester 1998
Ein \einfaches" Beispiel zur Eichinvarianz:
Elektronwelle:
= ei p~~x Et = eipx
mit p = (E; p
~) und x = (t; ~x).
(
)
Wie andern sich die Observablen bei der Transformation:
! 0 = e i ?
1. Versuch: Schrodinger Gleichung:
) = p
E = 12 m v = (mv
2m 2m
@
~
p~ ) ih r
E ) ih @t
) ih @t@ (~x; t) = 2hm r~ (~x; t)
2
2
2
2
Dieser Ansatz ist nicht lorenzinvariant, da die Schrodinger
Gleichung nicht symmetrisch in Orts- und Zeitableitungen ist.
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2. Versuch: Klein-Gordan Gleichung:
E = p~ c + m c
@
~
p~ ) ih r
E ) ih @t
@
) h @t = ( h c r~ + m c )
"
#
@ r
~ +mc =0
, c1 @t
h
2
2
2 2
2
2 4
2 2
2
2 4
2
2
2
mit
und
2 2
2
2
2
h = c = 1
@ ;r
~ ); @ := ( @ ; r
~)
@ := ( @t
@t
@
) @@ = @t r~
2
2
2
fuhrt dies auf:
(@@ + m ) = 0
2
ist die Wellenfunktion fur ein Teilchen mit Spin 0, Elektronen sind Fermionen und haben Spin 1/2 und die Wellenfunktion:
(~x; t) = ((~x~x;; tt))
1
2
Die Losungen der Klein-Gordan Gleichung sind:
; = Aei p~~xEt
1 2
(
)
d.h. mit positiver und negativer Energie !
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3. Versuch: Dirac-Gleichung (1928):
Wir machen einen linearen Ansatz:
fi @ mg (x) = 0
dabei ist der Dirac-Spinor 0 1
1
B
C
2C
B
= @ 3 A
4
und ein Vierervektor von -Matrizen:
0
10
01
B
0 B
@0 0
0
0
1
00 0
0
000
00 i
B
B
@ 0 i0
i00
2
0
01
B
0C
C
B
;
A
@
0
1
1
i1
0C
C
0A ;
0
0
B
3 B
@
0 0 0 11
0 0 1 0C
C
0 1 0 0A
1 000
0 0 1 01
0 0 0 1C
C
1 0 0 0A
010 0
 berlegungen ist nur wichtig,
Fur unsere U
da die Dirac-Gleichung linear in den Ableitungen ist !
d.h. es genugt das Transformationsverhalten von
@ zu untersuchen.
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Ein \einfaches" Beispiel zur Eichinvarianz:
Elektronwelle:
= ei p~~x Et = eipx
mit p = (E; p
~) und x = (t; ~x).
(
)
Wie andern sich die Observablen bei der Transformation:
! 0 = e i ?
Dazu mussen wir betrachten:
@e i = e i@
d.h. die Dirac-Gleichung ist invariant, da @ = 0 !
Dies andert sich, wenn = (x).
@e i x = i@(x)e i x + e i x @
( )
( )
( )
d.h. die Dirac-Gleichung ist nicht invariant,
oder anschaulich da = (x) andert sich die Phasendierenz zwischen A und B und damit das Beugungsmuster.
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Die Elektronen sind geladen und wechselwirken uber ein elek~ ). Dies andert den
tromagnetisches Potential A = (; A
Elektronimpuls (siehe J.D. Jackson, \Elektrodynamik", S.685) :
p ! p + eA
oder fur die Operatoren:
) i@ ! i@ + eA
d.h.
@ ! @ ieA D
Was andert sich dadurch ?
h
= De
i(x)i + e i(x)D
De
i(x)
De
i(x) = @ e i(x) ieA e i(x)
= e i(x)i@(x) ieAe i(x)
= ie i(x) [@(x) + eA]
dies ist aber genau die Eichfreiheit der Maxwell-Gleichungen:
A ! A0 = A + e1 @(x)
d.h.
D e
i(x) =
e
i(x)D
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Damit wird die Dirac-Gleichung
i (@
i D
m (x) = 0
ieA) m (x) = 0
lokal Eichinvariant !
Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz der Wellenfunktion
erzwingt die Existenz eines langreichweitigen Vektorfeldes A
(das Photonfeld) und legt damit die Struktur der Quantenfeldtheorie der Elektrodynamik fest.
 berlegungen von Mollenstedt
Experimentell wurden diese U
bestatigt: G. Mollenstedt, W. Bayh, Phys. Blatter 1962, S.299
Spalt
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
Solenoid
Spule
Weg 1
Weg 2
Durch andern des Spulenstroms kann man die Phasendierenz
und damit das Interferenzmuster kontinuierlich verandern.
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Der Elektronstrahl wird durch einen metallisierten Quarzfaden, der sich auf negativem Potential bendet, in zwei
koharente Teilstrahlen aufgespaltet. Hinter dem ersten Quarzfaden wird eine Solenoidspule (14-18 m Durchmesser) angebracht, die aus Wolframdraht von 4 m Dicke gewickelt
ist.
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Die Familie der Eichtransformationen
U () = e
i
UU y = e ie
i
bildet eine unitare, abelsche Gruppe U (1).
1. unitar
+
2. abelsch
U ( )U ( ) = e
1
i1 e i2
2
=e
=1
i2 e i1
= U ( )U ( )
2
1
3. abgeschloen
U ( )U ( ) = U ( + )
1
2
1
2
4. neutrales Element
U (0) = e
i0
=1
5. inverses Element
U ()U ( ) = e ie
+
i
=1
6. Assoziativgesetz
U ( )[U ( )U ( )] = [U ( )U ( )]U ( )
1
2
3
1
2
3
Die Forderung von lokaler Eichinvarianz und die Wahl der
Eichtgruppe U (1) legen die Quantenelektrodynamik fest.
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Dieses Konzept lat sich verallgemeinern !
In der schachen Wechselwirkung: SU (2)
Dies ist die Gruppe aller unitaren
Determinante 1:
2 2 Matrizen U
mit
UU y = 1; detU = 1
Betrachten wir innitesimale Transformationen,
U = 1 i
dann foglt aus detU = 1 Spur = 0.
Es gibt genau drei linear unabhangige, hermitische
Matrizen mit Spur 0; z.B. die Pauli-Matrizen:
0 i
1 0
1
= 1 0 ; = i 0 ; = 0 1
1
0
2 2-
2
3
Man kann daher schreiben:
= 21 ( + + )
1
1
2
) U = 1 21 i~ ~
2
3
3
Fur einen endlichen \Drehwinkel" (~ = ~ =n) gilt:
n
~
~
1
=e
U = nlim
!1 1 2 i n
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1
2
~ ~
20
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Die Transformation
1 i~
0
= e 2 ~ stellt die Verallgemeinerung der Phasentransformation
0 = e i
dar. Es gibt zwei Unterschiede:
1. Die Gruppe SU (2) ist nicht abelsch
2. Es gibt drei Winkel: ~ = (1; 2; 3)
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21
Vorlesung 3/10, Augsburg, Sommersemester 1998
In der starken Wechselwirkung: SU (3)
Dies ist die Gruppe aller unitaren
Determinante 1:
3 3 Matrizen U
mit
UU y = 1; detU = 1
Es gibt genau acht linear unabhangige, hermitische 3 3Matrizen mit Spur 0; z.B. die Gell-Mann-Matrizen j .
Die Transformation
1 i P8
0
= e 2 j=1 jj stellt die Verallgemeinerung der Phasentransformation
0 = e i
dar. Es gibt zwei Unterschiede:
1. Die Gruppe SU (3) ist nicht abelsch
2. Es gibt acht Winkel j
Die Anzahl der linear unabhangigen Matrizen gibt die Anzahl
der Austauschbosonen vor.
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22
Vorlesung 3/10, Augsburg, Sommersemester 1998
Zusammenfassung
d
dF dt
=
@ F^ + 1 [F^ ; H
^
]
@t ih
Hangt also der Operator F^ nicht explizit von der Zeit ab
^ vertauschbar, so
und ist F^ mit dem Hamiltonoperator H
andert sich der zeitliche Mittelwert von F^ in einem beliebigen
Zustand nicht.
Solche Groen sind Erhaltungsgroen.
Symmertieuberlegungen fuhren zu Invarianzprinzipien und
Erhaltungssatzen.
Dies stellt die Grundlage fur viele Entwicklungen in der modernen Physik dar.
Die Forderung nach der Homogenitat von Raum und Zeit
D^ (~x)(~x) = (~x + ~x) ;
T^ (t)(t) = (t + t) ;
^ H^ ] = 0 , [^p; H^ ] = 0
[D;
^ H^ ] = 0 , [E;
^ H^ ] = 0
[T;
fuhren zur Impuls- und Energieerhaltung. Die Forderung nach
der Isotropie des Raumes
^ H^ ] = 0 , [J^z; H^ ] = 0
R^ ()() = ( +); [R;
fuhren zur Drehimpulserhaltung.
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23
Vorlesung 3/10, Augsburg, Sommersemester 1998
Das grundlegende Prinzip der modernen Teilchenphysik ist
die lokale Eichinvarianz:
0 = e
i(x)
Die Eichgruppen des Standardmodells sind:
U (1) SU (2)
SU (3)
fur die elektroschwache Wechselwirkung,
fur die starke Wechselwirkung.
Die Gruppenstruktur legt die Wechselwirkungen zwischen
Teilchen und Feldern fest.
Wie wissen bis heute nicht warum gerade diese Eichgruppen die Natur beschreiben.
Fur diese Theorie haben Sheldon Glashow, Abdus Salam
und Steven Weinberg 1979 den Physik Nobelpreis erhalten.
Die experimentellen Test der letzten 10 Jahre werden der
Gegenstand der nachsten Vorlesungen sein.
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