Algebraische Topologie (WS 14) - math.uni

Algebraische Topologie (WS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
7.1.2015
Bernhard Hanke
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Singuläre Komologie
Es sei G eine abelsche Gruppe und
Hom(−, G ) : Ab → Ab
der kontravariante Funktor mit
Hom(A, G ) = abelsche Gruppe der Gruppenhomomorphismen A → G
Hom(f , G ) : Hom(B, G ) → Hom(A, G ) ,
φ 7→ φ ◦ f .
Angewandt auf den Singulären Kettenkomplex C∗ (X ) eine topologischen
Raumes erhalten wir den singulären Kokettenkomplex mit Koeffizienten in
G (C ∗ (X , G ), δ) mit
C n (X ; G ) := Hom(Cn (X ), G ) ,
δ n := Hom(∂n , G ) .
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Singuläre Komologie
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Cn (X ) frei über der Menge der singulären n-Simplizes ∆n (X ) in X
⇒ C n (X ; G ) besteht genau aus den Mengenabbildungen ∆n (X ) → G ,
genannt n-Koketten.
Man definiert:
ker(δ n ) : Gruppe der n-Kozykeln,
imδ n−1 : Gruppe der n-Koränder,
und die n-te singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in G :
H n (X ; G ) := ker δ n /imδ n−1
H ∗ (−; G ) ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der
topologischen Räume in die Kategorie der N-graduierten abelschen
Gruppen.
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Singuläre Komologie
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Ist A ⊂ X so definieren wir analog den relativen Kokettenkomplex
C ∗ (X , A; G ) := Hom(C∗ (X , A); G )
und erhalten die relative Kohomologie H ∗ (X , A; G ).
Die Gruppe Cn (X , A; G ) besteht aus Mengenabbildungen ∆n (X ) → G , die
alle Simplizes, die ganz in A liegen, auf 0 abbilden.
Ist f : (X , A) → (Y , B) eine stetige Abbildungn von Raumpaaren, so sei
f ∗ : H n (Y , B; G ) → H n (X , A; G )
die induzierte Abbildung.
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Singuläre Komologie
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Lemma
Es sei 0 → A → B → C → 0 eine kurze exakte Sequenz von abelschen
Gruppen. Dann ist
0 → Hom(C , G ) → Hom(B, G ) → Hom(A, G )
ebenfalls exakt.
Lemma
i
Es sei 0 → A → B → C → 0 eine spaltende kurze exakte Sequenz. Dann
ist
0 → Hom(C , G ) → Hom(B, G ) → Hom(A, G ) → 0
wieder spaltend exakt.
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Singuläre Komologie
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Ist X ein topologischer Raum und A ⊂ X , dann spaltet
0 → Cn (A) → Cn (X ) → Cn (X , A) → 0 .
Somit ist auch
0 → C n (X , A; G ) → C n (X ; G ) → C n (A; G ) → 0
exakt.
Die kurze exakte Sequenz 0 → C ∗ (X , A; G ) → C ∗ (X ; G ) → C ∗ (A; G ) → 0
von Kokettenkomplexen induzierte lange exakte Sequenz
δ
. . . → H n (X , A; G ) → H n (X ; G ) → H n (A; G ) →
− H n+1 (X , A; G ) → . . .
mit einem Verbindungshomormorphismus δ.
Diese exakte Sequenz ist natürlich bezüglich stetiger Abbildungen von
Raumpaaren (X , A) → (Y , B).
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Singuläre Komologie
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Proposition
Sind f , g : X → Y homotop, so gilt
f ∗ = g ∗ : H ∗ (Y ; G ) → H ∗ (X ; G ).
Analoges gilt für homotope Abbildungen zwischen Raumpaaren.
Proposition
Es sei X ein topologischer Raum, A ⊂ X und U ⊂ A eine Teilmenge mit
U ⊂ int(A) dann induziert die Inklusion (X − U, A − U) → (X , A) einen
Isomorphismus
H ∗ (X , A; G ) → H ∗ (X − U, A − U; G ) .
H ∗ (−; G ) definiert eine Kohomologietheorie im Sinne von Eilenberg und
Steenrod.
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Beispiel
X = {P}. Der singuläre Kokettenkomplex mit Koeffizienten in Z hat die
Gestalt
0
id
Z → Z → Z → ...
Somit ist H n (X ; Z) = Z, falls n = 0 und 0 sonst.
Die reduzierte Kohomologie H̃ n (X ; G ) von X erhält man durch
Anwendung von Hom(−; G ) auf
. . . → C1 (X ) → C0 (X ) → Z → 0
und abschließende Berechnung der Kohomologie.
Ist (X , A) ein Raumpaar, so setzen wir H̃ n (X , A; G ) = H n (X , A; G ).
Es gibt ebenfalls eine lange exakte Sequenz in reduzierter Kohomologie,
natürlich unter Abbildungen zwischen Raumpaaren.
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