Grundlagen der Ionenoptik

I. Grundlagen der Ionenoptik
Jürgen Struckmeier, GSI
mit einigen Bildern von:
Gerald Dugan, USPAS
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Definition Ionenstrahl
Ionenstrahlen:
gerichtete Bewegung geladener Teilchen
vz >> vx, vy
i. a. eine Teilchensorte (Masse, Ladung)
Wechselwirkung:
Elektromagnetische Wechselwirkung,
Gravitation ist vernachlässigbar
Strahlführung:
Biegemagnete, Quadrupole, Multipole
Beschleunigung:
HF-Kavitäten
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Analogie: Lichtstrahlen
Brennpunkt
“ebene Welle”
von punktförmiger
Lichtquelle unendlich
weit entfernt
Dünne Linse: Ablenkwinkel proportional zum Abstand
von der Strahlachse
Licht von ausgedehnter Quelle
Astigmatismus
Ein Ionenstrahl verhält sich analog
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Eigenschaften Ionenstrahl
Ionenstrahl im Schwerpunktsystem betrachtet:
ungeordnete Bewegung der geladenen Teilchen
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
*E -4
*E -4
Projektionen des "Phasenraums"
6.0
x'
6.0
4.0
4.0
2.0
2.0
0.0
0.0
-2.0
-2.0
-4.0
-4.0
x
*E -1
-6.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
*E-1
6.0
Ortsraum:
Blick in
Strahlrichtung
-4.0
y
-6.0
4.0
4.0
2.0
2.0
0.0
0.0
-2.0
-2.0
-4.0
-4.0
x
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
y'
Geschwindigkeitsraum
x'
-6.0
6.0
-6.0
*E-1
6.0
*E-1
6.0
-6.0
y
-6.0
*E -4
-6.0
y'
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
*E-4
Die belegten "Flächen" in den (x,x')- und (y,y')-Ebenen sind
invariant im Falle von linearen Kräften
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Prinzip der Emittanzmessung
Schlitz
Gitter
d
h
Strahlachse
g
Ionenstrahl
a
Prinzip der Emittanzmessung:
Ein Schlitz wird in x- (y-) Richtung durch den Strahl gefahren.
Die Intensitätsverteilung an den Gitterstäben wird aufgenommen
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Ergebnis einer Emittanzmessung
Rohdaten einer Emittanzmessung : 3D „Gebirge“ der
Strahlintensität i(x,x′ )
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Allg. Beschleunigeranlage
Ionenquelle
Ringbeschleuniger
Linearbeschleuniger
Schematischer Aufbau einer Beschleunigeranlage
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Analytische Strahldynamik
Wir unterscheiden zwei grundlegende Fälle:
•
Die Strahldynamik wird im wesentlichen durch die
äußeren Felder bestimmt.
Î die Teilchen beeinflussen sich nicht.
•
Die Strahldynamik wird durch die Eigenfelder des
Strahls („Raumladung“) mitbestimmt.
Î kompliziertes Rückkopplungsproblem:
Felder ÍÎ Teilchendynamik
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Lorentzgleichung
Die Bewegung eines Teilchens im elektromagnetischen Feld
folgt der Lorentz Gleichung:
d
dt
p = e( E + v × B )
wobei p =mγ v den Teilchenimpuls, m die (invariante) Masse,
v die Teilchengeschwindigkeit und γ den Lorentzfaktor
bezeichnet:
γ =
1
1− v
2
c
2
E und B ergeben sich aus den Maxwell-Gleichungen.
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Koordinatensystem
Ionenoptik: Beschreibung der Teilchenbewegung bezüglich einer
Referenzbahn (Strahlachse, geschlossene Zentralbahn).
Wir definieren an jedem Punkt der Raumkurve das
„begleitende Dreibein“:
Tangente:
zwei Nachbarpunkte der Raumkurve
Hauptnormale: Ebene durch drei Nachbarpunkte, senkrecht zur
Tangente
Binormale:
senkrecht zu Tangente und Hauptnormale
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Frenet-Serret System (Dreibein)
b = t ×n
Referenzbahn
dt
n = − ρ (s)
ds
r0
dr0
t =
ds
s = Bogenlänge der Referenzbahn
Das Dreibein bildet ein Orthonormalsystem in Raum
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Frenet-Serret Formeln
Die Ableitungen der Vektoren des Dreibeins nach s sind:
dt
n
= −
ds
ρ (s)
dn
t
=
+ τ ( s )b
ds
ρ (s)
db
= −τ ( s ) n
ds
ρ(s) Krümmungsradius, τ(s) Torsion der Bahnkurve
Ableitung der Formeln: Übung
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Frenet-Serret System (Forts.)
Orts- und Geschwindigkeitsvektoren:
r (t ) = r0 (t ) + x ⋅ n + y ⋅ b
d r d r0
dn
db
v (t ) =
=
+ x⋅n + x
+ y ⋅b + y
dt
dt
dt
dt
d r0
dn
db
=s
+ x ⋅ n + sx
+ y ⋅ b + sy
ds
ds
ds
⎛
x⎞
= t s ⎜ 1 + ⎟ + n ( x − τ sy ) + b ( y + τ sx )
ρ⎠
⎝
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lorentzgleichung (Fortsetzung)
Vereinfachung für Beschleuniger (Ringe): die Referenzbahn
liegt in einer Ebene Î τ (s) = 0.
Die Komponenten der Lorentzgleichung vereinfachen zu:
⎛
d
d
d ⎡
x⎞ ⎤
p = m ( γ v ) = m ⎢γ x n + γ y b + γ s ⎜1 + ⎟ t ⎥
dt
dt
dt ⎣
⎝ ρ⎠ ⎦
⎡d ⎛ ⎛
⎡d
γ s 2 ⎛ x ⎞⎤
d
x ⎞ ⎞ γ sx ⎤
= m ⎢ (γ x ) −
⎥t
⎜1 + ⎟ ⎥ n + m ( γ y ) b + m ⎢ ⎜ γ s ⎜1 + ⎟ ⎟ +
ρ ⎝ ρ ⎠⎦
dt
⎢⎣ dt ⎝ ⎝ ρ ⎠ ⎠ ρ ⎥⎦
⎣ dt
E = E x n + E yb + Es t
⎡
⎡ ⎛ x⎞
⎤
⎛ x⎞ ⎤
v × B = ⎢ yBs − s ⎜1 + ⎟ By ⎥ n + ⎢s ⎜1 + ⎟ Bx − xBs ⎥ b + ⎡⎣ xBy − yBx ⎤⎦ t
⎝ ρ⎠ ⎦
⎣
⎣ ⎝ ρ⎠
⎦
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Lorentzgleichung (Fortsetzung)
Wir erhalten somit für die drei Einheitsvektoren n,b,t das
folgende gekoppelte System von Differentialgleichungen:
⎛
d
x⎞ ⎞
γ s 2 ⎛ x ⎞ e ⎛⎜
[γ x] = ⎜⎜1 + ⎟⎟ + ⎜ Ex + yBs − s ⎜⎜1 + ⎟⎟ By ⎟⎟
dt
ρ ⎝ ρ⎠ m⎝
⎝ ρ⎠ ⎠
⎛
d
e⎛
x⎞ ⎞
⎜
[γ y ] = ⎜ E y − xBs + s ⎜⎜1 + ⎟⎟ Bx ⎟⎟
dt
m⎝
⎝ ρ⎠ ⎠
γ sx e
d ⎡ ⎛
x ⎞⎤
⎜
⎟
+
=
−
+ (Es + xB y − yBx )
γ
s
1
⎢ ⎜
⎥
⎟
ρ m
dt ⎣ ⎝ ρ ⎠⎦
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lorentzgleichung (Fortsetzung)
Es ist zweckmäßig, diese Gleichungen mit der Bogenlänge
s entlang der Referenzbahn als unabhängiger Variabler
auszudrücken.
ds
dl
Referenzbahn
Teilchenbahn
dl dl
v d vd
v = = s = l′s ⇒ l′ = ,
=
dt ds
s dt l′ ds
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Lorentzgleichung (Fortsetzung)
v d ⎡ v ⎤ γ ⎛v⎞
γ x′⎥ = ⎜ ⎟
⎢
l′ ds ⎣ l′ ⎦ ρ ⎝ l′ ⎠
2
⎛ x⎞ e ⎛
v
v⎛ x⎞ ⎞
⎜⎜1+ ⎟⎟ + ⎜⎜ Ex + y′ Bs − ⎜⎜1+ ⎟⎟By ⎟⎟
l′
l′ ⎝ ρ ⎠ ⎠
⎝ ρ ⎠ m⎝
v d ⎡ v ⎤ e⎛
v
v⎛ x⎞ ⎞
γ y′⎥ = ⎜⎜ Ey − x′ Bs + ⎜⎜1+ ⎟⎟Bx ⎟⎟
⎢
l′ ds ⎣ l′ ⎦ m ⎝
l′
l′ ⎝ ρ ⎠ ⎠
2
⎡
⎤
′
⎛
⎞
v d v
x
v
v ⎞
γ x ⎛v⎞ e ⎛
′
′
⎜
⎟
⎜ ⎟ + ⎜ Es + x By − y Bx ⎟
⎢γ ⎜1+ ⎟⎥ = −
l′ ds ⎣ l′ ⎝ ρ ⎠⎦
l′
l′ ⎠
ρ ⎝ l′ ⎠ m ⎝
Wir teilen nun durch v / l‘ und setzen p = m γ v ein.
Dies liefert das endgültige System:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lorentzgleichung (Fortsetzung)
⎛
p
d ⎡ p⎤
p ⎛
x ⎞ l′
x⎞
⎜⎜1 + ⎟⎟ + E x + y′Bs − ⎜⎜1 + ⎟⎟ B y
x′′ + x′ ⎢ ⎥ =
el ′
ds ⎣ el ′ ⎦ eρl ′ ⎝ ρ ⎠ v
⎝ ρ⎠
⎛
p
d ⎡ p ⎤ l′
x⎞
y′′ + y′ ⎢ ⎥ = E y − x′Bs + ⎜⎜1 + ⎟⎟ Bx
el ′
ds ⎣ el ′ ⎦ v
⎝ ρ⎠
⎛
x⎞ d ⎡ p ⎤ p d ⎡x⎤
px′ l ′
⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎢ ⎥ +
=−
+ Es + x′B y − y′Bx
⎢
⎥
eρl ′ v
⎝ ρ ⎠ ds ⎣ el ′ ⎦ el ′ ds ⎣ ρ ⎦
Im allgemeinen: magnetische Fokussierung und Ablenkung
d ⎡ p⎤
pl ′′
E = 0 ⇒ v, p = const.,
=− 2
⎢
⎥
ds ⎣ l ′ ⎦
l′
v
l′ = =
s
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
2
⎛ x⎞
⎜⎜1 + ⎟⎟ + x′2 + y′2
⎝ ρ⎠
Lorentzgleichung (Fortsetzung)
eBs ⎛
x ⎞ eBy
l ′′ 1 ⎛
x⎞
x′′ − x′ = ⎜⎜1 + ⎟⎟ + y′l ′
− ⎜⎜1 + ⎟⎟l ′
p ⎝ ρ⎠ p
l′ ρ ⎝ ρ ⎠
eBs ⎛
l ′′
x ⎞ eBx
′
′
′
′
′
+ ⎜⎜1 + ⎟⎟l ′
y − y = −x l
l′
p ⎝ ρ⎠ p
eBy
⎛
eBx
x ⎞ l ′′ d ⎡ x ⎤ x′
⎜⎜1 + ⎟⎟ − ⎢ ⎥ = − x′l ′
+ y′l ′
p
p
⎝ ρ ⎠ l ′ ds ⎣ ρ ⎦ ρ
Häufig verwendet: „paraxiale Näherung“:
2
⎛
x⎞
x
x′ , y ′ << ⎜ 1 + ⎟ ⇒ l ′ ≈ 1 + , x′l ′′, y ′l ′′ ≈ 0
ρ⎠
ρ
⎝
2
2
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lorentzgleichung (Fortsetzung)
2
⎛
1 ⎛
x⎞
x ⎞ eB s ⎛
x ⎞ eB y
1 + ⎟ + y ′⎜ 1 + ⎟
x ′′ =
− ⎜1 + ⎟
⎜
ρ⎝
ρ⎠
ρ⎠ p
ρ⎠ p
⎝
⎝
2
⎛
x ⎞ eB s ⎛
x ⎞ eB x
y ′′ = − x ′⎜ 1 + ⎟
+ ⎜1 + ⎟
ρ⎠ p
ρ⎠ p
⎝
⎝
x
l′ = 1 +
ρ
Im folgenden werden diese Gleichungen und ihre Lösungen
für Quadrupole und Biegemagnete diskutiert.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Injektionssystem Heidelberg
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Synchrotron Heidelberg
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel 1: Quadrupol
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel 1: Quadrupol (Forts.)
y
NI
Integration path
S
N
Iron
R
x
S
N
Mit hyperbolischen Polschuhen im Abstand R von der
Strahlachse ergeben sich die magnetischen Flußdichten im
Inneren des Quadrupols:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel 1: Quadrupol (Forts.)
y
x
Bx = B0 , B y = B0 , Bs = 0
R
R
und somit die Bahngleichungen:
x′′ + km x = 0,
y′′ − km y = 0
eB0
B0
p
′
= B : Feldgradient, = B ρ : magn. Steifigkeit
,
km =
pR
R
e
B′ -2
[m ]
km =
Bρ
km liefert somit den Zusammenhang zwischen den
physikalischen Parametern und der geometrischen
Wirkung der Linse auf den gegebenen Strahl.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel 2: Biegemagnet
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel 2: Biegemagnet (Forts.)
y
Iron
NI
Integration path
S
G
x
N
Im vereinfachten Modell hat ein Biegemagnet im Inneren nur
ein homogenes Magnetfeld in y-Richtung:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel 2: Biegemagnet (Forts.)
Im vereinfachten Modell hat ein Biegemagnet im Inneren nur
ein homogenes Magnetfeld in y-Richtung:
B x = 0,
p0
B y = B0 =
,
eρ 0
Bs = 0
und somit die Bahngleichungen:
x′′ =
p0
−
,
ρ pρ0
1
y′′ = 0,
wenn
x
ρ
<< 1
Näherungen:
1
1
1
x
=
≈
− 2
ρ = ρ0 + x ⇒
ρ
ρ0 + x ρ0 ρ0
p0
p0
∆p
=
≈ 1−
p
p0 + ∆p
p0
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel 2: Biegemagnet (Forts.)
Die vereinfachte Bahngleichung des Biegemagneten ist also:
x ′′ +
x
ρ
2
0
1 ∆p
=
,
ρ 0 p0
y ′′ = 0
Zusammengefaßt mit der Quadrupolgleichung heißt dies:
⎛
1 ⎞
1 ∆p
x′′ + ⎜ km ( s ) + 2 ⎟ x =
ρ0 ( s) ⎠
ρ 0 ( s ) p0
⎝
y′′ − km ( s ) y = 0
Die Integration dieser Gleichungen liefert die wesentlichen
Aussagen über die Ringoptik.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngleichungen
Die Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe aus allgemeiner Lösung der
homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der
inhomogenen:
x( s ) = xβ ( s ) + xD ( s )
y( s) = yβ ( s)
Homogene Lösung (Index β ): Betatronbewegung.
Diese entsteht durch Ablage von der Referenzbahn.
Inhomogene Lösung (Index D): Dispersionsbahn. Diese
entsteht durch Abweichung vom Sollimpuls.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Die Bahngleichungen haben die allgemeine Form einer
linearen, inhomogenen Gleichung zweiter Ordnung:
d 2z
+ K ( s) z = F ( s)
2
ds
Lineare Dgl. zweiter Ordnung Î die allgemeine Lösung ist
eine Linearkombination zweier Fundamentallösungen.
1. Fundamentallösungen C,S der homogenen Gleichung:
z′′ ± K(s)z = 0, z = xβ , yβ
z(s) = C(s, s0 ) z(s0 ) + S(s, s0 ) z′(s0 ), C(s0, s0 ) = 1, S(s0, s0 ) = 0
z′(s) = C′(s, s0 )z(s0 ) + S′(s, s0 )z′(s0 ), C′(s0, s0 ) = 0, S′(s0, s0 ) =1
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
C und S heißen cosinus- und sinusartige Fundamentallösungen.
Sie erfüllen die Gleichungen:
C ′′( s, s0 ) + K ( s )C ( s, s0 ) = 0,
S ′′( s, s0 ) + K ( s ) S ( s, s0 ) = 0,
C ( s0 , s0 ) = 1, C ′( s0 , s0 ) = 0
S ( s0 , s0 ) = 0, S ′( s0 , s0 ) = 1
C und S haben die Eigenschaft:
C′′ + KC = 0 | (× S)
S′′ + KS = 0 | (×C)
d
′ + const.) = 0
C′′S − S′′C = − ( CS′ − CS
ds
⇒ CS ′ − C ′S = const. = 1
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
2. Wir gehen zurück zur inhomogenen Gleichung:
2
d z
+ K ( s) z = F ( s)
2
ds
Mit C als Lösung der homogenen Gleichung folgt:
z′′ + K(s) z = F(s) | (× C)
C′′ + K(s)C = 0 | (× z)
d
′ − Cz′ + z′(s0 )) = −CF(s)
C′′z − Cz′′ = ( Cz
ds
s
⇒ C′(s, s0 ) z(s) − C(s, s0 ) z′(s) + z′(s0 ) = −∫ C(t, s0 ) F (t)dt
s0
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
ebenso:
s
S′(s, s0 ) z(s) − S(s, s0 ) z′(s) − z(s0 ) = −∫ S(t, s0 ) F (t)dt
s0
Multiplikation der ersten Gleichung mit (-S) und der zweiten mit
C und anschließende Subtraktion liefert:
z ( s ) = C ( s, s0 ) z ( s0 ) + S ( s, s0 ) z ′( s0 ) +
s
s
s0
s0
S ( s, s0 ) ∫ C (t , s0 ) F (t ) dt − C ( s, s0 ) ∫ S (t , s0 ) F ( t ) dt
Dies ist die allgemeine Lösung der linearen, inhomogenen
Gleichung zweiter Ordnung. Anwendung auf unsere Gleichung:
F ( s) = δ
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
ρ ( s)
p
∆
, δ=
p0
Lösung der Bahngln. (Forts.)
x( s) = Cx ( s, s0 ) x( s0 ) + S x ( s, s0 ) x′( s0 ) + Dx ( s, s0 ) δ
mit der Dispersionsfunktion
s
s
C x (t , s0 )
S x (t , s0 )
Dx ( s, s0 ) = S x ( s, s0 ) ∫
dt − C x ( s, s0 ) ∫
dt
ρ (t )
ρ (t )
s0
s0
Die allgemeine Lösung der Bahngleichung für die y-Richtung
besteht nur aus der homogenen Lösung:
y ( s ) = C y ( s, s0 ) y ( s0 ) + S y ( s, s0 ) y ′( s0 )
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Es fehlt nun nur noch die Gleichung für die Bahnlänge.
Wir hatten in der „paraxialen Näherung“ (s.o.):
dl(s)
x(s)
=1+
ds
ρ (s)
und somit nach Integration:
λ ( s ) = l ( s ) − l ( s0 ) − ( s − s0 ) =
s
∫
s0
s
x (t )
dt
ρ (t )
s
s
C x ( t , s0 )
S x ( t , s0 )
D x ( t , s0 )
′
= x ( s0 ) ∫
dt + x ( s0 ) ∫
dt + δ ∫
dt
ρ (t )
ρ (t )
ρ (t )
s0
s0
s0
= M 51 ( s , s0 ) x ( s0 ) + M 52 ( s , s0 ) x ′( s0 ) + M 56 ( s , s0 ) δ
Diese Ergebnisse können als Matrixgleichung zusammengefaßt
werden:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
S x ( s, s0 )
0
0
⎛ x ( s ) ⎞ ⎛ C x ( s, s0 )
⎜ x′( s ) ⎟ ⎜ C ′ ( s, s )
′ ( s, s0 )
S
0
0
x
0
x
⎜
⎟ ⎜
⎜ y( s) ⎟ ⎜
0
0
C y ( s, s0 ) S y ( s, s0 )
⎜
⎟=⎜
0
0
C ′y ( s, s0 ) S ′y ( s, s0 )
⎜ y ′( s ) ⎟ ⎜
⎜ λ ( s ) ⎟ ⎜ M 51 ( s, s0 ) M 52 ( s, s0 )
0
0
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
δ
0
0
0
0
⎝
⎠ ⎝
0
0
0
0
1
0
Dx ( s, s0 ) ⎞ ⎛ x ( s0 ) ⎞
Dx′ ( s, s0 ) ⎟⎟ ⎜⎜ x′( s0 ) ⎟⎟
⎟ ⎜ y ( s0 ) ⎟
0
⎟⎜
⎟
′
0
⎟ ⎜ y ( s0 ) ⎟
M 56 ( s, s0 ) ⎟ ⎜ λ ( s0 ) ⎟
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
1
δ
⎠⎝
⎠
Diese Matrix wird als die Transfermatrix des Systems bezeichnet.
In vielen Fällen können wir uns auf Untermatrizen beschränken.
So gilt für δ = 0 :
⎛ x ( s0 ) ⎞
⎛ x ( s ) ⎞ ⎛ C x ( s, s0 ) S x ( s, s0 ) ⎞ ⎛ x ( s0 ) ⎞
⎜ x′( s ) ⎟ = ⎜ C ′ ( s, s ) S ′ ( s, s ) ⎟ ⎜ x′( s ) ⎟ = M( s, s0 ) ⎜ x′( s ) ⎟
⎝
⎠ ⎝ x
0
0 ⎠⎝
0 ⎠
0 ⎠
x
⎝
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Die Bahngleichungen sind ein inhomogenes System von
Differentialgleichungen mit s-abhängigen Koeffizienten
Î nur numerisch lösbar!
Vereinfachung: die Koeffizientenfunktionen werden
stückweise konstant gesetzt.
k2
m (s)
idealisierter Verlauf
s
realer Feldverlauf
Die Bahngleichungen können dann stückweise analytisch
gelöst werden.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Für
K x = km +
1
= const., s0 = 0, s = L
ρ
können wir die Bahngleichungen explizit integrieren:
2
C x′′ + K xC x = 0,
S x′′ + K x S x = 0,
C x (0,0) = 1, C x′ (0,0) = 0,
S x (0,0) = 0, S x′ (0,0) = 1,
(
)
⇒ C x ( L,0) = cos L K x ,
C ′′y − kC y = 0,
S ′′y − kS y = 0,
(
)
C y (0,0) = 1, C ′y (0,0) = 0,
S y (0,0) = 0, S ′y (0,0) = 1,
(
)
⇒ C y ( L,0) = cosh L k ,
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
S x ( L,0) =
1
sin L K x ,
Kx
(
1
sinh L k
S y ( L,0) =
k
)
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Dx ( L,0) =
(
1 − cos L K x
M 51 ( L,0) =
(
ρ Kx
sin L K x
ρ Kx
1
M 56 ( L,0) = 2
ρ Kx
),
),
Dx′ ( L,0) =
M 52 ( L,0) =
(
⎡
sin L K x
⎢L −
Kx
⎢
⎣
(
sin L K x
ρ Kx
(
),
1 − cos L K x
ρ Kx
),
) ⎤⎥
⎥
⎦
Wir betrachten uns nun die Transfermatrizen für eine reine
Driftstrecke, einen Quadrupol und einen Biegemagneten.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Reiner Sektordipol:
Sollbahnlänge LB , Ablenkwinkel φ =
ρ sin φ
⎛ cosφ
⎜
⎜ − 1 sin φ
cosφ
⎜ ρ
⎜
0
M(LB ,0) = ⎜ 0
⎜ 0
0
⎜
ρ (1 − cosφ )
⎜ sin φ
⎜ 0
0
⎝
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
LB
ρ , km → 0
0 ρ (1 − cosφ ) ⎞
⎟
0 0 0
sin φ ⎟
⎟
⎟
1 ρφ 0
0
⎟
⎟
0 1 0
0
⎟
0 0 1 ρ (φ − sin φ ) ⎟
⎟
0 0 0
1
⎠
0
0
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Reiner Quadrupol:
Länge LQ ,
1 → 0, φ = L k
Q
m
ρ
⎛
⎜ cos φ
⎜
⎜ − k sin φ
m
⎜
⎜
0
M ( LQ , 0) = ⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎜
0
⎜
0
⎝
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
1
sin φ
km
0
0
cos φ
0
0
0
cosh φ
1
sinh φ
km
0
k m sinh φ
cosh φ
0
0
0
0
0
0
⎞
0 0⎟
⎟
0 0⎟
⎟
⎟
0 0⎟
⎟
0 0⎟
⎟
1 0⎟
⎟
0 1⎠
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Driftstrecke der Länge LD ÍÎ Quadrupol mit: km → 0
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
M ( L D , 0) = ⎜
⎜0
⎜0
⎜⎜
⎝0
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
LD
0
0
0
1
0
0
1
0
LD
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
0⎟
0⎟
⎟⎟
1⎠
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Dünne Linse ÍÎ Quadrupol mit: LQ → 0
0
⎛ 1
⎜ 1
⎜− f 1
⎜ 0
0
M DL (0, 0) = ⎜
0
⎜ 0
⎜
0
⎜ 0
⎜ 0
0
⎝
Brennweite f = 1
k m LQ
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
f
1
0
0
0
0
0
1
0
LQ
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
0⎟
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
Lösung der Bahngln. (Forts.)
Verkettung von Transfermatrizen:
z(s) = ( x(s), x ′(s), y(s), y′(s), λ (s), δ )
T
z1 = M 1 (s1 , 0) z 0
z 2 = M 2 (s 2 ,s1 ) z1
= M 2 (s 2 ,s1 ) M 1 (s1 , 0) z 0
= M 2 (s 2 − s1 , 0) M 1 (s1 , 0) z 0 = M 2 (L 2 , 0) M 1 (L1 , 0) z 0
z 3 = M 3 (s 3 ,s 2 ) z 2
= M 3 (L 3 , 0) M 2 (L 2 , 0) M 1 (L1 , 0) z 0
= M(s 3 , 0) z 0
M(s 3 , 0) = M 3 (L 3 , 0) M 2 (L 2 , 0) M 1 (L1 , 0)
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Ellipsentransformation
Ist die Transformation eines Einzelteilchens (x,x′ ) bekannt, so
wissen wir sofort die Transformation aller Teilchen innerhalb
einer Ellipse Î Ellipsentransformation.
β ( s ) x′2 + 2α ( s ) xx′ + γ ( s ) x 2 = ε , βγ − α 2 = 1
Maß für die
Emittanz
des Strahls
εγ
ε
β
εβ
A = πε
ε
γ
Strahlenveloppe
α : x,x′-Korrelation
α = 0 ÍÎ Ellipse auf Hauptachsen
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Ellipsentransformation (Forts.)
beta(m)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.2
0.1
z
z
0.2
z
0.3
z
0.6
0.4
z
0.8
z’
z’
z’
z’
z’
z’
0.4
z’
s(m)
1
z’
z’
0.5
z z
z
0.6
z
0.7
z
0.8
z
0.9
1.
Zusammenhang zwischen Verlauf der Strahlenveloppe und
Lage der Phasenraumellipse entlang einer Driftstrecke
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Ellipsentransformation (Forts.)
Die Ellipsengleichung kann äquivalent geschrieben werden als:
⎛γ ε
( x , x ′) ⎜
⎝α ε
α ε ⎞⎛ x ⎞
T −1
x
S x =1
=
1
⇔
⎟
⎜
⎟
β ε ⎠ ⎝ x′ ⎠
mit S als der Strahlmatrix:
⎛ εβ
S =⎜
⎝ −εα
−εα ⎞
2
, det S = ε ⇒ A = π det S
⎟
εγ ⎠
Einzelteilchentransformation durch Transfermatrix M :
⎛ x1 ⎞ ⎛ m11 m12 ⎞ ⎛ x0 ⎞
−1
=
⇔
=
⇔
=
x
M
x
x
M
x1
1
0
0
⎜ x′ ⎟ ⎜ m m ⎟ ⎜ x′ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 21 22 ⎠⎝ 0 ⎠
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Ellipsentransformation (Forts.)
Einsetzen in Ellipsengleichung:
−1
0
0
x S x = 1,
T
0
liefert:
−1
x0 = M x1
−1
−1
M
x
S
M
( 1 ) 0 x1 = 1
−1
T
1
x
T
(M ) S M
x ( MS M )
T −1
T
1
−1
0
−1
T −1
0
x1 = 1,
(M )
T −1
= (M
x1 = 1
und somit schließlich:
x1T S1−1 x1 = 1,
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
mit S1 = M S 0 M T
)
−1 T
Ellipsentransformation (Forts.)
Erhaltung der Ellipsenfläche wenn die Transfermatrizen die
Determinante Eins haben:
T
⎡
det M ⎣ = det M ⎤⎦ = 1 ⇔ det S1 = det S0
Dies ist immer der Fall in unserer linearen Näherung.
Wichtig: formal gleiche Transformation für 4D und 6D
Ellipsoide mit S als 4x4 bzw. 6x6 Strahlmatrix:
z = ( x, x′, y, y′, λ, δ )
z T S0−1 z = 1, z T S1−1 z = 1,
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
T
T
S
M
S
M
mit 1 =
0
Theorie der starken Fokussierung
Starke Fokussierung:
• Strahloptik mittels Fokussierung durch Quadrupole.
• Lokal ist der Strahl immer instabil, Stabilität wird nur durch
wechselnde Gradienten gewährleistet (alternating gradient
(AG) focusing).
• Hierzu muß die Fokussierungsstruktur periodisch sein
(Ringe! I.a. haben Synchrotrons und Speicherringe auch
noch periodische Substrukturen.
Sei M die Gesamttransfermatrix für eine Strukturperiode:
⎛ m11
M =⎜
⎝ m21
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
m12 ⎞
, det M = 1
⎟
m22 ⎠
Starke Fokussierung (Forts.)
Frage: welche Ellipse wird durch eine Strukturperiode in sich
selbst überführt?
ÎDiese Ellipse kann dann durch unendlich viele
Wiederholungen dieser Strukturperiode transformiert werden.
ÎExistiert eine solche Ellipse nicht, so ist Strahltransformation
über lange Strecken mit dieser Struktur nicht möglich.
Bedingung für die Abbildung einer Strahlmatrix S in sich selbst:
⎛ βe −αe ⎞
Se = M Se M , Se = ε ⎜
⎟
⎝ −αe γ e ⎠
T
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Starke Fokussierung (Forts.)
Ausführlich heißt das:
m112 β e − 2m11m12α e + m122 γ e = β e
− m11m21β e + ( m11m22 + m12 m21 ) α e − m12 m22γ e = α e
2
m21
β e − 2m21m22α e + m222 γ e = γ e
und somit als Eigenwertgleichung in Matrixform:
AYe = λYe
( A − λ I ) Ye = 0
⇔
mit I als der Einheitsmatrix und
⎛ βe ⎞
⎜ ⎟
Ye = ⎜ α e ⎟ ,
⎜γ ⎟
⎝ e⎠
⎛ m112
⎜
A = ⎜ − m11m21
2
⎜ m21
⎝
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
−2m11m12
m11m22 + m12 m21
−2m21m22
⎞
!
⎟
− m12 m22 ⎟ , λ = 1
2
⎟
m22
⎠
m122
Starke Fokussierung (Forts.)
Wir müssen also den Eigenvektor Y der Matrix A zum
Eigenwert λ=1 bestimmen (falls dieser Eigenwert existiert).
Eigenwerte ÍÎNullstellen des charakteristischen Polynoms
(
det ( A − λ I ) = 0, det M = 1
)
2
⎡
⇔ ( λ −1) λ + λ 2 − ( m11 + m22 ) ⎤ +1 = 0
⎣
⎦
Î λ=1 ist tatsächlich ein Eigenwert für alle Matrizen M. Der
2
zugehörige Eigenvektor folgt (nach einigen Rechnungen) als:
m12
⎛ βe ⎞
⎛
⎞
⎜ ⎟
⎜1
⎟
Ye = ⎜ α e ⎟ = c ⎜ 2 ( m11 − m22 ) ⎟ , c ∈
⎜γ ⎟
⎜
⎟
−
m
21
⎝ e⎠
⎝
⎠
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Starke Fokussierung (Forts.)
Die Variable c wird durch die Normierungsbedingung festgelegt
β eγ e − α e2 = 1, det M = 1
⇒
1
2
( m11 + m22 ) =
1−1 c
2
Î Ein reelles c – und damit eine reelle Eigenellipse –
existiert nur wenn:
−1 ≤ 1 c ≤1 ⇒
1
2
( m11 + m22 ) ≤1
Wir können oBdA definieren:
1 c = sin σ , 0 ≤ σ ≤ 2π
⇒
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
1
2
( m11 + m22 ) = 12 Sp M = cos σ
Starke Fokussierung (Forts.)
Hat dagegen die Transfermatrix M die Eigenschaft:
1
2
(m 11
+ m 22
)
>1
so existiert keine reelle Eigenellipse Î jeder Strahl, der durch
diese Struktur transformiert wird, geht nach und nach verloren.
Die endgültigen Parameter der Eigenellipse sind somit:
m12 sin σ
⎛ βe ⎞ ⎛
⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
Ye = ⎜ α e ⎟ = ⎜ 12 ( m11 − m22 ) sin σ ⎟ , cos σ = 12 Sp M
⎜γ ⎟ ⎜
⎟
−
m
sin
σ
21
⎝ e⎠ ⎝
⎠
Darstellung der Transfermatrix M durch die EEP:
⎛ cos σ + α e sin σ
M =⎜
⎝ −γ e sin σ
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
β e sin σ
⎞
⎟
cos σ − α e sin σ ⎠
Starke Fokussierung (Forts.)
Wir betrachten ein Einzelteilchen am Beginn der Periode auf
seiner Eigenellipse:
β x′ + 2α e x0 x0′ + γ x = ε , β eγ e − α = 1
2
e 0
2
e 0
2
e
A = πε
Dieses Teilchen wird nun durch eine Periode transformiert.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Starke Fokussierung (Forts.)
Am Beginn der folgenden Periode:
• ist die Eigenellipse identisch:
βe x1′2 + 2αe x1x1′ + γ e x12 = ε
• liegt das Teilchen wieder auf der Eigenellipse, aber um
einen Winkel verschoben.
Ap = 12 π σ =
A = πε
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Fläche des Ellipsensektors
Starke Fokussierung (Forts.)
Beweis über Parameterdarstellung der Ellipse:
0 ≤ φ ≤ 2π
x = ε γ e ( cosφ + αe sin φ )
x′ = − εγ e sin φ
Transformation des Punktes ( x0 , x0′ ) :
⎛ x1 ⎞ ⎛ cos σ + α e sin σ
⎜ ′⎟ = ⎜
⎝ x1 ⎠ ⎝ −γ e sin σ
β e sin σ
⎞ ⎛ ε γ e ( cos φ0 + α e sin φ0 ) ⎞
⎟
⎟ ⎜⎜
⎟
cos σ − α e sin σ ⎠
−
ε
γ
sin
φ
e
0
⎝
⎠
⎛ ε γ e ( cos φ1 + α e sin φ1 ) ⎞
⎟ , φ1 = φ0 + σ
=⎜
⎜
⎟
− ε γ e sin φ1
⎝
⎠
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Starke Fokussierung (Forts.)
Fläche des Ellipsensektors:
Ap = 12 ∫ ( x′dx − xdx′)
C
=
φ1
1
2
∫φ
0
=
ε
2
⎛ dx
dx′ ⎞
⎜ x′ − x ⎟ dφ
dφ ⎠
⎝ dφ
ε
(φ1 −φ0 ) = σ
2
Î Der Punkt bewegt sich entlang der Ellipse um den Winkel σ
seiner Parameterdarstellung (nicht des Polarwinkels!).
Î Daher die Bezeichnung „Phasenvorschub“ (tune).
Î In Ringen: Qx,y = σx,y/2π: Zahl der Schwingungen pro Umlauf.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel: period. Quadrupolkanal
GSI QUADRUPOLE CHANNEL , SIGMA-0=60 DEG., MATCHED
kv - 3259
1.0
0.8
x (cm)
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
y (cm)
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
4
5
6
Cells
7
8
9
10
11
Angepaßter Strahl im Quadrupolkanal, σ=60°
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
12
Beispiel: period. Quadrupolkanal
GSI QUADRUPOLE CHANNEL , SIGMA-0=60 DEG., MISMATCHED
kv - 3260
1.0
0.8
x (cm)
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
y (cm)
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
4
5
6
Cells
7
8
9
10
11
12
Fehlangepaßter Strahl im Quadrupolkanal, σ=60°
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
*$ -2
0.5
0.5
y'
x'
0.0
-1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
-1.5
*$ -2
-1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
ma , tz=
-0.5
0.80
-0.5
-1.5
, strom
0.0
1.5
y
100000
1.5
1.0
$ingang $l.
1.0
0.5
y'
y
0.5
0.0
0.0
-0.5
1
-0.5
-1.0
-1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
1.5
-1.0
-0.5
0.0
x'
0.5
1.0
*$-2
run 4573
tz= 100000
-1.0
KONT. FOKUSSIERUNG, SIGMA-NULL=60 GRAD, SIGMA=15 GRAD,SK-WB-VERT.,ODD
1.0
500
1.0
$l$m.
*$ -2
Beispiel: period. Quadrupolkanal
Nichtlinearer Effekt: „Halo“-Bildung bei Fehlanpassung
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Beispiel: ESR
ESR UMFANG = 10836 CM
kv - 3257
3.5
3.0
x (cm)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
y (cm)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0
1
Cells
Verlauf Enveloppe und Einzelteilchen im ESR
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Hillsche Differentialgleichung
Wir kehren nun zur Hillschen Differentialgleichung zurück und
untersuchen ihre Lösungen für beliebiges K(s):
1 ⎞ ⎛ z (s) ⎞
d ⎛ z (s) ⎞ ⎛ 0
⎜ ′ ⎟=⎜
⎟⎜ ′ ⎟
(
)
(
)
0
z
s
K
s
−
ds ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝ z (s) ⎠
Ihre Lösung wurde symbolisch durch das Fundamentalsystem:
d 2z
+ K (s) z = 0 ⇔
2
ds
⎛ C(s, s0 ) S (s, s0 ) ⎞
⎛ 1 0⎞
M(s, s0 ) = ⎜
, M(s0 , s0 ) = I = ⎜
, det M = 1
⎟
⎟
⎝ 0 1⎠
⎝ C′(s, s0 ) S′(s, s0 ) ⎠
bezeichnet. Wir untersuchen nun die Eigenschaften von C und S.
Hierzu definieren wir den Lösungsansatz:
C ( s, s0 ) = w( s )eiψ ( s ) , S ( s, s0 ) = w( s )e − iψ ( s )
Îw(s) : Amplitude, ψ(s) : Phase. Einsetzen ergibt:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Hillsche Gleichung (Forts.)
C ′′ = ⎡⎣ w′′ − wψ ′2 + i ( 2 w′ψ ′ + wψ ′′ ) ⎤⎦ eiψ , S ′′ = ⎡⎣ w′′ − wψ ′2 − i ( 2 w′ψ ′ + wψ ′′ ) ⎤⎦ e − iψ
Die allgemeine Lösung der Hillschen Gleichung ist dann:
z ( s ) = a C ( s, s0 ) + b S ( s, s0 ), a, b ∈ , const.
d.h., ausführlich:
( w′′ − wψ ′
2
+ Kw )( aeiψ + be − iψ ) + i ( 2 w′ψ ′ + wψ ′′ ) ( aeiψ − be − iψ ) = 0
≠ 0 im allgemeinen
≠ 0 im allgemeinen
Damit diese Bedingung allgemein erfüllt wird, muß also gelten:
(a) : w ′′ − wψ ′ 2 + K w = 0, (b) : 2 w ′ψ ′ + wψ ′′ = 0
Aus (b) folgt unmittelbar:
s
d 2
dt
′
2ww′ψ ′ + w2ψ ′′ = 0 ⇒
ψ
0
ψ
(
,
)
=
⇒
=
w
s
s
(
)
0
∫s w2 (t )
ds
0
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Hillsche Gleichung (Forts.)
Aus (a) folgt mit dem Ergebnis für (b) die nichtlineare Dgl.:
w ′′ + K ( s ) w −
1
= 0
3
w
Die Transfermatrix M(s1,s0)
⎛ z1 ( s 0 )
⎛ z1 ( s1 ) z 2 ( s1 ) ⎞
= M ( s1 , s 0 ) ⎜
⎜ ′
⎟
⎝ z1 ( s1 ) z 2′ ( s1 ) ⎠
⎝ z1′ ( s 0 )
z 2 ( s0 ) ⎞
⎟
z 2′ ( s 0 ) ⎠
läßt sich nun durch die Lösungen z1,2(s1,0) wie folgt ausdrücken:
⎛ z1 (s1 ) z2 (s1 ) ⎞ ⎛ z2′ (s0 ) − z2 (s0 ) ⎞
, w1,2 = w(s1,2 ), ψ = ψ (s1 , s0 )
M(s1 , s0 ) = ⎜
⎜
⎟
⎟
⎝ z1′(s1 ) z2′ (s1 ) ⎠⎝ − z1′(s0 ) z1 (s0 ) ⎠
w1
⎛
′
w0 cosψ − w1w0 sinψ
= ⎜ 1+w w′ w w′
⎜ − w0 w0 1 1 sinψ − ww0′ − ww1′ cosψ
0 1
1
0
⎝
(
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
)
⎞
⎟
w0
⎟
′
w1 cosψ + w0 w1 sinψ ⎠
w1w2 sinψ
Hillsche Gleichung (Forts.)
Spezialfall w1=w0,w1′=w0′ , d.h. periodische Lösung mit Periodenlänge C:
⎛ cosψ − we we′ sinψ
⎞
we2 sinψ
M ( s0 + C , s0 ) = ⎜
⎜
⎝
−
1+ we2 we′2
we2
sinψ
⎟
cosψ + we we′ sinψ ⎟
⎠
Diese Transfermatrix kann nun verglichen werden mit ihrer
Darstellung durch die Eigenellipsenparameter:
⎛ cos σ + α e sin σ
M ( s0 + C , s0 ) = ⎜
⎝ −γ e sin σ
β e sin σ
⎞
⎟
cos σ − α e sin σ ⎠
Wir können somit identifizieren:
w2 (s) = β (s)
w ( s ) w ′( s ) = −α ( s ) = − 12 β ′( s )
1+ w 2 ( s ) w ′2 ( s )
w2 ( s )
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
= γ (s) =
1+ α 2 ( s )
β (s)
Hillsche Gleichung (Forts.)
Die Dgl. Für die Amplitude w(s) kann also auch durch die
Ellipsenfunktion β(s) ausgedrückt werden:
1
2
β β ′′ −
1
4
β ′2 + K ( s ) β
2
=1
oder auch durch die Enveloppenfunktion X(s) :
X ′′ + K ( s ) X −
ε2
X
3
= 0,
X ( s ) = εβ ( s ) = ε w( s )
Diese Form der Beschreibung der Strahlenveloppe wird
immer benötigt, wenn K(s) nicht als stückweise konstant
gesetzt werden kann.
Î Erforderlich z.B. wenn Raumladungskräfte nicht
vernachlässigbar (Hochstrom-Strahldynamik).
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Statistische Enveloppengleichung
Einzelteilchen-Bewegungsgleichung:
xi′′ + K ( s ) xi = 0, i = 1,… , N - Anzahl der Teilchen
ÎBewegungsgleichung für
d
xi2 = ∑ 2 xi xi′,
∑
ds i
i
d2
ds 2
⇒
x=
1
N
∑ (x − x)
N
i =1
i
2
, x=
1
N
∑
N
x
i =1 i
d
xi xi′ = − K ( s ) ∑ xi2 + ∑ xi′2
∑
ds i
i
i
2
2
2
′
2
(
)
2
+
−
x
K
s
x
x
∑i
∑ i ∑ i =0
i
i
2
ε rms
d 2x
+ K ( s) x − 3 = 0
2
ds
x
i
Gleiche Form wie Enveloppengleichung für X(s) mit ε!
Das Quadrat der rms-Emittanz εrms ist hierin definiert durch:
2
N
N
N
⎡
2
1 ⎛
⎞⎤ 1 N N
2
2 ⎞⎛
2⎞ ⎛
εrms = 2 ⎢⎜ ∑xi ⎟⎜ ∑xi′ ⎟ − ⎜ ∑xi xi′ ⎟ ⎥ = 2 ∑∑( xi x′j − xj xi′)
N ⎢⎣⎝ i=1 ⎠⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1
⎠ ⎥⎦ 2N i=1 j=1
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Statistische Enveloppengl. (Forts.)
Für die lineare Bewegungsgleichung xi′′ + K ( s ) xi = 0
ist εrms konstant:
d 2
ε rms =
ds
=
1
N2
∑∑ ( x x′ − x x′ ) ( x′x′
i
i
K (s)
N2
j
j i
i
)
+ xi x′′j − x′j xi′ − x j xi′′
j
j
∑∑ ( x x′ − x x′ ) ( − x x
i
i
j
j i
i
j
j
)
+ x j xi = 0
Der Zusammenhang der Randgrößen X(s), ε mit den
statistischen Größen x~(s), εrms ist somit:
X ( s ) = a x( s ), ε = a ε rms
2
Der Faktor a hängt von der Verteilung der Punkte ab. So gilt
z.B. a = 2 für eine homogene Punktdichte in der Ebene (x,x′ ).
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
*$ -3
*$ -3
1.5
1.5
1.0
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.0
0.0
y'
1.5
x'
1.5
y'
x'
*$ -3
*$ -3
Statistische Enveloppengl. (Forts.)
0.0
0.0
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
-1.0
-1.0
-1.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
-1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
-0.5
y
0.0
0.5
1.0
x
-1.0
*$ -3
-1.0
*$ -3
-1.5
0.0
0.5
1.0
y
1.5
1.5
1.0
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
y'
0.0
0.5
y
y'
0.5
y
-0.5
0.0
-0.5
0.0
-0.5
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
-1.0
-1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
-1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
x'
0.5
1.0
1.5
-1.0
*$-3
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
x'
Homogene (links) und inhomogene (rechts) Punktdichte in
den 2D-Projektionen der Phasenraumverteilung.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
1.0
1.5
*$-3
Teilchenbeschleunigung
Effektivste Art der Beschleunigung: Resonanzkavitäten:
r
y
B
φ
x
beam
s
R
E
L
Die Kavität wird im TM 010 -Modus betrieben:
longitudinales E-Feld, transversales B-Feld.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
IH-Kavität Heidelberg
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Teilchenbeschleunigung (Forts.)
Lösung der Maxwellgleichungen ergibt mit den erforderlichen
Randbedingungen:
E = B⊥ = 0
E0
Es (r , t ) = E0 J 0 (kr ) cos ωrf t , Bφ (r , t ) =
J1 (kr )sin ωrf t
c
t
E
L/v
Particle enters
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Particle exits
Teilchenbeschleunigung (Forts.)
Wir sehen: beim Durchlauf der Teilchen durch die Kavität
ändert sich das beschleunigende elektrische Feld.
Î Der Energiegewinn ∆E ist das Integral über das Feld:
+L/2
∆E = eE0
∫
sin (ωRFt + φs ) ds, s = vt = cβ t
−L/ 2
φs ist die Phasendifferenz des Sollteilchens zum Nulldurchgang.
ωRF L
2c β
∆E = eE0 L
sin
sin φs
2cβ
ωRF L
Mit T als Laufzeitfaktor (transit time factor) haben wir somit:
ωRF L
sin u
∆E = T ∆EDC sin φs , T =
,u =
, ∆EDC = eE0 L
2c β
u
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Teilchenbeschleunigung (Forts.)
Synchronteilchen: Teilchen, welches entsprechend seiner
Phasenlage so beschleunigt wird, daß es am Beginn der
folgenden HF-Kavität wieder die gleiche Phase hat.
Î Benachbarte Teilchen schwingen longitudinal um das
Sollteilchen: Synchrotronschwingung.
RF Cavities
b
a
1
2
n
.......
L
Synchronous particle
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
s
Teilchenbeschleunigung (Forts.)
Prinzip der Phasenstabilität:
Cavity 1
eVacc sin ωt
E
φs
a
b
ωt
Cavity 2
a
b
ωt
φs
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Teilchenbeschleunigung (Forts.)
Teilchen „a“ betritt die Kavität „1“ früher (t ist kleiner!) als das
Synchronteilchen Î es erfährt geringere Beschleunigung
Î es betritt Kavität „2“ später Î es erfährt stärkere
Beschleunigung Î es betritt die Kavität „3“ früher, usw.
Analog:
Teilchen „b“ betritt die Kavität „1“ später (t ist größer!) als das
Synchronteilchen Î es erfährt größere Beschleunigung
Î es betritt Kavität „2“ früher Î es erfährt geringere
Beschleunigung Î es betritt die Kavität „3“ später, usw.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Teilchenbeschleunigung (Forts.)
Synchronbedingung:
Um die Existenz eines Synchronteilchens zu ermöglichen muß
der Laufzeit T zwischen aufeinanderfolgenden Kavitäten einer
ganzen Zahl h von Schwingungen entsprechen:
T =h
2π
ω RF
D.h., für den Abstand der Kavitäten muß gelten:
2π c
L = β s c T = hβ s
= hβ s λ RF
ω RF
Da der Abstand L festliegt, muß die Frequenz ωRF synchron
mit βs ansteigen: Synchrotron.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Momentum compaction
In Ringen ist die Bahnlänge eines Umlaufs abhängig vom
Teilchenimpuls (s.o.):
xD ( s )
dl ( s )
, xD ( s ) = Dx ( s ) δ
= 1+
ds
ρ (s)
Integriert über den Ringumfang C heißt das:
s0 + C
∫ dl = C + ∆C = C + δ ⋅ ∫
C
1
∆C
= αC δ , αC =
C
C
s0
s0 + C
∫
s0
Dx ( s )
ds
ρ (s)
Dx ( s )
ds
ρ (s)
Der dimensionslose Koeffizient αC heißt momentum compaction
Faktor. Er beschreibt wie dicht Bahnen mit unterschiedlichen
Impulsen longitudinal „gepackt“ sind (Ringcharakteristikum !).
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Slip Faktor
Für die Umlaufszeit τ = C / cβ bedeutet das:
dτ dC d β
=
−
τ
C
β
= ⎛⎜ α C − 1 2 ⎞⎟ δ = ηC δ , ηC = α C − 1 2
γ ⎠
γ
⎝
Die charakteristische Ringgröße ηC heißt „Slip Faktor“. Sie
mißt den longitudinalen „Slip“ eines Teilchens als Funktion
seiner relativen Impulsabweichung. Die Energie, d.h. das γt, für
das ηC = 0 heißt „transition gamma“:
ηC = 0 ⇔
1
γ
2
t
= αC
⇒ ηC =
1
γ
2
t
−
1
γ2
In diesem Falle alle Teilen die gleiche Umlaufszeit, unabhängig
von ihrer relativen Impulsabweichung δ.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Long. Bewegungsgleichungen
Notation:
t s , Es ,n = Zeit und Energie des Synchronteilchens, Kavität n
tn , En = Zeit und Energie eines nicht-Synchronteilchens, Kavität n
∆En = En − Es ,n = Energiedifferenz zum Sollteilchen, Kavität n
Veff,n = effektive Beschleunigungsspannung der Kavität n
Energieänderung durch eine Kavität:
dEs,n
dEn ∆En
≅
= En+1 − En = eVeff ,n sin (ω RFtn ) ,
≅ eVeff,n sin (ω RFts )
dn
dn
∆n
d
( ∆En ) = eVeff,n ⎡⎣sin (ω RFtn ) − sin (ω RFts )⎤⎦
dn
Die Ersetzung der Differenzengleichung durch eine Differentialgleichung gilt nur für kleine relative Energieänderungen!
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Long. Bewegungsgl. (Forts.)
Tn , Ts ,n : Laufzeit von einer Kavität zur nächsten
tn +1 = tn + Tn − Ts ,n
∆tn
dt
tn +1 − tn =
= Tn − Ts ,n ≅
∆n
dn
Synchronous particle
Cavity n+1
tn
Tn
t
s
t
Ts,n
Ts,n
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
t
s
t n+1
Long. Bewegungsgl. (Forts.)
Wir drücken nun die Zeitdifferenzen durch Energiedifferenzen
aus:
dtn
dts
dts ts
Ts
≅
∆En =
∆En
dn dEs ,n
dEs ,n E s ,n Es ,n
dps ,n
dts
,
= ηC
ts
ps , n
dps ,n
ps , n
1 dEs ,n
= 2
β s , n Es , n
⇒
ηC
dts ts
= 2
dEs ,n E s ,n β s ,n
dtn ηCTs ,n
h λ RFηC
= 2
∆En =
∆En
2
dn β s ,n Es ,n
Es , n β s , n c
Der gekoppelte Satz von Bewegungsgleichungen ist somit:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Long. Bewegungsgl. (Forts.)
dt n
h λ RFη C
=
∆En
2
dn E s , n β s , n c
d
( ∆ E n ) = eVeff,n ⎡⎣ sin (ω RF t n ) − sin (ω RF t s ) ⎤⎦
dn
In kontinuierlicher Beschreibung ist dies äquivalent zu:
d 2π d
∆E
, W=
φ = ω RFtn , ω RF = h ωs ,
=
dn ωs dt
ωs
dφ h ωs2ηC
W
=
2
dt
Es β s
dW eVeff
=
( sin φ − sin φs )
dt
2π
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Long. Bewegungsgl. (Forts.)
Dieses System beschreibt die Energie-Phasen-Schwingungen
der Teilchen. Hierin sind nur φ und W schnell variierende
Größen, alle anderen ändern sich nur langsam.
Gleichung zweiter Ordnung aus den zwei Gln. erster Ordnung:
2
h
Ω 2s
ω
d 2φ
2
s ηC eVeff
cos φs
+
( sin φ − sin φs ) = 0, Ω s = −
2
2
dt
cos φs
2π Es β s
Für kleine Abweichungen von der Sollphase ergibt dies:
sin φ − sin φs
φ − φs
≈ 2sin
≈ φ − φs , ∆φ = φ − φs
cos φs
2
d2
2
∆
φ
+
Ω
s ∆φ = 0, Ωs = Frequenz der "Synchrotronschwingung"
2
dt
Î Dgl. des harmonischen Oszillators, analog zur transv. Bew.!
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Long. Bewegungsgl. (Forts.)
Mit dieser Näherung erhalten wir wieder eine explizite Lösung:
⎛ ∆φ ⎞ ⎛ cos Ω s t
⎜d
⎟ = ⎜⎜
⎝ dt ∆φ ⎠t ⎝ −Ω s sin Ω s t
sin Ω s t ⎞ ⎛ ∆φ ⎞
⎟⎟ ⎜ d
⎟
cos Ω s t ⎠ ⎝ dt ∆φ ⎠0
1
Ωs
Umgeschrieben in eine Transformation für ∆t,∆E ergibt dies:
⎛ ∆t ⎞ ⎛ cos Ω s t
⎜
⎟ = ⎜ − β −1 sin Ω t
⎝ ∆E ⎠t ⎝ L
s
β L sin Ω s t ⎞ ⎛ ∆t ⎞
⎟
cos Ω s t ⎠ ⎜⎝ ∆E ⎟⎠0
mit βL als der longitudinalen β - Funktion
ηC h
λRF
βL =
−
βs c
2π eVeff Es cos φs
Ganz analog zur transversalen Bewegung gibt es in der linearen
Näherung der longitudinalen Bewegung die Invariante:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Long. Bewegungsgl. (Forts.)
1
βL
( ∆tn ) + β L ( ∆En ) = ε L = const.
2
2
Dementsprechend heißt εL longitudinale Emittanz. Diese
Größe bleibt im Verlauf der Energie-Phasen-Schwingungen
der Teilen adiabatisch invariant.
∆E
(∆E )max =
εL
βL
∆t
(∆t )max = ε L β L
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Long. Bewegungsgl. (Forts.)
Wir kehren zurück zur nichtlinearen Analyse. Die Gleichung für
die Energie-Phasen-Schwingungen kann einmal analytisch
integriert werden ( Ω s ≈ const. ):
d 2φ Ω2s
+
( sin φ − sin φs ) = 0 | ⋅φ
2
dt cosφs
1
2
d 2 Ω2s d
φ −
( cosφ + φ sinφs ) = 0
cosφs dt
dt
2
⎛φ ⎞
2
2
−
+
=
=
−
φ
φ
φ
cos
sin
const.
( cosφ0 + φ0 sinφs )
(
)
⎜ ⎟
s
cosφs
⎝ Ωs ⎠ cosφs
2
⎛φ ⎞
2
+
cosφ0 − cosφ + (φ0 − φ ) sin φs ) = 0
(
⎜ ⎟
⎝ Ωs ⎠ cosφs
Graphische Darstellung für verschiedene Sollphasen:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
longitudinaler Phasenraum
φ s=0
o
2
1.5
1
0
*
φ/ Ωs
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-150
-100
-50
0
φ
50
100
150
Sollphase 0 Grad: keine Beschleunigung des Sollteilchens
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
longitudinaler Phasenraum
φ s=30
o
2
1.5
1
0
*
φ/ Ωs
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-50
0
50
φ
Sollphase 30 Grad
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
100
150
longitudinaler Phasenraum
φ s=60
o
1.5
1
0
*
φ/ Ωs
0.5
-0.5
-1
-1.5
0
20
40
60
80
φ
Sollphase 60 Grad
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
100
120
longitudinaler Phasenraum
φ s=60
o
8
6
4
0
*
φ/ Ωs
2
-2
-4
-6
-8
-400
-200
0
200
400
φ
Sollphase 60 Grad, Teilchen außerhalb Separatrix
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Transitionsenergie
Gleichung für Energie-Phasenschwingungen:
Ω 2s
h ω s2η C eVeff
d 2φ
2
+
cos φs
( sin φ − sin φs ) = 0, Ω s = −
2
2
dt
cos φs
2π Es β s
Î Stabile Schwingung nur für Ω 2s > 0 , d.h. für η C < 0 ! Im
Gegensatz zu Linearbeschleunigern kann ηC in Ringen positiv
sein oder im Verlauf der Beschleunigung werden:
1
1
1
1
ηC = 2 − 2 , 2 = α C =
γt γ
γt
C
s0 + C
∫
s0
Dx ( s )
ds
ρ ( s)
Î Ist η C > 0, so muß cos φs < 0 ⇔ π2 ≤ φs ≤ 32π . Wegen:
dτ
dp
= ηC
τ
p
Î Teilchen mit höherer Energie haben dann eine längere
Umlaufzeit: „negative Masse“ Effekt.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Numerische Simulation eines Durchgangs durch die
Transitionsenergie
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Chromatizität
Mit dem Begriff Chromatizität bezeichnen wir die Abhängigkeit
der Fokussierung (des Tunes) vom Teilchenimpuls Bρ :
B ρ = ( B ρ )0 (1 + δ ) , δ = ∆p p0
B′
B′
B′
=
≅
km =
(1 − δ ) = km,0 (1 − δ ) , δ
B ρ ( B ρ )0 (1 + δ ) ( B ρ )0
1
Der Tune wird im wesentlichen durch die Quadrupole bestimmt:
x ′′ + k m ,0 (1 − δ ) x = 0,
y ′′ − k m ,0 (1 − δ
)y
=0
Î Die Abweichung vom Sollimpuls (Bρ)0 entspricht einem
Fehler im Quadrupolgradienten B′ – und verursacht somit
eine Verschiebung ∆Qx,y des Tunes Qx,y =2π σx,y :
∆km = ∓ km,0 δ
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Chromatizität (Forts.)
Mit Q=2π σ schreiben wir die Transfermatrix für einen Umlauf
als Produkt von ungestörtem Tune und einer dünnen Linse:
βe sin2πQ ⎞
⎛cos2πQ+αe sin2πQ
M(C+ s0, s0) = ⎜
⎟
−
sin2
Q
cos2
Q
−
sin2
Q
γ
π
π
α
π
e
e
⎝
⎠
0⎞⎛cos2πQ0 +αe sin2πQ0
βe sin2πQ0
⎛ 1
⎞
=⎜
⎟
⎟⎜
(
k
L
)
1
sin2
Q
cos2
Q
sin2
Q
−∆
−
−
γ
π
π
α
π
m
e
e
0
0
0⎠
⎝
⎠⎝
Der Tune ist gegeben durch die halbe Spur von M, und somit:
1
∆Q =
β e ∆ ( k m LQ ) ,
4π
∆Q = Q − Q0
Î In kontinuierlicher Näherung folgt hieraus:
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier
Q0
Chromatizität (Forts.)
1
∆Q =
4π
s0 + C
∫
β (s) ∆km (s) ds
s0
s0 + C
δ
= ∓
β ( s ) k m ,0 ( s ) d s
∫
4π s
Die Chromatizität ξ der gegebenen periodischen Struktur ist
definiert als ∆Q / δ
0
ξ x, y =
∆Qx , y
δ
1
=∓
4π
s0 + C
∫
β x , y ( s ) km,0 ( s ) ds
s0
Î Die Chromatizität, welche durch die Abhängigkeit der
optischen Wirkung der Quadrupole (= Brechkraft) vom Impuls
verursacht wird, heißt „natürliche Chromatizität“.
Priv.-Doz. Dr. J. Struckmeier