3 . ¨Ubung zur Einführung in die Analysis

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. H. Pabel,
T. Gregor, J. Jordan
Wintersemester 07/08
7.11.2007
3 . Übung zur Einführung in die Analysis
Abgabe: Bis Mittwoch, 14.11.2007, 11:30 Uhr, Briefkästen an der Mathematik-Bibliothek.
3.1 Welche der folgenden Teilmengen von R sind offen, welche sind abgeschlossen?
a) N,
1
c) { | n ∈ N},
n
b) Z ∪ ]− 3, 3[,
d) R \ Z.
Loesungshinweis:
a) N ist nicht offen, denn für n ∈ N und alle > 0 ist ]n − , n + [ keine Teilmenge von N.
N \ R ist offen (und damit N abegschlossen), da zu jedem x ∈ N \ R das Intervall ]x − , x + [
eine Teilmenge von R \ N is, falls < min{x − [x], [x] + 1 − x} (Hier sei [x] die größte ganze
Zahl z mit z < x).
b) Analoges zu a) gilt auch für Z. Dann kann man die Menge aus b) als die Vereinigung
abgeschlossener Mengen auffassen: Z ∪ [−3, 3]. Offen ist die Menge dagegen nicht, da z.B. 4
kein innerer Punkt ist.
c) { n1 | n ∈ N} ist nicht offen, denn zu 1 liegt keine Umgebung (d.h. kein Intervall ]1−, 1+[)
in { n1 | n ∈ N}.
{ n1 | n ∈ N} ist auch nicht abgeschlossen. Zu jedem > 0 gibt es ein n ∈ N, so dass > n1 .
Also ist zu jedem > 0 der Schnitt ]0−, 0+[∩{ n1 | n ∈ N} nicht leer. Also ist R\{ n1 | n ∈ N}
nicht offen und damit { n1 | n ∈ N} nicht abgeschlossen.
d) Analog zu a) ist R \ Z offen aber nicht abgeschlossen.
3.2
a) Zeigen Sie: zwischen je zwei √
verschiedenen rationalen Zahlen p, q gibt es eine
irrationale Zahl r. Hinweis: 2 ist irrational.
b) Sei z ∈ C \ {1} und n ∈ N. Zeigen Sie:
n
X
zk =
k=0
1 − z n+1
1−z
Loesungshinweis:
√
a) Sei p, q ∈ Q mit p < q. Es gilt 2 < 2. Dann ist offensichtlich
q − p√
p<p+
2 < q.
2
|
{z
}
:=α
√
Bleibt zu zeigen, daß α irrational ist. 2 ist irrational und r := q−p
rational, da Q ein Körper
2
√
√
√
−1
ist. Angenommen r 2 wäre rational. Dann wäre
[da
Q
Körper
und
r
=
6
0]
auch
r
r
2
=
√
√
√2
rational. Nehmen wir weiter an, es wäre p+r 2 rational. Dann wäre auch p+r 2 −p = r 2
rational.
b)
!
!
!
n
n
n
X
X
X
z k (1 − z) =
zk −
z k+1 = 1 − z n+1
k=0
k=0
k=0
3.3
a) S
Finden Sie eine Menge offener nichtleerer Teilmengen Tn ⊂ R, n ∈ N, so dass
n∈N Tn abgeschlossen ist.
b) Finden
Sie eine Menge offener nichtleerer Teilmengen Tn ⊂ R, n ∈ N, so dass
T
n∈N Tn abgeschlossen ist.
Loesungshinweis:
a) Vorbemerkung: Die Vereinigung offener Mengen ist wieder offen. Die einzige nichtleere
Menge in R
S
S die offen und abgeschlossen ist, ist R selbst.
Also muß n∈N Tn = R sein. Wähle z.B. T
Tn :=] − n, n[. dann ist n∈N Tn = R.
a) Wähle z.B. Tn :=] − n1 , n1 [. Dann ist n∈N Tn =
T {0}. Auch denkbar ist, die Teilmengen
disjunkt zu wählen, z.B. Tn =]n − 1, n[. Dann ist n∈N Tn = ∅. Die leere Menge ist sowohl
offen als auch abgeschlossen.
3.4
a) Bestimmen Sie für die angegebenen reellen Zahlenfolgen (xk )k∈N zu jedem > 0
ein m ∈ N mit ∀k ≥ m : |xk | < . Was bedeutet dies für die Zahlenfolgen?
√
(−1)k
1+k
α) xk = 4
β) xk =
2
k +k
k3
3
k +7
1
b) Beweisen Sie, dass die Folge (xk )k∈N mit xk = 5k
3 +3 gegen x := 5 konvergiert,
indem Sie zu jedem > 0 ein m ∈ N mit ∀k ≥ m : |xk − x| < finden.
Loesungshinweis:
Vorbemerkung: Für x ∈ R ist [x] die größte natürliche Zahl kleiner oder gleich x (Gaussklammerfunktion).
a)α) Es gilt:
1
1
<
|xm | = 4
.
m + m2
m
1
Wir waehlen z.B. m = [ 1 ] + 1. Dann gilt offenbar |xm | < m1 = [ 1 ]+1
< 11 = .
β) Es gilt:
√
1+m
m2 + m2
2
|xm | =
<
= .
3
3
m
m
m
2
Wähle m = [ ] + 1.
Beide Folgen sind somit Nullfolgen.
b) Es gilt:
1
32
32
m3 + 7
5m3 + 35 − (5m3 + 3)
−
=
< .
=
3
3
3
5m + 3 5
5(5m + 3)
25m + 15
m
Wähle m = [ 32 ] + 1.