Lösungen zum 0. ¨Ubungsblatt Aufgabe 3. (Rational oder irrational

Lösungen zum 0. Übungsblatt
Aufgabe 3. (Rational oder irrational?)
(a) Den ersten Ausdruck formen wir wie folgt um.
√ √
√
7
98
49 2
√ =
√
= ,
3
3 2
3 2
die Zahl ist also rational.
p
√
(b) Behauptung: 2 + 3 ist irrational.
Beweis: Angenommen es gibt Zahlen m, n ∈ N ( m, n teilerfremd), so dass
q
√
m
2+ 3= .
n
√
m2
⇒ 2+ 3= 2
n
2
√
m
m2 − 2n2
.
3= 2 −2=
⇒
n
n2
√
Da auf der rechten Seite ein Quotient ganzer Zahlen steht,√folgt, dass 3 eine
rationale Zahl ist. Das ist aber falsch! (Beweis
wie für 2 in der Vorlesung)
p analog
√
Also ist unsere obige Annahme falsch und 2 + 3 ist irrational.
p
√ p
√
(c) Die Zahl 2 + 3 2 − 3 können wir wie folgt schreiben.
q
q
q
q
√
√
√
√ 2
√
2 + 3 2 − 3 = (2 + 3)(2 − 3) = 22 − 3 = 1 ∈ Q,
ist also eine rationale Zahl!
√
√
(d) Behauptung: 2 + 3 ist eine irrationale Zahl.
Beweis: Angenommen es gibt Zahlen m, n ∈ N ( m, n teilerfremd), so dass
√
2+
√
3=
m
n
√ √
m2
⇒ 2+2 2 3+3= 2
n
√
m2
m2 − 5n2
⇒ 2 6= 2 −5=
.
n
n2
√
√
2 −5n2
Wie für 2 kann man zeigen, dass 6 eine irrationale Zahl ist, während m 2n
2
aus Q ist. Dies ist ein Widerspruch! Somit ist unsere obige Annahme falsch und die
Zahl ist irrational.