Blatt 01

UniBw M / EIT / Inst. 1 (Prof. Dr. K. Pilzweger)
6.10.08
Mathematik I: Übungsblatt 1
Abgabe: bis Mi 8.10.08, 13 Uhr
Besprechung: Do 9.10.08
Aufgabe 1
a) Stellen Sie die folgenden periodischen Dezimalbrüche als Bruchzahlen, also in der Form
k
dar: 2. 09; 0.916; 12319
.
.
n
b) Stellen Sie die folgenden Bruchzahlen als periodische Dezimalbrüche dar: 1/7; 811/15.
Aufgabe 2
a) Beweisen Sie: Ist x eine rationale und ist y eine irrationale Zahl, so ist x + y irrational.
b) Seien a, b, c, d rationale Zahlen mit ad - bc … 0 und sei x eine irrationale Zahl. Zeigen Sie:
ax + b
cx + d … 0 und y =
ist irrational.
cx + d
Aufgabe 3
Ermitteln Sie alle Lösungen x0ú jeder der folgenden Gleichungen:
x−1 x+ 2
1 − 1x 1 + x +1 2
a)
=
. b)
+
= 3. c) x − 1 + x + 2 = 5.
x + 1 13 − x
1 + 1x 1 − x +1 2
x− 1−
d)
x + 2 = 5.
Aufgabe 4
2 51 + 3
2 51 + 6
=
,
b
:
. Entscheiden Sie (ohne
2 91 + 4
2 91 + 8
Taschenrechner), ob a < b oder a = b oder a > b ist.
Seien a, b 0 ú definiert durch a: =
Aufgabe 5
n
a) Stellen Sie die folgenden Summen in der Form
∑a
i =1
i
dar:
2 3 4
12
1 3 5 7
999
− + − + − ... −
. 2) − 1 + − +
.
− + ... +
2 4 6 8
1000
5 7 17
4097
3) -11 + 4 + 3 - 10 + 17 - + ... + 59.
1)
b) Berechnen Sie den Wert jeder der folgenden Summen (ohne Taschenrechner) und stellen
Sie diesen als Bruch p/q dar. Verwenden Sie dazu die Summenformel 1) von (2.5.2):
5
10
∑ 2 ; ∑ ( − 1)
n
n= 0
j = −2
j
2
− 2 j +1
5
;
∑ ( − 1)
m− 1
2 m− 13 − m .
m= − 2
c) Berechnen Sie, bzw. vereinfachen Sie so weit wie möglich:
10
i + 2 n (i + 2)!
7! 49! (n + 3)!
8!, ,
,
(n0ù), ∏
,∏
(n0ù).
5! 6!43! (n + 1)!
i!
i
i =1
i =1
Aufgabe 6
Seien a und b reelle Zahlen mit der Eigenschaft 0 < a < 1 < b.
a) Ordnen Sie die Zahlen 1, 1/a, 1/b, b/a, a/b und a²/b² der Größe nach.
b) Welche der Zahlen a/b, a²/b² und b/a liegt am nächsten bei 1?
Hinweise
A2: Beweisen Sie indirekt: führen Sie in a) die Annahme "x+y rational" zum Widerspruch;
führen Sie in b) erst die Annahme "cx+d = 0", dann die Annahme "y rational" zum
Widerspruch.
A3: b) Erst die Doppelbrüche beseitigen; c) und d) Gleichungen quadrieren; wieso ist es
notwendig, das errechnete Ergebnis zur Probe in die Ausgangsgleichung einzusetzen?
A4: Die Differenz a-b berechnen und deren Vorzeichen ermitteln.
A5: a2) Die Nenner haben etwas mit den Potenzen 2i, wobei i=1,2,...,12, zu tun.
a3) Betrachten Sie die Folge -11, -4, 3, 10, 17, ..., 59.
n
b)
∑a
i = −2
i
=a
−2
n+ 2
∑a
i
. c) kürzen!
i=0
A6: a) die Ungleichungskette 0 < a < 1 < b einmal durch a und einmal durch b dividieren;
b) berechnen Sie die Abstände der drei Zahlen von der Zahl 1 und vergleichen Sie.